湖北省武汉市武汉三中等六校2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题

湖北省部分重点中学2018——2019学年度下学期期中联考
高一数学试卷
一．选择题（每小题5分，共60分）
1.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）
A.＞
B.＜
C.＞
D.＜
【答案】B
【解析】
因为,所以又，所以,变形得,选D.
2.设向量A.，，则下列结论中正确的是
B.
C.与垂直
D.∥
【答案】C
【解析】
试题分析：因为向量,，，所以，选项A错误；
，选项B错误；，所以与垂直，选项C正确；因为1×1-0×1≠0，所以向量与不平行，选项D错误。

考点：向量的数量积；向量数量积的性质；向量垂直的条件；向量平行的条件。

点评：熟记向量平行和垂直的条件，设非零向量垂直的充要条件：：；
向量共线的充要条件：。

3.若向量＝(11)，＝(1，－1)，＝(－1,2)，则等于()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：设
考点：平面向量基本定理
4.若一元二次不等式
A. B.【答案】A
【解析】
【分析】
由一元二次不等式，可知【详解】因为一元二次不等式
对一切实数都成立,则的取值范围为（）
C. D.
，所以，得到的范围.
，对一切实数都成立，
所以，即，解得
所以的取值范围为
故选A项.
【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.
5.已知中，分别为的对边，，则等于（）
A. B.或 C. D.或【答案】D
【解析】
,因为.
6.已知，则向量与向量的夹角是（）
A.
【答案】C
【解析】
B. C. D.
试题分析：根据已知可得：
考点：向量的运算
【此处有视频，请去附件查看】
，所以，所以夹角为，故选择C
7.在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
依题意，解得，由余弦定理得.【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出边的长，再用余弦定理即可求得边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.
8.如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（）海里/小时．
A.
C.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出的值，再根据正弦定理求出
B.
D.
的值，从而求得船的航行速度.
【详解】由题意
中，由正弦定理得
，
，得
所以船的航行速度为（海里/小时）
故选C项.
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于简单题.
9.已知A.
【答案】A 【解析】【分析】，且，则
B.
的最小值为（）
C. D.
对使用基本不等式，再代入条件，得到最小值，然后研究等号成立条件，确定最终答案.【详解】由题意
根据基本不等式，得
当且仅当时，即时，等号成立.
故选A项.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于简单题.
10.在菱形ABCD中，若
A.2
C.||cos A
【答案】B
【解析】
【分析】，则等于( )
B.－2
D. 与菱形的边长有关
根据，得到，连接交于，将用表示，得到答案.【详解】连接交于，根据菱形，可知
因为，所以，所以
而，
所以
故选B项.
【点睛】本题考查向量间的互相表示，向量的数量积，属于简单题.
11.已知，，则的最小值为（）
A.
【答案】A 【解析】【分析】
根据
【详解】因为B.
，转化为求
，所以
C. D.
的最小值，然后根据基本不等式，得到答案.
当且仅当
所以的最小值为
，即时，等号成立
故选A项.
【点睛】本题考查对数的基本运算，基本不等式的运用，属于简单题.
12.已△知ABC的面积为,∠BAC=,AD△是ABC的角平分线,则AD长度的最大值为（）
A.
【答案】D
【解析】
【分析】
B. C. D.
由，，，而，从而得到与
【详解】
而
因此
得
而中，∠BAC=
，
，
,AD是角平分线得
，
所以
故选D项.
【点睛】本题考查正弦定理解三角形，基本不等式，属于中档题.
二．填空题（每小题5分，共20分）
13.若关于的不等式
【答案】1
【解析】
【分析】
的解集为，则__________
根据二次不等式和二次方程的关系，得到的值.
【详解】因为关于的不等式
是方程
的解集为
的两根，由根与系数的关系得到
所以是方程
，
的两根，
由根与系数的关系得，解得
【点睛】本题考查一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，根与系数之间的关系，属于简单题.
14.已知
【答案】
【解析】
中，，则=_________
【分析】
对条件中的式子，利用正弦定理化成边，然后利用余弦定理，得到
的值，然后得到 的值.
【详解】在
所以
所以
中，由正弦定理得
，
，得
，
由余弦定理得
又因
所以
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于简单题.
15.在
【答案】
【解析】
如图：
中，点 ， 满足 ， ．若 ，则
__________．
∴
