第6章 振动2(振动合成、其它振动)

A0e
−β⋅t
A0e-β t o 阻尼振动曲线
T=
t
2π
ω
=
2π
2 ω0 − β 2
> T0
阻尼振动周期
19
时间常量与品质因数： 时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 在欠阻尼情况下， 振幅 振动能量E： 振动能量 ： E = E0e−2β⋅t 时间常量
A = A0e
−βt
(QE ∝ A2 )
1 τ= 2β
1
旋转矢量法处理谐振动的合成 1. 分振动 x1 = A cos(ω t +ϕ1) 1 x2 = A2 cos(ω t +ϕ2 ) 2. 合振动
O
ω
A2
ϕ2
x2
ϕ
A ϕ −ϕ 2 1 A1
x = x1 + x2 = Acos(ω t +ϕ)
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1 1
(5)ϕ2 −ϕ1 = 其 值 它
15
二、李萨如图： 李萨如图：
如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比， 如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比，则合成运 动具有稳定的封闭的运动轨迹。 动具有稳定的封闭的运动轨迹。
Tx : Ty =1: 2
Tx : Ty = 2 : 3
Tx : Ty = 3: 4
ω2 −ω1
2
)t
x
ω=
ω2 +ω 1
2
t
拍的现象： ３.拍的现象：
合振动忽强忽弱的现象． 合振动忽强忽弱的现象．
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
ν =|ν2-ν1|
ω拍 = ω2 −ω1 或： = T
2 π ω2 −ω1
11
拍原理的应用 电子技术：测频、差拍振荡、同步锁模． 电子技术：测频、差拍振荡、同步锁模． 调音等． 调音等．
（振动系统的能量减 小到起始能量的1/e时 小到起始能量的1/e时 所经过的时间） 所经过的时间）
（时间常量内振动 次数的2π倍）
20
品质因素Q 品质因素
Q = 2π
τ
T
= ωτ
讨论： 三.讨论： 欠阻尼： 欠阻尼：阻尼系数较小的 阻尼运动 阻 尼 振 动 的 分 类 过阻尼：阻尼作用过大时， 过阻尼：阻尼作用过大时， 物体的运动不再具有任何 周期性， 周期性，物体将从原来远 离平衡位置的状态慢慢回 到平衡位置， 到平衡位置，这种情况称 为过阻尼. 为过阻尼 临界阻尼：阻尼大小适当， 临界阻尼：阻尼大小适当， 运动处于一种临界阻尼状 态。此时系统还是一次性 地回到平衡状态， 地回到平衡状态，但所用 的时间比过阻尼的情况要 短.
2 2
=1
0
A x 1
y 超前 x为 π /2，质点按顺时针 /2， 为 方向（或右旋）作椭圆运动。 方向（或右旋）作椭圆运动。
14
y
(4)ϕ2 −ϕ1 = −π / 2
x2 A
2 1
+
y2 A
2 2
=1
0
x
y 落后 x为 π /2，质点按逆时针方向（或左旋）作椭圆运动。 为 ，质点按逆时针方向（或左旋）作椭圆运动。
2xy + 2− cos(ϕ2 −ϕ1) = sin 2 (ϕ2 −ϕ1) A2 A AA 1 2 1 2
讨论： (1 ϕ2 −ϕ1 = 0 讨论： )
y
x2
y2
A2
2xy + 2− =0 2 A A AA 1 2 1 2 x y − =0 A A 1 2
y 与 x 同相，质点做直线运动。 同相，质点做直线运动。
= 16 + 9 + 2× 4× 3cos(− ) = 5 2
π
cm
合振动的初相位为
A sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 tgϕ0 = 1 A cosϕ1 + A2 cosϕ2 1 2 = −3 = π 4 4cosπ + 3cos 2 4sin π + 3sin
π
6
由两旋转矢量的合成图可知， 由两旋转矢量的合成图可知，合振动的初相位应在第 二象限， 二象限，即
