(新)浙教版八年级数学下册2.4 一元二次方程根与系数的关系 习题(含答案)

2.4一元二次方程根与系数的关系
一、选择题
1.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x
1，x
2
，则x
1·
x2的值是()
A.4
B.−4
C.3
D.−3
2.已知一元二次方程x2+3x−4=0的两个根为x
1，x
2
，则x
1·
x2的值是()
A.4
B.−4
C.3
D.−3
3.已知x
1，x
2
是方程x2−x−3=0的两根，那么x21+x22的值是()
A.1
B.5
C.7
D.49 4
4.一元二次方程x2−3x−1=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值是()
A.3
B.−3
C.−1
D.1
5.设α，β是方程x2−2x−1=0的两根，则代数式α+β+αβ的值是()
A.1
B.−1
C.3
D.−3
6.已知α，β是一元二次方程x2−5x−2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为()
A.−1
B.9
C.23
D.27
7.已知一元二次方程x2−6x+c=0有一个根为2，则另一个根为()
A.2
B.3
C.4
D.8
8.已知m，n是关于x的一元二次方程x2−3x+a的两个根，若(m−1)(n−1)=−6．则a的值为()
A.−10
B.−4
C.4
D.10
9.已知x
1，x
2
是关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足x1+x2=m2，
则m的值是()
A.−1
B.3
C.3或−1
D.−3或1
10.关于x的方程x2+|x|−a2=0的所有实数根之和等于()
A.−1
B.1
C.0
D.−a2
二、填空题
11.已知一元二次方程x2+2x−5=0的两根为x1，x2，则x1+x2=.
12.已知x
1，x
2
是方程2x2−3x=3的两个根，则x1
x
2
+
x
2
x
1
的值为．
13.已知关于x的方程x2−6x+k=0的两个根分别是m，n，且3m+2n=20，则k的值为．
14.如果一个矩形的长和宽是一元二次方程x2−10x+20=0的两个根，那么这个矩形的周长是．
15.若方程2x2−3x−4=0的两根为x1，x2，则x1·x2=．
16.若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则p的值是．
17.已知x
1，x
2
是方程x2−x−2013=0的两个实数根，则x31+2014x2−2013=．
18.若两个不相等的实数m，n满足m2−2m−1=0，n2−2n−1=0，则m2+n2的值是．
19.已知x
1，x
2
是一元二次方程4x2−(3m−5)x−6m2=0的两个实数根，且
x1
x
2
=3
2
，则m=．
20.关于x 的二次方程mx 2−2(m −1)x −4=0(m =0)的两根一个比1大，另一个比1小，则m 的取值范围
是．三、解答题
21.已知关于x 的一元二次方程x 2−(k +1)x −6=0的一个根是2，求方程的另一根和k 的值．22.已知关于x 的一元二次方程x 2−(m −3)x −m 2=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根．
(2)设这个方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且|x 1|=|x 2|−2，求m 的值及方程的根．
23.设x 1，x 2是方程2x 2−4mx +2m 2+3m −2=0的两个实数根，当m 为何值时，x 21+x 2
2有最小值?并求出这
个最小值．
24.已知一元二次方程ax 2−√
2bx +c =0的两个根满足|x 1−x 2|=√2，
且a ，b ，c 分别是△ABC 的∠A ，∠B ，∠C 的对边．若a =c ，求∠B 的度数．小敏解得此题的正确答案”∠B =120◦”后，思考以下问题，请你帮助解答．
(1)若在原题中，将方程改为ax 2−√
3bx +c =0，要得到∠B =120◦，而条件”a =c ”不变，那么应对条件
中的|x 1−x 2|的值作怎样的改变?并说明理由．
(2)若在原题中，将方程改为ax 2−√
nbx +c =0(n 为正整数，n ⩾2)，要得到∠B =120◦，而条件”a =c
”不变，那么条件中的|x 1−x 2|的值应改为多少（不必说明理由)?
25.已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0．
(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
(2)已知x 1，x 2是原方程的两个根，且|x 1−x 2|=2√
2，求m 的值，并求出此时方程的根．
2.4一元二次方程根与系数的关系—答案
一、选择题
12345678910D B C A A D C B B C
9.由题意，得x 1+x 2=m 2=2m +3，
∴m 2−2m −3=0，解得m 1=3，m 2=−1．
∵∆=[−(2m +3)]2−4m 2=12m +9>0，
∴m >−3
4
．
∴m 2=−1不合题意，舍去．∴m =3．二、填空题11.−2
12.−
7213.−1614.2015.−2
16.±2解析：由题意，得x 1·x 2=1，且有一个实数根的倒数恰好是它本身，
∴x 1=1，x 2=1或x 1=−1，x 2=−1.∴p =−(x 1+x 2)=±2．
17.2014解析：因为x 1+x 2=1，x 1·x 2=−2013.所以x 2=1−x 1.
