函数的图象和性质(题型归纳)

函数的图象和性质
【考情分析】
1.考查特点:高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面,多以选择题、填空题的形式考查,难度一般;主要考查函数的定义域、值域的求法,分段函数求值与解不等式问题,函数图象的判断及函数的奇偶性、单调性、周期性等.
2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力.
3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算.
【题型一】函数及其表示
【典例分析】1．
（2021·北京市第四十三中学高三月考）函数ln ()1x
f x x =-的定义域为（）
A ．(0,)+∞
B ．()0,11(),⋃+∞
C ．[0,)+∞
D ．[)0,11()
,⋃+∞【答案】B
【解析】由题意得：0
10x x >⎧⎨
-≠⎩
得0x >且1x ≠，所以函数的定义域为()0,11(),⋃+∞，故选：B
2．（2021·江西高三模拟）设函数()223,1
22,1x x f x x x x -≥⎧=⎨--<⎩
，若()01f x =，则0x =（
）
A ．1-或2
B ．2或3
C ．1-或3
D ．1-或2或3
【答案】A
【解析】当01x ≥时，00()23f x x =-，0231x ∴-=，02x ∴=；
当01x <时，2000()22f x x x =--，∴2
00221x x --=，解得03x =（舍去），01x =-，故选A ．
【提分秘籍】1.高考常考定义域易失分点：
(1)若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f [g (x )]中，m ≤g (x )≤n ，从中解得x 的范围即为f [g (x )]的定义域；(2)若f [g (x )]的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 确定的g (x )的范围即为f (x )的定义域.2.高考常考分段函数易失分点：
(1)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提；
(2)利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将所求问题简单化.
【变式演练】1．(2021·山东省实验中学高三模拟)若()y f x =
的定义域为(0，2]，则函数(2)
()1
f x
g x x =
-的定义域是(
)
A ．(0，1]
B ．[0，1)
C ．(0，1)(1⋃，4]
D ．(0,1)
【答案】D
【解析】由()y f x =的定义域为(0，2]，令022
10x x <⎧⎨-≠⎩
，
解得01x <<，∴函数(2)
()1
f x
g x x =
-的定义域是(0,1)．故选：D ．
2．（2021·辽宁高三模拟）已知函数()()123,1
x f x f x x ≥=+<⎪⎩，则()10f -=___________.
【答案】32
【解析】()()1
23,1
x f x f x x ≥=+<⎪⎩ ()()()()()1027448116232f f f f f ∴-=-=-=-==.故答案为：32
【题型二】函数的图象及应用
【典例分析】（1）函数f (x )＝sin x ＋x
cos x ＋x
2
在[－π，π]上的图象大致为(
)
（2）(2021·合肥调研)已知函数f (x )|2x ＋1|，x <1，log 2（x －m ），x >1，
若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的
取值范围为(1，8)，则实数m 的值为________.【答案】（1）D （2）1
【解析】（1）∵f (－x )＝
sin (－x )－x cos (－x )＋(－x )2＝－sin x ＋x cos x ＋x 2
＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ；
∵f (π)＝
sin π＋πcos π＋π2＝π
－1＋π2
>0，∴排除C ；
∵f (1)＝sin 1＋1
cos 1＋1
，且sin 1>cos 1，∴f (1)>1，∴排除B ，故选D.
（2）作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝－1
2对称，所以x 1＋x 2＝－1.
又因为1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.结合图象可知A 点坐标为(9，3)，代入函数解析式得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.
【提分秘籍】
1.图像的识别：已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.
2.图像的应用：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
【变式演练】
1.（2021·江苏金陵中学高三模拟）下列四个图象可能是函数35log |1|
1
x y x +=
+图象的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】∵35log |1|
1
x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-，
其图象可由35log ||
x y x
=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，∵35log ||
x y x =为奇函数，图象关于原点对称，∴35log |1|
1
x y x +=
+的图象关于点(1,0)-成中心对称.