m 2m
2m
可有
d x dx 此方程的解应分 2 + 2β +ω0 x = 0 三种情形讨论： 2 三种情形讨论： dt dt
β < ω 称作欠阻尼 称作欠阻尼 欠阻尼(underdamping) β > ω 称作过阻尼 称作过阻尼 过阻尼(overdamping) β = ω 称作临界阻尼 称作临界阻尼 临界阻尼(critical damping )
图 7-A-19
例2：有两个同方向的简谐振动，其振动表达式分别为 ：有两个同方向的简谐振动，
x1 = 4cos(2πt + π ) cm cm
（1）求它们的合振动表达式； ）求它们的合振动表达式；
x2 = 3cos(2πt + ) 2
π
（2）另有一同方向的简谐振动 x3 = 2cos(2πt +ϕ3 ) 2） 为何值时， 的振幅为最大值？ 问当 ϕ3 为何值时，x1 + x3 的振幅为最大值？ 为何值时， 的振幅为最小值？ 问当 ϕ3 为何值时，x1 + x3 的振幅为最小值？
2
18
振动表达式: 二.振动表达式: 欠阻尼情形 在欠阻尼情形 (β < ω0 )下，
x = A0e
−β ⋅t
cos(ωt +ϕ0 )
2 ω = ω0 − β 2
cos(ωt +ϕ0 )
x
——反映物体在弹性力（或准弹性力) 反映物体在弹性力（ 弹性力 反映物体在弹性力 和阻力作用下的周期性运动。 和阻力作用下的周期性运动。 ——反映阻尼使振幅逐渐减小。 反映阻尼使振幅逐渐减小。 反映阻尼使振幅逐渐减小
当 ϕ3 −ϕ1 = ±(2k +1)π
(k = 0,1,2,L 时 )
相位相反时，合振动的振幅最小， 即x1与x3相位相反时，合振动的振幅最小， 由于 ϕ1 = π 故 ϕ3 = ±(2k +1)π + π 即
(k = 0,1,2,L )
ϕ3 = ±2kπ
(k = 0,1,2,L )
8
§6.7 同一直线上不同频率简谐运动的合成 x1 = A cosω t 1 1 1. 分振动: 分振动: x2 = A2 cosω t 2 A2 A 合振动: 2. 合振动: x = x1 + x2 当 (ω2 − ω ) t = 2kπ 时, 1 A 有最大值 A = A + A2 1 当 (ω2 − ω ) t = (2k +1) π 时， 1 A有最小值 A = A − A2 有最小值 1 合振动振幅的频率为: 合振动振幅的频率为:
ϕ1
x
x1 x = x1 + x2
A sinϕ1 + A sinϕ2 2 tanϕ = 1 A cosϕ1 + A cosϕ2 1 2
2
讨论: 讨论:
A = A + A + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1
2 1 2 2
(1)若两分振动同相, (1)若两分振动同相, 若两分振动同相 即 ϕ 2−ϕ 1=±2kπ ± π
π x 1 = 0 . 04 cos π t + cm 2
x2
π 故合振动表达式为： x = x 1 + x 2 = 0 .04 cos π t − cm 故合振动表达式为 表达式 2
4
π x 2 = 0 . 08 cos π t − cm 2
17
一．阻尼振动的振动方程： 阻尼振动的振动方程： 振子受到的阻力： 振子受到的阻力：
γ—阻力系数，由物 阻力系数，
体本身决定（ 体本身决定（物体的
大小、形状、 大小、形状、表面状况以 及介质的性质） 及介质的性质）
fr = −γv
dx d 2x 阻尼振动的动力学方程： 阻尼振动的动力学方程： − kx − γ =m 2 dt dt k γ 2 令 ω0 = , β = ，其中 β = γ 称阻尼系数． 称阻尼系数．
x = Acosϕ cosωt − Asinϕ sinω t = Acos(ω t +ϕ)
A sinϕ1 + A sinϕ2 2 tanϕ = 1 A = A + A + 2A A cos(ϕ2 −ϕ1) 1 2 A cosϕ1 + A cosϕ2 1 2
2 1 2 2
结论： 仍是简谐振动. 结论：合振动 x 仍是简谐振动.