∴
，
，
，
．
点睛：把一个向量用另外的向量表示时，主要掌握向量的加减法运算中三角形法则，即由待表示向量的起
始字母首尾相连到结束的字母，然后再结合向量的数乘运算，把所有的向量用基底表示即可得结论．
16.如图，已知点是平行四边形的中心，过点作直线与边及的延长线分别交于,若
，，则的最小值为___________
【答案】
【解析】
【分析】
利用，转化到上，得到之间的关系，再利用基本不等式求得的最小值.
【详解】，
，共线，所以
而，
所以，即
当且仅当，即，等号成立.
【点睛】本题考查向量的基底代换，向量共线表示，基本不等式中“1的代换”，属于中档题.
三．解答题17.已知
（1）若（2）若向量【答案】（1）【解析】【分析】，且
与
或
，
，求；
互相垂直，求的
值．（2）
（1）设向量，根据，得到方程，然后根据，得到的另一个方程，解出，得到.（2）根据向量互相垂直，得到，然后代入和，得到关于的方程，得到答案.
【详解】（1）设
因为因为，所以
，所以
，
解得所以或
或
，
（2）向量所以与互相垂直
，即
而
所以
因此，解得
【点睛】本题考查向量的平行和垂直关系的转化，属于简单题.
18.已知三个内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求角，
(2)若=,的面积为，求.
【答案】（1）（2）3
【解析】
【分析】
（1）把条件中的式子利用正弦定理进行边化角，然后得到的值，然后得到角的值.
（2）由
的值.
的面积为，结合（1）中的结论，得到的值，再利用余弦定理得到的值，从而求出
【详解】（1）在所以
中，由正弦定理得，可转化为
因为为的内角，所以，所以
得，因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，可得
在中，由余弦定理得，即
所以，又
所以.
【点睛】本题考查正弦定理边化角，余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.
19.解关于的不等式.
【答案】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，.
【解析】
试题分析：（1）第一层先讨论，确定二次不等式对应二次函数开口方向；（2）时要讨论根和的大小关系，结合三个二次的关系得不等式的解集.
试题解析：当当时，时，
；
当时，；当时，；
当时，.
考点：二次不等式的解法，分类讨论思想.
20.四边形中，∠∠的面积为.
（1）求;（2）若，求.
【答案】（1）4（2）3
【解析】
【分析】
（1）根据的面积为，求出，从而得到，再利用余弦定理得到的长；（2）根据（1）
中求出的长，得到
【详解】（1）在中，的值，再求得
，
的值，利用正弦定理，求得
的面积为，
的长.
可得，所以
因为在
，所以
中，由余弦定理得
所以（2）在而
在
得
.
中，
，所以
中，由正弦定理得
.
，即，
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的运用，属于简单题.
21.甲、乙两地相距100，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度为（）.已知汽车每小时的运输成本（单位为元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度的平方成正比，比例系数为；固
定部分为元(
（1）若（2）若已知，
为正的常数）.
，要使全程的运输成本不超过500元，求速度的取值范围；.
①试分析为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶；
②若要使得全程运输成本的最小值不高于600元，试求的最大值.
【答案】（1）
【解析】
【分析】
（2）①②360
根据题意分别表示运输成本的可变部分和固定部分，将运输成本表示成关于速度的函数，（1）代入的值，根据题意列出不等式，解出的范围；
（2）①利用基本不等式，求出运输成本的最小值，其中等号成立条件即为所求；②根据题意列出不等式，分离出，然后求出的最大值.
【详解】由题意运输成本（）
（1），，不超过500元，则有，
即，解得.
又因，所以的范围为.
（2）①由基本不等式得
当且仅当而
，即
，所以
时等号成立.
，所以等号可以成立，
即汽车以②根据题意整理得的速度行驶时，全程运输成本最小，最小值为
，即
，
.
设，当时，.故，即.
由
又，故，可得
，所以的最大值为
，所以
.
【点睛】本题考查将实际应用题转化为数学表达式的能力，解一元二次不等式，利用基本不等式求最值，参变分离求参数的最值，属于难题.
22.已知中，角的对边分别为，且.
（1）求证：；（2）若，试求.
【答案】（1）见解析（2）4：5：6
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理写出，代入已知条件进行化简，利用基本不等式，得到的范围，然后得到的范围.（2）利用正弦定理进行边化角，然后代入，整理化简得到关于的方程，解出，再利用余
弦定理，表示出【详解】（1）由余弦定理得之间的关系，然后得到
中，
.
而是（2）在由
因为
所以
内角，所以
中，由正弦定理得得
，所以
因
整理得解得因为
，所以
或
，所以，所以
由余弦定理得得
，代入，整理得
所以
所以
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，两角和的正弦公式，二倍角公式等综合运用，属于难题.。