可排除A 、D 项.当0x >时，35log |1|
01
x y x +=
>+，∴B 项不正确.故选：C
2.（2021·北京石景山区·高三一模）已知22,0
()32,0
x x f x x x ⎧-=⎨
->⎩，若()f x ax 在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A ．(,1][0,)-∞-+∞
B ．[0,1]
C ．[1,0]
-D ．(1,0)
-【答案】C
【解析】作出()y f x =，y ax =在[]1,1-上的图象如下图所示：
因为()
f x ax 在[]1,1x ∈-上恒成立，所以()y f x =的图象在y ax =的图象的上方（可以部分点重合），
且()1121f -=-=，令320x -=，所以23x =
，所以()21,1,,03A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，根据图象可知：当y ax =经过点()1,1A -时，a 有最小值，min 1a =-，
当y ax =经过点2,03B ⎛
⎫
⎪⎝⎭
时，a 有最大值，max 0a =，综上可知a 的取值范围是[]1,0-，故选：C.
【题型三】函数的性质及应用
【典例分析】(1)3.（2021•新高考Ⅱ卷T8）已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x +2）为偶函数，f （2x +1）为奇函
数，则（）
A ．f （﹣
）＝0
B ．f （﹣1）＝0
C ．f （2）＝0
D ．f （4）＝0
【答案】B
【解析】由题意，f （x +2）为偶函数，可得f （x +4）＝f （﹣x ），f （2x +1）为奇函数，可得f （﹣2x +1）＝﹣f （2x +1），令F （x ）＝f （2x +1）为奇函数，可得F （0）＝f （1）＝0，
∴f （﹣1）＝﹣f （3）＝﹣f （1）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x +2），∴f （x +4）＝﹣f （x +2），
易知f （x ）的周期T ＝4，其他选项的值不一定等于0．即f （﹣1）＝0，故选：B ．
（2）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）
A.[)1,1][3,-+∞
B.3,1][,[01]--
C.[1,0][1,)
-⋃+∞ D.[1,0][1,3]
-⋃
【答案】D
【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，
所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，
所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨
-≤-≤-≥⎩或或0
01212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩
或或0
x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选D.
【提分秘籍】
高考常考函数四个性质的应用：
(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f (x )＝f (|x |)；(2)单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；
(3)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；(4)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题.
【变式演练】
1.（2021•甲（理）卷T12）设函数f （x ）的定义域为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+b ．若f （0）+f （3）＝6，则f （
2
9
）＝（）
A ．﹣
4
9B ．﹣
23C ．
4
7D ．
2
5【答案】D
【解析】∵f （x +1）为奇函数，∴f （1）＝0，且f （x +1）＝﹣f （﹣x +1），∵f （x +2）偶函数，∴f （x +2）＝f （﹣x +2），
∴f [（x +1）+1]＝﹣f [﹣（x +1）+1]＝﹣f （﹣x ），即f （x +2）＝﹣f （﹣x ），∴f （﹣x +2）＝f （x +2）＝﹣f （﹣x ）．令t ＝﹣x ，则f （t +2）＝﹣f （t ），
∴f （t +4）＝﹣f （t +2）＝f （t ），∴f （x +4）＝f （x ）．当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+b ．
f （0）＝f （﹣1+1）＝﹣f （2）＝﹣4a ﹣b ，f （3）＝f （1+2）＝f （﹣1+2）＝f （1）＝a +b ，又f （0）+f （3）＝6，∴﹣3a ＝6，解得a ＝﹣2，∵f （1）＝a +b ＝0，∴b ＝﹣a ＝2，∴当x ∈[1，2]时，f （x ）＝﹣2x 2+2，∴f （
29）＝f （21）＝﹣f （23）＝﹣（﹣2×49+2）＝2
5
．故选：D ．
1．
（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟）函数f (x )＝1
1x
-＋lg(1＋x )的定义域是（）
A ．(－∞，－1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－1，1)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，＋∞)
【答案】C
【解析】因为f (x )＝
1
1x
-＋lg(1＋x )，所以需满足10
10x x -≠⎧⎨+>⎩
，
解得1x >-且1x ≠，
所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选：C 2．
（2021·天津南开中学高三模拟）设函数1()1x
f x x
-=+，则下列函数中为奇函数的是（）
A ．()11f x --
B ．()11
f x -+C ．()11
f x +-D ．()11
f x ++【答案】B
【解析】由题意可得12
()111x f x x x
-=
=-+++，
对于A ，()2
112f x x
--=-不是奇函数；对于B ，()2
11f x x
-=+是奇函数；对于C ，()2
1122
f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D ，()2
112
f x x ++=
+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B 3．（2021湖北襄阳五中高三模拟）若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x ，则g(x)＝()
A ．e x －e
－x
B ．(e x ＋e －
x )
C ．(e －
x －e x )D ．(e x －e －
x )
【答案】D
【解析】∵()f x 为定义在R 上的偶函数，∴()()f x f x -=，又∵()g x 为定义在R 上的奇函数，()()g x g x -=-，
