第二章电阻电路的等效变换

ab
20 100 60
120 60
ab 20 100
100 Rab＝70
ab
20 100 60
40
例2 求: Rab
5
15 6
a 20
b
缩短无
电阻支路
7
6
Rab＝10
4 a b
15
10
20
5
a
15 b
7 6 6 4 a
b
15 7
3
例6
求: Rab c
对称电路 c、d等电位
R
R
R
c R
a R
断路 a
+a
2 +
U
6V –
(a)
b
3 9V +
(b)
解: a
+
+a U b
a +
3A 2 U
3A 3 U
b
(a)
b
(b)
例1: 求下列各电源等效变换
+a
3A 1 U
解:
(c)
b
a
+
1 +
U
3V –
(c)
b
+a
2A 5 U
(d) b
a
+
5 -
U
10V +
(d)
b
例2: 试用电压源与电流源等效变换的方法，计算2
2.1 概述
1 一些概念
1）电阻电路 仅由电源和线性电阻构成的电路。
2）等效的概念：
若结构、元件参数不相同的两部分电路N1、N2，具 有相同的电压、电流关系，则称它们彼此等效。
i
等效
N1
u
i
N2
u
对N3电路中的电流、电压和功率而言，满足
N1
N3 = N2
N3
明确 （1）电路等效变换的条件 （2）电路等效变换的对象
源才能并联,
电源中的电
流不确定。
1'
＋
＋
uS1
uS2
－
－
1'
uS1 uS2
（3）电压源与支路的串、并联等效
uS1 _ +
uS2 +
_
+ uS _ R
i
R1
+
u
R2_
i +u _
u us1 R1i us2 R2i (uS1 uS2) (R1 R2)i uS Ri
i
i
+
+
uS _
第2章 电阻电路的等效变换
第2章 电阻电路的等效变换
2.1 概述 2.2 电阻的串联和并联 2.3 电阻的Y形和△形连接的等效变换 2.4 电源的等效变换 2.5 输入电阻和等效电阻
本章要求:
1.理解电路等效变换的概念； 2.熟练掌握电阻的串联、并联与混联的等效变换， 初步掌握电阻Y形联结与△形联结 的等效变换； 3.掌握电源的串联、并联，实际电源的两种模型 及等效变换； 4.掌握一端口电路输入电阻的计算。
【例2.6】如图所示，求电路中a、b间的等效电阻
Req和电流i
i
a
＋
R1
R2
解：将上图R1、R2、R5组成 的△形电路转换成下图Ra、
5V －
Rc、Rd组成的Y形电路
2.5Ω
3Ω 5Ω
R5
c
d
R3 2Ω R4
1.4Ω
1Ω
35 Ra 3 5 2 1.5Ω
b
i
a
23 Rc 3 5 2 0.6Ω
任意 元件
uR _
+
+
uS
uR
_
_
对外电路而言，与电压源并联的元件为虚元件，应断开。
（4） 理想电流源的并联
n
iS iS1 iS 2 iSn iSk k 1
1
iS
＋
注意参考方向
1 ＋
u － 1'
iS1
iS2
iSn
u iS
－ 1'
（5） 理想电流源的串联
iS1
iS2
iSn
1
1'
iS iS1 iS2 iSk iSn
i3 =u31 /R31 – u23 /R23
(1)
根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得Y的变换条件：
R3
1
R1R2 R2 R3 R3R1 R12
R12
R1 R3
R2 R3 R3
R1 R2
同理得：R23
R1 R2
R1 R3 R1
R2 R3
R31
R2 R3
R1 R2 R2
R3 R1
由Y 的变换条件：
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in
2. 等效电阻Req
i1
＋
i1
i2
ik
in
u
G1
G2
Gk
Gn
－
1'
i1
＋
u
Geq
－
1'
由KCL: i i1 i2 ik in
G1u G2u Gku Gnu (G1 G2 Gk Gn )u Gequ
i
u Req
uGeq
1
就是并联。 2）若流经电阻的电流是同一个电流，那就是串联
；若电阻上承受的是同一个电压，那就是并联。 3）可对电路作变形等效。 4）对于具有对称特点的电路，若两点是等电位点
，一是可以用短接线把等电位点联起来；二是把联接 等电位点的支路断开（因支路中无电流）。
例1 求: Rab ab
20
100 10
40 80 60 50
Req
Geq
n
Gk
k 1
n k 1
1 Rk
结论 等效电导等于并联的各电导之和。 且 Req Rk
3 并联电阻的分流
分流公式
ia
iS
＋
u
－
i1
i2
in
R1 R2 Rn
ik u / Rk Gk i u / Req Geq
b
可见：电流分配与电导成正比
ik
Gk Geq
i
例：两并联电阻的分流： i
Req
（3）电路等效变换的目的
两电路具有相同的VCR 未变化的外电路N3中的 电压、电流和功率（即对 外等效，对内不等效）
化简电路，方便计算
2.2 电阻的串联和并联
一、 电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
1. 电路特点:
R1
Rk
Rn
i + u1 _ + uk _ + un _
iS R
_
对外电路而言，与电流源串联的元件为虚元件，应短路。
【例2.7】将图示电路等效简化为一个电压源或电流源。
iS2 1A iS3 3A
iS1 2A
R2
－
uS
2V
＋
iS4 6A
R1
a
b
iSｅｑ ４A
iS23 2A
－
uS
2V
＋
iS4 6A
a
b
iS23 2A
iS4 6A
a
b
a
b
(7)．实际电压源的模型和伏安特性曲线
1 R1 1 R2 1 R1 1 R2
R1R2 R1 R2
R1
i1 R2
i2
i1
1
1 R1 R1 1
R2
i
R2i R1 R2
i2
1
1 R2 R1 1
R2
i
R1i R1 R2
(i i1)
4.电阻的串并联
电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，这种连
接方式称电阻的串并联。
判别电路的串并联关系一般应掌握下述4点： 1）若电阻是首尾相联就是串联，是首首尾尾相联
