解直角三角形及其应用(第二课时)

课题 28.2.2 第2课时 解直角三角形应用题
【学习目标】
1、理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步提高分析问题、解决问题的能力．
【过程与方法】
学会这样分析问题．
【情感态度与价值观】
体会用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，提高学生的兴趣。

【教学重点、难点】
重点：用三角函数有关知识解决方位角问题
难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
一、旧知回顾
1．在三角形中共有几个元素？
2．在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，B A c b a ∠∠,,,,这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)三边之间关系：
(2)两锐角之间关系：
(3)边角之间关系：
在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，
（1）已知︒=∠60A ,6=AB ，则=∠B ,=AC ，=BC
（2）已知3=AC ，6=AB ，则=∠B , =∠A ，=BC
（3）已知︒=∠60A ,︒=∠30B ，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ C A B
结论：在直角三角形六个元素中，除直角外，已知 个元素（ 至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以有已知的元素求出其余元素。

解直角三角形：由直角三角形中除直角外的 个已知元素( 至少有一个是边)，求出 的过程，叫做解直角三角形．
二、新课教学
1．作高构造直角三角形解决实际问题
【例1】 如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°.已知原传送带AB 长为4 m.
(1)求新传送带AC 的长度；
(2)如果需要在货物着地点C 的左侧留出2 m 的通道，试判断距离B 点4 m 的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：(1)(2)的计算结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)
分析：(1)如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，通过Rt △ABD 求出AD 的长，然后再通过Rt △ACD 求出AC 的长；(2)通过BC 的长的计算判断货物是否需要挪走．
解：(1)如图，作AD ⊥BC 于点D.在Rt △ABD 中，AD ＝ABsin 45°＝4×22＝
22(m)．
在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝30°，∴AC ＝2AD ＝42≈5.6(m)，即新传送带AC 的长度约为5.6 m.
(2)结论：货物MNQP 应挪走．
在Rt △ABD 中，BD ＝ABcos 45°＝4×22＝22(m)．
在Rt △ACD 中，CD ＝ACcos 30°＝42×32＝26(m)．
∴CB ＝CD －BD ＝26－22＝2(6－2)≈2.1(m)．
∵PC ＝PB －CB ＝4－2.1＝1.9(m)＜2 m ，
∴货物MNQP 应挪走．
2．利用仰角、俯角解决生活中的测高问题
【例2】为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图)．已知立杆AB 的高度是3 m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌BC 的高度．
分析：在Rt △ABD 中，AB ＝3 m ，∠ADB ＝45°，所以可利用解直角三角形的知识求出AD ；类似地，可以求出AC.
解：在Rt △ABD 中，AB ＝3 m ，∠ADB ＝45°，
所以AD ＝AB tan ∠ADB ＝3tan 45°＝31＝3(m)． Rt △ACD 中，AD ＝3 m ，∠ADC ＝60°，所以AC ＝ADtan ∠ADC ＝3×tan 60°＝3×3＝33(m)． 所以路况显示牌BC 的高度为(33－3) m.
三、巩固练习：
1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5 m ，AB 为1.5 m (即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是( )．
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫533＋32 m
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫53＋32 m
C.533 m D ．4 m
2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，CD ＝3，AD ＝BC ，且cos ∠ADC ＝35，则BD 的长是( )．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
(第2题图)
3．如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB ，CE ＝8 m ，测得旗杆顶的仰角∠ECA ＝30°，旗杆底部的俯角∠ECB ＝45°，那么旗杆AB 的高度是( )．
(第3题图)
A ．(82＋83) m
B ．(8＋83) m C.⎝ ⎛⎭⎪⎫82＋833 m D.⎝
⎛⎭⎪⎫8＋833 m 4．如图，在高出海平面100 m 的悬崖顶A 处，观测海平面上一艘小船B ，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC ＝__________ m.
5．如图，某海岛上的观察所A 发现海上某船只B 并测得其俯角α＝8°14′，已知观察所A 的高AC ＝41.11 m ，求观察所A 到船只B 的水平距离BC(精确到1 m)．
四、总结消化、整理笔记
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．
2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．
3．得到数学问题的答案．
4．得到实际问题的答案．
五、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本77页练习2
（二）提高、拓展练习：分层作业。