数系的扩充与复数的概念 课件

复数的分类 m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－
15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ [分析] 在本题是复数的标准形式下，即 z＝a＋bi(a，b∈
R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合 即可．
[解析] (1)由条件得mm＋2－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠5－或3m. ＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm＋2－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
3．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中 i叫做虚数单位，满足i2＝___－__1___.
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的 __复__数_集___与__虚_部_____．全体复数构成的集合叫做 实部
复数的相等与复数的分类
4．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋ di⇔a_＝__c且__b_＝_d_______.
数系的扩充与复数的概念
数系的扩充与复数的概念
我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，再扩充到有 理数(分数、有限小数和无限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但 在实数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＝ b2－4ac<0时无实数解，我们能否设想一种方法使得Δ<0时方程也有 解呢？
1．数系扩充的原因、脉络、原则
脉 络 ： 自 然 数 系 → 整 数 系 → 有 理 数 系 → 实 数 系 → _ _ _ _复_ _数_系_
原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求与 数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用．
原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则：
(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；
2．对于复数z＝a＋bi(a、b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实 部与虚部的角度分解成两部分去认识它．
3．形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R 且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数．
复数相等的条件
已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i， 求实数x，y的值．
(3)当mm22＋－52mm＋－61＝5≠0.0， 时，复数 z 是纯虚数，∴m＝－ 2.
(4)当mm22＋－52mm＋－61＝5＝0.0， 时，复数 z 是 0，∴m＝－3.
复数的概念
下列命题中，正确命题的个数是__________． ①若x、y∈C则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a、b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0； ④若a∈R，则(a＋1)i为纯虚数． [分析] (1)是两复数相等，用复数相等的充要条件判断；②是复数比较大小，必须全是实数才可比
[答案] －1
[解析] 以 A∩B＝{3}为解题突破口，按题意 a2－3a－1＋ (a2－5a－6)i＝3，
∴aa22－－53aa－－61＝＝03.， 解得 a＝－1.
5．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________________． [答案] －3
[解析] ∵z<0，∴mm2＋－19<＝0 0 ，∴m＝－3.
[方法规律总结] 学习本章必须准确理解复数的概念． (1)复数的代数形式： 若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)虚数单位i的性质： ①i2＝－1. ②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律． ③由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立． 例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小．
5．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是 __a＝__0_且_b_＝__0______，a＝0是z为纯虚必数要的不充分
_____________条件．
6．复数的分类 b≠0
(1)复数z＝a＋b
i(
a、
b
∈R
)
a＝0 ，zb≠为0实数⇔_b＝0 Nhomakorabea______
_
，
z
为
虚
数⇔________，z为纯虚数⇔_____________.
(2)集合表示：
牛刀小试
3．若复数 z＝mmm－＋14＋(m＋2)i 的实部与虚部相等，则 m
的值为________________．
[答案] [解析]
－23 由条件知mmm－＋14＝m＋2，
∴m2＋4m＝m2＋m－2，
∴m＝－23.
4．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，则实数a的值为 ______________．
m2－m－6＝0， (3)由条件得m＋3≠0，
m2－2m－15≠0，
∴mm＝ ≠3－或3m，＝－2， m≠5且m≠－3.
∴当 m＝3 或 m＝－2 时，z 是纯虚数．
[方法规律总结] 1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先，参数的取 值要保证复数有意义，然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的充要条件求解．
(2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要
性 质 ( 如 运 算 定 律 ) _ _ _ _依_然_ _ _ 适 用 ；
(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系 保_持_不__变____；
(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾．
2．对于方程x2＋2x＋3＝0，由于Δ＝－8，所以方程在实 数范围内无解，若引入一个新的数i，使得i2＝－1，则此 方程的解可写成x1＝__－__1_＋__2__i ___，x2＝ __－_1_－___2__i ___.
6．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0. [解析] 由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3. (1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或－3； (2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.
当a＝b＝0时，a－b＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误，因此选A.
[警示] 复数有许多与实数不同的性质，在引用实数的一些结论时，一定要考虑在复数集中是否还成 立，如两个实数可以比较大小，但不全为实数的两个复数就不能比较大小；在今后学习过程中要 注意将复数集与实数集不同的一些性质积累起来．
[解析] 因为 x、y 为实数， 所以 2x－1，y＋1，x－y，－x－y 均为实数． 由复数相等的充要条件，知2y＋x－11＝＝－x－x－y，y， 所以yx＝＝－3，2.
[方法规律总结] 找到两复数的实部与虚部后，根据复数相等的充要条件，实部与虚部分别相等即可 求得x、y的值．
准确掌握概念
在下列命题中，正确命题的个数是( )
①两个复数不能比较大小；
②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2； ③若a、b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数．
A．0
B．1
C．2
D．3
[错解] 两个复数不能比较大小，故①正确； 设z1＝mi(m∈R)，z2＝ni(n∈R) ∵z1与z2的虚部相等，∴m＝n，∴z1＝z2，故②正确． 若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0， 所以(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，故③正确． 综上可知：①②③都正确，故选D. [辨析] 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解①中忽视了这一特殊情况导致错误；
而错解②将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数 为bi(b∈R且b≠0)虚数为a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．③中要保证a＋b≠0才可能是纯虚数．
[正解] 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是不正确的；
设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c，d∈R且d≠0)，∵b＝d，∴z2＝c＋bi. 当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②是错误的，③当a＝b≠0时，a－b＋(a＋b)i是纯虚数，
较；③是在实数条件下x2≥0求得结果，当x为复数时，x2≥0未必成立；(4)要按复数是纯虚数的充 要条件判断．
[解析] ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是 假命题．
②由于两个虚数不能比较大小， ∴②是假命题． ③当x＝1，y＝i时 x2＋y2＝0成立，∴③是假命题． ④ 当a＝－1时，a∈R，但(a＋1)i＝0不是纯虚数． [答案] 0