由()(),()()()()x x f x g x e f x g x f x g x e -+=∴-+-=-=，∴1()()2
x
x e g x e -=
-.故选：D.4．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133
f ⎛⎫-=
⎪⎝⎭
，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（）
A ．53
-
B ．13
-
C ．
13
D ．
53
【答案】C
【解析】由题意可得：522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，而21111133333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=-==--=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
故51
33
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭.故选：C.5．
（2021·江苏南京外国语高三模拟）若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（
）
A ．()1x
f x x =
-B ．()1x f x x =
-C ．()21
x f x x =-D ．()2
1x f x x =
-【答案】C
【解析】由图可知，当(0,1)x ∈时，()0f x <，
取12x =，则对于B ，
112
()101212f ==>-，所以排除B ，对于D ，1
122(012314
f ==>-，所以排除D ，当0x >时，对于A ，()1111
x f x x x =
=+--，此函数是由1
y x =向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以1
x >时，()1f x >恒成立，而图中，当1x >时，()f x 可以小于1，所以排除A,故选：C
6．（2021·海南高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（
）
A ．[)1,1][3,-+∞
B ．3,1][,[01]--
C ．[1,0][1,)-⋃+∞
D ．[1,0][1,3]
-⋃【答案】D
【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，
所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：
0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0
012x x >⎧⎨
≤-≤⎩
或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，
所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.
7．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模）已知函数()ln ,01,0
x
x x f x e x -⎧>=⎨+≤⎩，则()()2
2f
x f x +=实数根的个
数为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A
【解析】 2()()20(()2)(()1)0f x f x f x f x +-=⇒+-=，解得：()2f x =-或()1f x =，
∴02x lnx >⎧⎨=-⎩或01x lnx >⎧⎨=⎩
或012x x e -≤⎧⎨+=-⎩或011x
x e -⎧⎨+=⎩解得：x e =或1
=
x e
，∴方程实数根的个数为2个，故选：A.
8．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）对于函数y ＝f （x ），其定义域为D ，如果存在区间[m ，n ]⊆D ，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调函数；②当f （x ）的定义域为[m ，n ]时，值域也是[m ，n ]，则称区间[m ，n ]是函数f （x ）的“K 区间”.若函数f （x
a （a ＞0）存在“K 区间”，则a 的取值范围为（
）
A ．13,
34⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．10,
4⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．3,14⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．
（1
4
，1]【答案】C
【解析】()f x
为减函数，所以a n a m
-=-=
1.=
代人a n a m
==,
得11
a n a m ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩问题转化为函数y a =与函数21(0)y x x x =-+≥
有两个交点结合图像可知3,14a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
故选：C 9．（2021·浙江镇海中学高三模拟）假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不．正确的是（
）
A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =，则()()
12x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降
C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值
D ．被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值
【答案】ABD
【解析】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A 不正确；
在曲线上半段中观察到()y t 是先上升后下降，而()x t 是不断变小的，故B 不正确；
捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，
同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，
所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确；
当捕食者数量最大时在图象最右端，()()25,30x t ∈，()()0,50y t ∈，
此时二者总和()()()25,80x t y t +∈，由图象可知存在点()10x t =，()100y t =，
()()110x t y t +=，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，
被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误，
故选：ABD.