ω2 - ω1<< ω2 + ω1 ，令 x = A(t)cosωt
其中 A(t) = 2Acos(
ω2 −ω1
2
t)
cosωt = cos(
ω2 +ω1
2
t)
随 t 缓变
随 t 快变
结论： 可看作是振幅缓变的简谐振动。 结论：合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。 10
x1
t
x2
t
A = 2Acos(
cm
5
解：（1）由题意知为两个同频率同振向的简谐振 ） 动的合成，其合振动也是简谐振动， 动的合成，其合振动也是简谐振动，且合振动的圆 频率与分振动的圆频率相同.设合振动表达式为 频率与分振动的圆频率相同 设合振动表达式为
x = Acos(ωt + ϕ0 )
合振动的振幅为
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1 ) 1 1
3
例题1 例题 ： 如 图所 示 的 两 个 简 谐 振 动 的 振 动 曲线 。 若以余弦函数表示这两个振动的合成结果， 表达式为 则 合 振 动 的表达式为 解：据谐振动曲线可得
2π 2π ω= = =π T 2
X (cm)
0.08
u
x1
O
1 0.04 2
t (s)
两个谐振动表达式为 两个谐振动表达式为 表达式
4 ϕ0 = π 5
故所求的合振动表达式为
4 x = 5cos(2πt + π ) 5
cm
7
（2）当 ϕ3 −ϕ1 = ±2kπ ）
(k = 0,1,2,L 时 )
相位相同时，合振动的振幅最大， 即x1与x3相位相同时，合振动的振幅最大， 由于 ϕ1 = π 故
ϕ3 = ±2kπ + π
(k = 0,1,2,L )
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强， A1=A2 时 , A=2A1. 两分振动相互加强， 当 (2)若两分振动反相 若两分振动反相 若两分振动反相, ϕ2−ϕ1=±(2k+1)π 即 ± π (k=0,1,2,…)
两分振动相互减弱， 则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱， A1=A2 时, A=0. 当 (3)当相差 为其它值时,合振幅的值界于其间 合振幅的值界于其间. (3)当相差ϕ 2−ϕ 1为其它值时 合振幅的值界于其间
习题: 习题 P210~ 24. 25.
12
*§6.8 相互垂直的简谐运动的合成
设两个同频率的简谐运动分别在X轴和 轴上运动 设两个同频率的简谐运动分别在 轴和Y轴上运动： 轴和 轴上运动：
x = A cos(ωt +ϕ1) 1
一、质点轨道方程： 质点轨道方程：
y = A cos(ωt +ϕ2 ) 2
x2
y2
0
A x 1
13
(2)ϕ2 −ϕ1 = π
2xy + 2+ =0 2 A A AA 1 2 1 2 x y + =0 A A 1 2
y 与 x 反相，质点做负斜率直线运动。 反相，质点做负斜率直线运动。
y
A2
x2
y2
0
A x 1
(3)ϕ2 −ϕ1 = π / 2
x2 A
2 1
y
A2
+
y2 A
注意：由李萨如图形， 注意：由李萨如图形，可以从一个已知的振动周期求出另一个振动 的周期。 的周期。 16
§6.4 阻尼振动
阻尼振动：振动系统受到阻力的作用， 阻尼振动：振动系统受到阻力的作用，能量 随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。 随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。 ·阻尼(damp)：消耗振动系统能量的原因。 阻尼(damp) 消耗振动系统能量的原因。 阻尼 阻 尼 分 类 摩擦阻尼：系统受到摩擦力的作用，克 摩擦阻尼：系统受到摩擦力的作用， 受到摩擦力的作用 服阻力作功使振幅减小 减小,系统的动能转化 服阻力作功使振幅减小 系统的动能转化 为热能。 为热能。 辐射阻尼：振动以波的形式向外传播， 辐射阻尼：振动以波的形式向外传播， 使振动能量向周围辐射出去。 使振动能量向周围辐射出去。
(ω2 − ω ) T = 2π 1
ω2t ϕ ωt 1 O x2 x1 x = x1 + x2
A1
(ω2 −ω1)t
x
ω2 −ω1 v= = v2 − v1 2π
9
结论： 不再是简谐振动. 结论：合振动 x 不再是简谐振动.
振幅相同不同频率的简谐振动的合成 x1 = Acosω1t 分振动: 1. 分振动: x2 = Acosω2t 合振动: 2. 合振动: x = x1 + x2 = Acosω1t + Acosω2t ω2 −ω1 ω2 +ω1 = 2Acos( )t ⋅ cos( )t 2 2 当 ω2 ≅ ω1 时 ,
§6.6 同一直线上同频率简谐运动的合成
1 分振动: 1. 分振动: x1 = A cos(ω t +ϕ1) x2 = A2 cos(ω t +ϕ2 ) 合振动: 2. 合振动: x = x1 + x2= A cos(ω t +ϕ1) + A2 cos(ω t +ϕ2 ) 1 = ( A cosϕ1 + A cosϕ2 ) cosω t − ( A sinϕ1 + A sinϕ2 )sinω t 1 2 1 2 Asinϕ Acosϕ