机械振动学

合成信号：u(t) ? u1(t) ? u2(t)
u1(t) ? a1 sin(? 1t ? ?1) u2 (t) ? a2 sin(? 2t ? ? 2)
设频率比为有理数? ?
1 2
?
m n
?1 ? ? 2
T2 ? m T1 n
u(t ? T0) ? u1(t ? T0) ? u2(t ? T0)
有阻尼单自由度系统的自由振动
1.自由运动微分方程的建立
k
c
ku cu&
o
m
u
u
m
牛顿第二定律： mu&&? ? cu&? ku 自由运动方程： mu&&? cu&? ku ? 0
有阻尼单自由度系统的自由振动
2 特征根
u&&? c u&? k u ? 0 mm
u&&? 2?? nu&? ? n2u ? 0
第一章 单自由度系统的振动
引言
为什么要研究单自由度系统的振动？
1. 单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础。
2. 在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统，用单自由度系 统的振动理论就可以得到满意的结果。
3. 单自由度系统的基本概念具有普遍意义。多自由度系统和无限自由 度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时，显示出与单自由度系 统类似的性态。
m
mg
f (t)
mg ? k? s
m?u?(t) ? cu?(t) ? ku(t) ? f (t)（单自由度系统振动方程的一般形式）
结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程 时就可以不考虑系统重力的作用。
第一章：单自由度系统的振动
无阻尼单自由度系统的自由振动
?正确理解固有频率的概念 ?会求单自由度无阻尼系统的固有频率
u2
k1
u1
u2 ke
fA
Bf
k2
fA
u1
Bf
f1 ? k1(u1 ? u2 ) f2 ? k2(u1 ? u2)
f ? f1 ? f2 ? (k1 ? k2 )(u1 ? u2 ) f ? ke(u1 ? u2 )
ke ? k1 ? k2
振动系统的组成
u3
u2
u1
f
A
k2
B
u3
f
ku11
C
f
f
A
u =0.02m, du(0)/dt =0.0 m/s 0
u =0.02m, du(0)/dt =-0.5 m/s 0
u =0.02m, du(0)/dt =-1.0 m/s 0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
t, s
图 质量块对初始条件的临界
结论：临界阻尼系统的阻自尼由响运应动为衰减非振荡运动。
有阻尼单自由度系统的自由振动
k
m x
引言
?
m x
ke
m x x
?
y
振动系统的组成
机床 基础
简化 混凝土
m
k
c
弹性衬垫
图 将实际系统抽象为单自由度振动系统
振动系统的组成
弹性元件
k
振动系统 惯性元件
m
阻尼元件
c
m
k
c
? 弹性元件是提供振动的回复力，惯性元
振动系统的组成
1. 弹性元件 ? 弹性元件的意义和性质
x
F
x 当 较小时
0.15
0.10
u,m
0.05 0.00
-0.05
ae ? ?? nt
u1
u2
t1
t2
? = 10rad/s, ? = 4% n
u = 0.0m, du(0)/dt =2.0 m/s 0
u3 t3
u4 t4
u5 t5
-0.10
-0.15 -0.20
? ae ? ?? nt
Td
0
1
2
3
4
t, s
相邻的两次振动振幅之比的自然对数叫作对数衰减率。
0.020
0.015
m u,
0.010
0.005
m=10 kg, k=1000 N/m u =0.02m, du(0)/dt =0m/s
0
?=1.05 ?=1.3 ?=1.5
0.000
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
t, s
图 质量块对初始位移的过阻尼响应
结论：过阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。
有阻尼单自由度系统的自由振动
ke
C
?1 ? u1 ? u2 ? f / k1 ?2 ? u2 ?u3 ? f /k2
?
? ?1 ? ?2
?
f
?1
? ?
k1
?
1?
k2
? ?
?? f 1
ke
1? 1? 1 ke k1 k2
振动系统的组成
2. 惯性元件 1 . 惯性元件的意义和性质
&x&(t )
m
Fm Fm ? m&x&(t)
振动系统的组成
阻尼：阻碍物体运动，消耗系统能量的各种因素统称为阻尼。 阻尼的机理十分复杂，只靠物理学上的、力学上的定 理是不能得到实际系统的阻尼的。因此，阻尼往往通 过实验来确定。
阻尼既有有用的一面也有有害的一面：
有用的一面：消耗系统振动能量，减小振动幅值，增加系统的稳定性 有害的一面：增加运动阻力，降低运动速度
特征根：
s1,2 ? ? i? n
通解： u(t) ? a1 cos? nt ? a2 sin? nt
u(0) ? u0,u&(0) ? u&0
a1 ? u0 ,
a2
?
u&0
?n
自由振动：
u(t)
?
u0
cos
?
nt
?
u&0
?n
sin
?
nt
无阻尼单自由度系统的自由振动
自由振动：
u(t) ? a sin(? nt ? ? )
?