10．（2021·江阴市第二中学高三模拟）设函数(32)1,1(),1
x a x x f x a x --≤⎧=⎨>⎩(0a >且1)a ≠，下列关于该函数的说法正确的是（）
A ．若2a =，则2(log 3)3
f =B ．若()f x 为R 上的增函数，则312a <<
C ．若(0)1f =-，则3
2
a =D ．函数()f x 为R 上奇函数
【答案】AB
【解析】对于选项A ，因为2log 31>，所以2log 32(log 3)23f ==，所以选项A 正确；对于选项B ，欲使得该函数为增
函数，则满足3201321a a a a ->⎧⎪>⎨⎪--≤⎩，解得312a <<，所以选项B 正确；对于选项C ，使得(0)1f =-，此时0a >且1a ≠，与条件不符，所以选项C 错误；对于选项D ，该函数为非奇非偶函数，所以选项D 错误，综上只有选项AB 符合题意，故选AB ．
11．（2021·重庆南开中学高三模拟）在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(,)B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是()
A ．函数()()22g x f x =-[3-，9]上有两个零点
B ．函数()y f x =是偶函数
C ．函数()y f x =在[8-，6]-上单调递增
D ．对任意的x ∈R ，都有1(4)()f x f x +=-
【答案】AB 【解析】当42x --，B 的轨迹是以A 为圆心，半径为2的14
圆当22x -时，B 的轨迹是以D 为圆心，半径为22的
14圆，当24x 时，B 的轨迹是以C 为圆心，半径为2的14
圆，当46x 时，B 的轨迹是以A 为圆心，半径为2的
14圆，作出函数的图象如图，
函数值域为[0，22]，则函数()f x 与直线22y =的图象在[3-，9]上有2个交点，故A 正确；
函数为偶函数，故B 正确；
由图可知，函数()f x 在[8-，6]-上单调递减，故C 错误；
由图，当0x =时，(0)f =，()40f =，此时()()
140f f ≠，故D 错误故选：AB ．
12．（2021·江苏连云港市·高三模拟）函数()f x 的定义域为R ，且()f x 与(1)f x +都为奇函数，则（
）
A ．(1)f x -为奇函数
B ．()f x 为周期函数
C ．(3)f x +为奇函数
D ．(2)f x +为偶函数【答案】ABC
【解析】由题意知：(1)(1)0f x f x --++=且(1)(1)0f x f x -+++=，∴(1)(1)f x f x -=--，即(1)(1)f x f x -=+，可得()(2)f x f x =+，
∴()f x 是周期为2的函数，且(1)f x -、(2)f x +为奇函数，故A 、B 正确，D 错误；
由上知：(1)(3)f x f x +=+，即(3)f x +为奇函数，C 正确.
故选：ABC.
13．（2021·山东滕州一中高三模拟）若函数1(
)ln 1f x x =-，则(2)f =__________．【答案】3
ln
2【解析】令121x =-，可得32
x =，所以3(2)=ln 2f ．故答案为：3ln 2.14．（2021·山东省成武第一中学高三二模）若函数()f x 满足定义域为D ，值域也为D ，就称()f x 为“优美函数”.试写出能满足“若()f x 是优美函数，则()00=f ”为假命题的一个函数是______.【答案】1
y x
=
【解析】根据题意，不妨令()1f x x
=，该函数定义域()(),00,-∞⋃+∞，值域与定义域相同，是优美函数，但()0f 没有意义，即可说“若()f x 是优美函数，则()00f =”为假命题本题答案不唯一.本题选择()1f x x =.故答案为：1y x
=.15．（2021·江苏南京师范大学附中高三模拟）定义在()1,+∞上的函数()f x 满足下列两个条件（1）对任意的()1,x ∈+∞恒有()()22f x f x =成立；（2）当(]1,2x ∈时，()2f x x =-．则()6f 的值是__________．
【答案】2
【解析】因为对任意的()1,x ∈+∞恒有()()22f x f x =成立，
所以有：()()()336232322422f f f f f ⎛
⎫⎛⎫=⨯==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又因为当(]
1,2x ∈时，()2f x x =-，所以3312222f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以()36422f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭
故答案为：216．（2021·武邑武罗学校高三模拟）若函数6,2()3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨
+>⎩（0a >且1a ≠）的值域为[4,)+∞，则(1)f =________；实数a 的取值范围为________.
【答案】5(1,2]
【解析】因为12≤，所以(1)165f =-+=.当2x ≤时，6y x =-+是减函数，所以264y ≥-+=.若01a <<，函数3log a y x =+是减函数，显然当x →+∞时，y →-∞，不符合题意；若1a >，函数3log a y x =+是增函数，所以3log 2a y >+，要想函数()f x 的值域为[4,)+∞，只需3log 24a +≥，即
lg 2log 211lg 2lg 2lg a a a a ≥⇒≥⇒≥⇒≤，所以12a <≤，实数a 的取值范围为(1,2].。