3个热力学题目

1. 请解释气流节流过程的物理实质。(3%+7%=10%)

【答】①气流微分节流效应][1v T v T c p T p p h h -⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=α，由此可得

当v T v T p

>⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂时，0>h α，即节流后气体温度降低；

当v T v T p

=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂时，0=h α，即节流后气体温度不变；

当v T v T p

<⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂时，0<h α，即节流后气体温度升高。 ②下面运用能量转换关系来解释气流节流过程的物理实质。

因为节流前后气体的焓值不变，所以其能量关系式可以表示为)(pv d du -=，即节流前后内能的变化等于)(pv 的落差。气体的内能包括内动能和内位能两部分，内动能的大小只与气体的温度有关。因此，气体节流后的温度是升高、不变或是降低，只取决于节流后气体的内动能的变化情况。内动能的变化只有在分析了内位能和)(pv 的变化后才能确定。

气体的内动能)(pv d du du p k --=，其中p du 为气体的内位能。

气流节流时压力降低，比容增大，其内位能p du 总是增大的，即0>p du ；但)(pv 的变化可能变大、不变或者减小，具体依据节流时气体的状态确定，即)(pv d 可能大于、等于或者小于0。分析

)(pv d du du p k --=可知，

当0)(>pv d 时，0<k du ，气流节流时温度降低；

当0)(<pv d 时，就有三种情况：A).当)(pv d 的绝对值小于p du ，0<k du ，仍然气流节流时温度降低；B).当)(pv d 的绝对值等于p du ，0=k du ，

气流节流时温度不变；C).当)(pv d 的绝对值大于p du ，0>k du ，气流节流时温度升高。

③当)(pv d du p -=时，即内位能增量正好等于)(pv 值的落差时，0=k du ，即气体的内动能在节

流过程中保持不变，节流前后气体温度不变，这样的温度称为转化温度。

2、【解】：选定刚性容器内的气体为研究对象，具体为如图中虚线所画控制容积。

因为气体携带的动能相对于它的焓为数甚小，故可认为in in

h c h ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2

2

；又输气管可看成为极大的气源，所以00T c h h p in ==。

因为本题是对刚性绝热容器充气，所以：0=Q δ，0=dV ，0=net W δ，0=out m δ，02

2

=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+out

c h 。 对研究控制容积运用质量方程、能量方程可有

in m dm δ=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①

in in V C m h dE δ=.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②

相比控制容积内气体的内能来讲，其动能和位能可以忽略，所以 udm mdu dU dE V C +==.。 对研究控制容积运用状态方程可有

T

dT

p dp m dm -

=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③ 综合以上关系式，可得

T

dT T kT kT p dp

-=

00⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯④ p

dp

kT T m dm 0=

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑤ 其中k 为空气的绝热指数，v p c c k /=。 对④式进行积分化解，可得

2

101011

2)(p p

T T k T T k

T T -+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑤

结合mR

pV

T =

，对④式进行积分化解，可得 )(120

12p p kRT V

m m m -=

-=∆⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑥

下面对充气前后容器内气体温度的变化进行分析讨论。假定容器原来是真空的，则

Tdm c udm dU v ==

又因

dm T c dm h dU p in 0==

所以可得

0kT T =

即表明，对于真空刚性绝热容器，气体充入容器后温度将增加k 倍。一般容器并非真空，充入得气体与原有得气体混合。如果原有气体的温度01kT T <，混合后气体温度增大，即12T T >；如果原有气体的温度01kT T >，混合后气体温度降低，即12T T <。

3. 【证明】因为金属棒均匀，我们按照金属棒各点温度线性分布，按照图示坐标系，金属棒各点的温度分布关系式为：

x L

T T T T 2

11--=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①

取金属棒上位置x 处的一微元段dx 进行分析，具体如图示意，设该微元段从初始温度T （按照①式与x 对应）升高到终了温度f T 过程中，熵增量为

)ln (ln T T L

dx C T dT L

dx C dS f p T T i

i p f

-⎰=

=

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②

对上式沿金属棒长度方向进行积分即可得到整个金属棒的熵增量为

⎰-=⎰=∆L f

p L T T L

dx C dS S

0)ln (ln ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③

由①式可得：dT T T L

dx

2

1--

=，代入③式换元(注意换元过程换限)可得

⎰--=

∆2

1)ln (ln 2

1T T f p ad T T T T dT C S ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯④

上式积分化简，可得