?
ln ui ui ? 1
?
ln
ae ? ?? nti ae ? ?? n (ti ? Td )
? ?? nTd ?
2?? 1? ? 2
当系统阻尼比较小时，有：? ? 2??
第一章：单自由度系统的振动
简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 ?从数学的角度理解共振现象
简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 ?掌握单自由度有阻尼系统的受迫振动的特征 ?会求单自由度有阻尼系统的受迫振动响应 ?会根据幅频特性曲线计算系统的阻尼比
-0.15 -0.20
? ae ??? nt
Td
③ 自由振动具有等时性，即相邻两个正 0
1
2
3
4
（负）峰值之间的时间间隔均为:
Td
def
?
2?
?d
?
?n
2?
1? ?2
?
Tn
1? ?2
t, s
自由振动曲线(欠阻尼)
阻尼振动周期
有阻尼单自由度系统的自由振动
④ 引入对数衰减率来描述振动衰减的快慢
0.20
运动，求此时钢丝绳所受的最大张力。
解:
?n?
k m
u0 ? 0 u&0 ? v0
v0
k
（振幅）
a?
u
2 0
?
( u&0
?n
)2
? v0
m k
(钢丝绳最大动张力)
m
v0
k
v0
Td ? ka ? v0 mk
（钢丝绳总张力的最大值）
T ? mg ? v0 mk
k0
m
v0
无阻尼单自由度系统的自由振动
4 求单自由度无阻尼系统固有频率的几种方法 ① 微分方程法：
(2) 临界阻尼情况 (? ? 1)
s1,2 ? ??? n ? ? n ? 2 ? 1
? ?1
s1,2 ? ? ? n
特征方程有一对相等实根，故通解：
u (t ) ? (a1 ? a 2t )e?? nt
有阻尼单自由度系统的自由振动
0.02
0.01
m u,
0.00
-0.01
-0.02
m=10 kg, k=1000 N/m, c=200 Ns/m
① 振幅按指数规律 ae ??衰? n减t ；
0.20
ae ??? nt
0.15
0.10 u1
u2
0.05
m
u,
0.00 -0.05
t1
t2
? = 10rad/s, ? = 4% n
u = 0.0m, du(0)/dt =2.0 m/s 0
u3 t3
u4 t4
u5 t5
② 自由振动为非周期振动；
-0.10
(3)欠阻尼情况 (0 ? ? ? 1)
s1,2 ? ??? n ? i? n 1? ? 2
0?? ?1
s1,2 ? ??? n ? ? n ? 2 ? 1
得到通解
u(t) ? e???nt (a1 cos? dt ? a2 sin?dt)
应用初始条件 u (0) ? u0 u&(0) ? u&0
? d ? ?n 1?? 2 (阻尼振动频率)
u(t)
?
e???
nt
? ?u0 ?
cos?
dt
?
u&0 ? ?? ?d
nu0
sin?
dt
? ? ?
欠阻尼系统的 自由振动响应
或： u(t ) ? ae ??? nt sin(? d t ? ? )
有阻尼单自由度系统的自由振动
3. 欠阻尼振动特性：
u(t) ? ae ??? nt sin(? dt ? ? )
?n ?
k m
对固有频率的正确理解：
① 固有频率仅取决于系统的刚度和质量；
固有频率
② 固有频率与初始条件和外力等外界因素无关，是系统的固有特性； 它与系统是否振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系
无阻尼单自由度系统的自由振动
2 初始扰动引起的自由振动
运动方程： mu&&(t) ? ku(t) ? 0
3 阻尼元件 1 . 阻尼元件的意义和性质
x&(t)
Fd Fd ? c ?x&
c
阻尼系数：使阻尼器产生单位速度所需施加的力，单位： N ?s/m
单自由度系统的振动方程
c
k
m
?s k
c
o
u
m
u
f (t)
m?u?(t) ? ?k[ u(t) ? ? s ] ? cu?(t) ? mg? f (t)
k (u ? ? s ) cu&
运动微分方程
系统的固有频率
② 能量方法：
Tmax ? Vmax
③ 等效质量和等效刚度法：
系统的固有频率
T
V
④ 静变形法：
等效质量 meq 等效刚度 keq
?n ?
k eq m eq
equivalent 的前两个字母
第一章：单自由度系统的振动
有阻尼单自由度系统的自由振动
有阻尼单自由度系统的自由振动
nt
?
