理论力学课后习题答案-第8章--动量定理及其应用

论力学课后习题答案-第8章--动量定理及其应用
第8章 动量定理及其应用
8－1 计算下列图示情况下系统的动量。

(1) 已知OA ＝AB ＝l ，θ＝45°，ω为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。

(2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。

已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。

(3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一端O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。

解：（1）p = mv C =ωm l 25，方向同C
v （解图（a ））；
（2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ω，方向同B
v ，垂直AC （解图（b ））； （3）
j i p )60sin 2
60sin ()]60cos 2()60cos ([2
1
2
1
︒+︒+︒-+︒-=ωωωωl
m l m l v m l v m j i 4
23]42)[(2
12121m m l l m m v m m +++-
+=ωω（解图（c ））。

习题8-1图
A
B
O
θ
ω A
B
C
D
ω
O
M
v
ω 60˚
(a)
(b)
(c)
8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。

图示瞬时AB 杆的角速度为ω，求此时系统的动量。

解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B
ω
ωωm l m l l m p p p BC
AB 29
42=+=+= 方向同
v B 。

8－3 两均质杆AC 和BC 的质量分别为m 1和m 2，在C 点用铰链连接，两杆立于铅垂平面内，如图所示。

设地面光滑，两
杆在图示位置无初速倒向
地面。

问：当m 1= m 2和
m 1= 2m 2时，点C 的运动轨迹是否相同。

解：根据受力分析知：∑=0x
F ，故系统的质心在水平方向运动守恒。

A B
O
θ
ωC
v C
O 1
A
B
C
D
ω v B
C 1
C 2
v C 1
v C 2
O
M v
ω 60˚
v
v r
习题8-1解图
(a)
(b) (c)
x
y
A
B C O ω
45˚ 45˚
习题8－2解图
v B A B C m 1
g m 2
g d
习题8－3解图
F N F N
y
当m 1= m 2时，系统关于y 轴对称，质心位于y 轴上，且沿y 轴作铅垂直线运动，点C 的运动轨迹亦为铅垂直线。

当m 1= 2m 2时，质心位于y 轴左侧，且作铅垂直线运动，点C 的运动轨迹必为曲线。

故两种情况下，点C 的运动轨迹不相同。

8－4 图示水泵的固定外壳D 和基础E 的质量为m 1，曲柄OA =d ，质量为m 2，滑道B 和活塞C 的质量为m 3。

若曲柄OA 以角速度ω作匀角速转动，试求水泵在唧水时给地面的动压力（曲柄可视为匀质杆）。

解：以整个水泵为研究对象，受力如图（a ）：
解法1：用动量定理求解 瞬时t ，系统动量 p = p 2+p 3
ω2
2
2
22
d m v m p C ⋅==，方向如图 ϕωsin 3
3
3
3
d m v m p C ==，方向如图 由质系动量应理： ∑==y
y y
F F t p d d (1) ∑==x
x x
F F t p d d (2)
ϕωϕωsin sin 2
3
232d m d m p p p y y y +⋅=+= ϕωcos 2
2
32d m p p p x x x ⋅=+=
习题8－4图
p
x
x
x
F F F ==∑
g m m m F F F )(3
21++-==∑y y y 代入（1）、（2），并注意到t ωϕ=得：
g m m m F t d m t d m t y )(sin sin 2d d 3
2132++-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⋅ωωωω x
F t d m t =⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅ωωcos 2d d 2 得t ωd m m g m m m F
2y
ωcos 2
2)(3
2321++
++= （3）
t m d F 2
x
ωωsin 2
2
-= （4） 解法2：用质心运动定理解 研究对象及受力同前： R
F a =C
M 3
2p p p += 3
322C C C m m M v v v += t d d ：3
322C C C a a a m m M +=
222
ωd a =
C ，方向指向O 点；
t
d a C ωωcos 23=，方向向上。

写出质心运动定理的投影形式：
g m m m F t d m t d m y
2
)(cos cos 2
3
2
1
3
2
2
++-=+ωωωω x
F t d m -=⋅ωωsin 2
2
2
t d
-m F x
ωωsin 2
2
2
⋅= t d m m g m m m F 2
y
ωωcos 22)(3
2
3
2
1
++++= 结果同解法1。

8－5 图示均质滑轮A 质量为m ，重物M 1、M 2质量分别为m 1和m 2，斜面的倾角为θ，忽略摩擦。

已知重物M 2的加速度a ，试求轴承O 处的约束力（表示成a 的函数）。

解：以系统整体为研究对
象，应用动量定理
θθsin cos d d N 2F F a m t
p Ox x
+==
习题8－5图
O A M
M 2
θ
a
习题8－6图
g m m m F F a m a m t
p Oy y )(cos sin d d 21N 21++-+=-=θθ分析M 2可知：θ
cos 2N g m F =
则有
θ
θθθθcos )sin (sin cos cos 222m g a g m a m F O x -=-=
g
m m m g m a m m F O y )(cos )sin (212221+++--=θθ
8－6 板AB 质量为m ，放在光滑水平面上，其上用铰链连接四连杆机构OCDO 1（如图示）。

已知OC = O 1D = b ，CD = OO 1，均质杆
OC 、O 1D 质量皆为m 1，均质杆CD 质量为m 2，当杆OC
从与铅垂线夹角为θ由静止开始转到水平位置时，求板AB 的位移。

解：以系统整体为研究对象，根据受力分析知：
∑=0
x
F
，故系统的质心在水平方向运动守恒。

若
初始时（设CD = l ）：
m
m m l b
m l m l b m b m x C +++++++=
211210
2)sin 2(2)2sin (sin 2θθθ
设杆OC 转到水平位置时板AB 的位移为s ，
m
m m l s b
m s l m l s b m s b m x C +++-+-++-+-=
211212)2()2()2()2(x C 0 = x C
)
sin 1(2212
1θ-+++=
b m
m m m m s
A B D C O O 1
θ
习题8－5解图
O
A M 1
M
2 θ
a m 1g
m 2g
F F Ox F Oy mg
习题8－6解图
A
B
D
C O O 1 θ
A
B
s O 1
习题8－7图
习题8－8图
v
x
(a)
B
g
m 8－7 匀质杆AB 长2l ，B 端放置在光滑水平面上。

杆在
图示位置自由倒下，试求A 点
轨迹方程。

解：杆水平受力为零，水平动量守恒；初始静止、质心位置C
x 守恒：
cos αl x C
= ϕcos l x x C
A
+= （1） ϕsin 2l y A = （2） 由（1），
ϕcos l x x C A
=- 即 ϕαcos cos 0
l l x A
=- （3） 由（2） ϕsin 2l y A
= （4） （3）、（4）两边平方后相加，得 2
22
4)cos (l y l x A
A =+-α
此为椭圆方程。

*8－8自动传送带如图所示，其运煤量恒为20kg/s ，传送带速度为
1.5m/s 。

试求匀速传送时传送带作用于煤块的总水平推力。

解：设皮带作用煤
块的总水平推力为F x ，
皮带在d t 时间内输送
量为t q V d ，由动量定理微
分形式：
t F v t q x V d d =⋅
305120=⨯==.v q F V x N。