所以x 1(1−x 1)=−2013.所以x 21=x 1+2013.所以x 31+2014x 2−2013=x 1(x 1+2013)+2014x 2−2013=x 21+2013x 1+2014x 2−2013
=x 1+2013+2013x 1+2014x 2−20132014(x 1+x 2)=2014×1=2014.
18.6．解析：由题意，知m ，n 是一元二次方程x 2−2x −1=0的两个根，
∴m +n =2，mn =−1，∴m 2+n 2=(m +n )2−2mn
=22−2×(−1)=4+2=6.
19.1或5解析：由韦达定理知x 1+x 2=3m −5
4
，x 1x 2=
−
32m 2．∵ x 1x 2
=
32
，而由x 1x 2=−3
2
m 2<0，知x 1，x 2异号．
故x 1x 2=−32
．
令x 1=3k ，x 2=−2k ，
则得3k +(−2k )=3m −54，(3k )(−2k )=−3
2m 2．
从上面两式消去k 得，−6Ä3−5m 4ä2=−32
m 2
．
即m 2−6m +5=0．解得m 1=1，m 2=5．
20.m >0或m <−2解析：设方程有两个根为x 1，x 2，由韦达
定理得x 1+x 2=2(m −1)m ，x 1·x 2=−4
m
．
又由已知，有(x 1−1)(x 2−1)<0，即x 1x 2−(x 1+x 2)+1<0．
故有−4
m −2(m −1)m
+1<0．
∴2+m m
>0，
∴m >0或m <−2．三、解答题
21.设方程的另一根为x 1，由韦达定理2x 1=−6，∴x 1=−3．由韦达定理−3+2=k +1，∴k =−2．22.
(1)∵a =1，b =−(m −3)=3−m ，c =−m 2，∴∆=b 2−4ac =
(3−m )2
−4×(−m 2)=5Äm −35ä2=365
>0，∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)∵x 1·x 2=c
a
=−m 2⩽0，
∴x 1⩾0，x 2⩽0或x 1⩽0，x 2⩾0．∵|x 1|=|x 2|−2，∴|x 1|−|x 2|=−2．若x 1⩾0，x 2⩽0，则x 1+x 2=−2，∴x 1+x 2=m −3=−2，即m =1．方程可化为x 2+2x −1=0，解得x 1=−1+√2，x 2=−1−√2，∴x 1+x 2=m −3=2，即m =5．方程可化为x 2−2x −25=0，解得x 1=1−√26，x 2=1+√
26．
23.∵x 1，x 2是方程2x 2−4mx +2m 2+3m −2=0的两个实数根，
∴x 1+x 2=2m ，x 1·x 2=2m 2+3m +2
2，∆=(−4m )2−4×
2×(2m 2+3m −2)
=16m 2−16m 2−24m +16⩾0，
∴m ⩽2
3
，
x 21+x 2
2=(x 1+x 2)2−2x 1·x 2
=4m 2−(2m 2+3m −2)
=2m 2−3m +2
=2 Äm −34ä2 +7
8
.
当m ⩽2
3时，易知2 Äm −34ä2 随m 的增大而减少，
∴当m =23时，x 21+x 22有最小值，最小值为89
．24.
(1)∵∠B =120◦，a =c ，∴b =√
3a ，△=5a 2>0.又∵|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2
−4x 1x 2=√3b 2
a −4c a ∴|x 1−x 2|=√
5．
(2)|x 1−x 2|=√3n −4.25.
(1)
∵∆=(m +3)2−4(m +1)
=m 2+6m +9−4m −4=m 2+2m +5
=(m +1)2+4⩾4>0，
∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．(2)∵x 1，x 2是原方程的两个根，∴x 1+x 2=−(m +3)，x 1x 2=m +1．∵|x 1−x 2|=2√2，∴(x 1−x 2)2=8，
∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8，
∴[−(m +3)]2−4(m +1)=8，整理，得m 2+2m −3=0，解得m 1=−3，m 2=1．当m =−3时，x 2−2=0，解得x 1=√
2，x 2=−√2；当m =1时，x 2+4x +2=0，解得x 1=−2+√
2，
x 2=−2−√2．。