?
)
?
?
n2a sin(?
nt
?
?
?
?)
? 速度与位移的“相位差是90度”意味着什么？
位移最大时，速度为零；速度最大时，位移为零
? 加速度与位移的“相位差是180度”意味着什么？
加速度与位移的最大值出现在同一时刻，但符号相反
无阻尼单自由度系统的自由振动
② 两个同频率不同的简谐振动的合成，如果两频率比为有理数（可通约）时， 合成振动为周期振动；为无理数时，为非周期振动；
了弹性势能，
有初始速度即注入了动能。
无阻尼单自由度系统的自由振动
3 简谐振动的特征
(1) 简谐振动是一种周期振动
周期振动满足：u(t ? Tn ) ? u(t )
振动周期，单位：秒（s）
u(t) ? a sin(? nt ? ? )
Tn
?
2? ?n
?
2?
m k
无阻尼单自由度系统的固有周期
无阻尼单自由度系统的自由振动
s1,2 ? ??? n ? ? n ? 2 ? 1
? ? ? ? s1 ? ?? ? ? 2 ?1 ? n s2 ? ?? ? ? 2 ? 1 ? n
特征方程有一对互异实根，故通解为：
u(t) ? a1e(?? ?
? a e ? 2 ?1)? nt
(?? ?
2
? 2 ?1)? nt
有阻尼单自由度系统的自由振动
固有频率
fn
?
?n 2?
fn 表示单位时间内重复振动的次数 .
无阻尼单自由度系统的自由振动
(2) 简谐振动的位移、速度和加速度之间的关系
u(t) ? a sin(? nt ? ? )
求导
u&(t)
?
?
na
cos(?
nt
?
?
)
?
?
na
sin(?
nt
?
?
?
?
) 2
求导
u&&(t)
?
??
2 n
a
sin(?
特征方程
s2
?
2??
ns
?
?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 n
?
0
特征根
s1,2 ? ??? n ? ? n ? 2 ? 1
mu&&? cu&? ku ? 0
? 引入
def
?
c
?
c
?c
2m? n 2 mk Cc
阻尼比 临界阻尼系数
代入
u (t ) ? ue st
有阻尼单自由度系统的自由振动 (1) 过阻尼情况 (? ? 1)
记mT1 ? nT2 ? T0
? u1(t ? mT1) ? u2(t ? nT2)
? u1(t) ? u2 (t)
? u(t)
无阻尼单自由度系统的自由振动
u1
t
u2
一个拍
t
u
A
B
Ct
拍：合振幅随时间做周期型变化，振动时而加强、时而减弱.
无阻尼单自由度系统的自由振动
例：升降机笼的质量为 m，由钢丝绳牵挂以等速度 向v0下运动。 钢丝绳的刚度 系数为 ，质k量可忽略不计。如果升降机运行中急刹车，钢丝绳上端突然停止
F ? f (x)
F f (x)
?
o
x
线性范围
F ? k ?x
弹簧的刚度系数，单位： N/m
振动系统的组成
弹簧的刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需施加的力 对弹性元件需要说明几点：
通常假定弹簧是无质量的；
假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围；
振动系统的组成
? 弹簧的等效刚度系数
无阻尼单自由度系统的自由振动
1. 固有频率概念的引出
m&u&(t) ? ku(t) ? 0 u(t ) ? ue st
k
m
(ms2 ? k)u ? 0 ms 2 ? k ? 0
图 无阻尼单自由度系统
s1,2 ? ? i
k m
?
i?
n
特征方程
?n ?
k m
natrual 的第一个字母
固有频率 单位：rad/s
振幅 频率
初相位
简谐运动的三要素
振幅： a ?
u
2 0
?
? ? ?
u&0
?n
?2 ? ?
初相位：?
?
arctan
? ? ?
?
nu0 u&0
? ? ?
? 简谐运动三要素 ? 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自? n由振动是
以 为振动 ? 初频始率条的件简是谐外振界动能，量并注且入永的无一休种止方；式，有初始位移即注入