系时，能够相互等效 。
2. —Y 变换的等效条件
+ 1– i1
+ i1Y
1 –
u12 R12
u31 R31
u12Y
R1 u31Y
i2 –
2+
R23
i3 + – i2Y R2
R3 i3Y +
u23
–3
2+
u23Y
–3
等效条件：
如果 u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y
i1 =u12 /R12 – u31 /R31
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
i2 =u23 /R23 – u12 /R12 i3 =u31 /R31 – u23 /R23
(1) u23Y=R2i2Y – R3i3Y u31Y=R3i3Y – R1i1Y
i1Y+i2Y+i3Y = 0
(2)
由式(2)解得：
i
u
＋
1 ＋
uS
uS
－
u u uS RS i
RS －
uS RS
1'
o
i
RS＝0时,为理想电压 u uS
注意：实际电流源也不允许开路。因其内阻大，若 开路，电压很高，可能烧毁电源。
(8)．实际电流源的模型和伏安特性曲线
i
u
＋1
iS
RS u
(GS)
i
iS
u RS
iS GS
－ 1'
iS uGS
＋ 5V
－
Rd
25 35
2
1Ω
2.5Ω
Ra e
Rc
c
Rd d
1.4Ω
1Ω
b
a、b间的等效电阻为
Req 1.5 (0.6 1.4)//(11) ＋
5V
2.5Ω
－
i 5 1A
2.5Ω
2.5 2.5
i
a
1.5Ω
0.6Ω
e 1Ω
c
d
1.4Ω
1Ω
b
例 桥 T 电路
1k 1k 1k
E
1k R
1/3k 1/3k
② 等效变换时，两电源的参考方向要一一对应。
+
a
a
–
a
US– RRS
IS
RS
US+ RRS
IS
b
b
b
a RS
b
③ 理想电压源与理想电流源之间无等效关系。
④ 任何一个电压源US和某个电阻 R 串联的电路，
都可化为一个电流为 IS 和这个电阻并联的电路。
US = IS R
IS = US / R
例1: 求下列各电源等效变换
b
b
R
R
R
d
d
c
R
R
Rab R
a R
b R
2.3 电阻的Y形和△形连接的等效变换
1. 电阻的 、Y形连接
1
R12
R31
R23
2
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 R1
R3
R2
2
3
形网络
Y形网络
，Y 网络的变形：
R12
1
2
R31
R23
3
型电路 ( 型)
1
R1
R2 2
R3 3
T 型电路 (Y、星型)
注意 这两个电路当它们的电阻满足一定的关
1/3k
R
E
1k
1k
3k R
E 3k 3k
2.4 电源的等效变换
注意参考方向
n
（1）理想电压源串联
uS uS1 uS2 uSn uSk
k 1
＋ uS1 － ＋ uS2 －
＋ uSn－
＋ uS －
1
1'
1
（2）理想电压源并联
uS uS1 uS2 uSk uSn
1
相同的电压
u1
R1 R1 R2
u
u2
R2 R1 R2
u
+ u+1 R1 u-
+
_
u2 -
R2
二、电阻并联 (Parallel Connection)
1. 电路特点:
i
+
i1 i2
ik
in
u R1 R2
Rk
Rn
_
(a) 各电阻头与头、尾与尾相连。各电阻两端为同一 电压 (KVL)；
(b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
RS→∞时，就变为理想电流源 i iS o
iS i
注意：实际电流源也不允许开路。因其内阻大，若 开路，电压很高，可能烧毁电源。
（9）两种电源的等效变换
实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效
变换，所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过
程中保持不变。
i ＋1
iS
RS u
(GS) － 1'
端口特性 i =iS – GSu
i1Y
u12Y R3u31Y R2 R1R2 R2 R3 R3R1
i1 =u12 /R12 – u31 /R31
i2Y
u23Y R1u12Y R3 R1R2 R2R3 R3R1
i3Y
u31Y R2 u23Y R1 R1R2 R2R3 R3R1
i2 =u23 /R23 – u12 /R12 (3)
Y
时：
Y形电阻
=
形相邻电阻的乘积 形电阻之和
Y时：
形电阻 =
Y形电阻两两乘积之和 Y形不相邻电阻
特例：若三个电阻相等(对称)，则有
R = 3RY 注意
外大内小
R12 R1 R2
R31 R3
R23
(1) 等效对外部(端钮以外)有效，对内不成立。
(2) 等效电路与外部电路无关。 (3) 用于简化电路
＋ uS
i 1
＋
－
u
RS － 1'
u=uS – RS i
i = uS/RS– u/RS
比较可得等效条件
iS=uS /RS GS=1/RS
注意: ① 电压源和电流源的等效关系只对外电路而 言，对电源内部则是不等效的。
例：当RL= 时，电压源的内阻 RS 中不损耗功率， 而电流源的内阻 RS 中则损耗功率。
类似可得到由Y的变换条件：
R12
R1 R3
R2 R3 R3
R1 R2
R23
R1 R2
R1 R3 R1
R2 R3
R31
R2 R3
R1 R2 R2
R3 R1
R1
R12
R R 12 31 R23
R31
R2
R12
R R 23 12 R23
R31
R3
R12
R R 31 23 R23
R31
简记方法：
n
Req R1 Rk Rn Rk Rk k 1
结论 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
3. 串联电阻上电压的分配
分压公式
i a R1
R2
+
+ + u1 + u2
uS
u
Rn + un
uk
u
n
Rk
Rk
Rk Req
u
k 1