电动力学 第三章 静磁场

A
→
→
→
对静磁场，规定矢 的散度 的散度为 对静磁场，规定矢势的散度为：
∇•A=0
→
（3 ）
式(3)是库仑规定(规范)！ (3)是库仑规定(规范) 现在由 (1)和式(3)唯一确定矢 现在由式(1)和式(3)唯一确定矢势 A ！ 和式(3)唯一确定 → → 例如：任意矢 例如：任意矢势 A = A 0 + ∇ ϕ （a）
教材P.79 求长度为 l 的载流直导线的矢 的载流直导线的矢 例1. 教材 势和磁感应强度。 磁感应强度。 解：用矢势的叠加计算 矢势的叠加计算 任意电流元
→
dA
Id z ′ ，在场
→
点的矢势为 点的矢势为 d A r→ r → d = = ez dAA ezdAdA
/ ′ µ0I d µ0I dzz dz dz′ dA= = （ ） 2 / 2 a） 4π R 4π r +(z − z ) /
∇ A=0
2
→
（5 ）
2）在直角坐标系中,矢势和电流密度为 在直角坐标系中, 和电流密度为
→
A = Ax ex + Ay ey + Az ez
→ → → →
→
→
→
→
） J = J x ex + J y ey + J z ez （g）
→ → → →
→
→
→
将式(g) 代入式(4)， 将式 代入式 ，得
y分量方程： ∇ A y = − µ J y 分量方程： z分量方程： ∇ A z = − µ J z 分量方程：
（6）
将式(6)与静电场的电位方程比较，可得矢 的 将式 与静电场的电位方程比较，可得矢势的 方程比较 积分表达式： 积分表达式：
A A A
x
µ = 4π µ = 4π µ = 4π
→
2
→
→
µ A( r ) = 4π
→
→
∫
V
J ( r ′) dV ′ R
→
，得到矢势 A ( r ) ！ 得到矢
→ →
→
→
第二步：求得矢 分 第二步：求得矢势分布 A ( r ) 后，再由 B = ∇ × A ，求磁感应强度 B ( r ) 。
→ →
→
→
比较 A( r ) = µ 4π
→ →
→ →
∫
2
1/ 2
x ≈ 1+ 2
得：
2 2
l 2r l 2r 1 / 2 l 2 1/ 2 ） [ + r ] = [1 + ] ≈ [1 + 2 ] （d） 2 2 l 2 l
将式（ 代入式（ 将式（d）代入式（c）得长度为 l 的载流直导 线的矢势 矢势： 线的矢势：
V
J ( r ′) dV ′ R
与 B( r ) = µ
→ →
→ →
4π
∫
V
J (r ′) × R dV ′ 3 R
→
可知求矢势分布比求磁感应强度简单!!！ 可知求矢势分布比求磁感应强度简单!!！ 分布比求磁感应强度简单!! 先求矢势分布，后求磁感应强度，上面方法 先求矢势分布，后求磁感应强度，上面方法 矢势分布 磁感应强度 简单!! !!！ 简单!!！ 下面用二个例子来说明静磁场的求解方法！ 下面用二个例子来说明静磁场的求解方法！ 静磁场的求解方法
2
→
→
→
求载流圆环产生的远区磁场。 载流圆环产生的远区磁场。 圆环产生的远区磁场
利用矢势的积分公式求解 利用矢势的积分公式求解 矢势
→
→
→
A( r )
→
n = ez
→
P点的矢势： 点的矢势： 点的矢势
→
r
→
利用矢量公式： 利用矢量公式： 矢量公式
µ0 A( r ) = 4π
→
∫
C
Id l ′ R
→
当 l >> z 时，作近似 (l / 2±z) ≈(l / 2) , 式 (b)变为 变为
2 2
µ0I l /2+[(l /2) + r ] AzA≈ ln （c） ） 2 2 1/2 4π −l /2+[(l /2) + r ]
2 2 1/2
公式： 当 l >> r时，用公式： 时
(1 + x )
∫
J
→
x
V
( r ′) dV ′ R ( r ′) d V ′（ R
→ →
→
ρ ∇ ϕ =− ε 电位 ϕ 的解：
2
y
∫ ∫
J
→
y
V
I） ϕ ( r ) = ）
→
1 4πε
∫
ρ ( r ′) d V ′
R
→
V
J
z
z
V
( r ′) dV ′ R
→ →
Байду номын сангаас
将式(I) 代入式(g)， 的矢量形式： 将式 代入式 ，得矢势的矢量形式： 的矢量形式
→ →
µ A( r ) = Ax e x + A y e y + Az e z = 4π
→ → →
∫
V
J ( r ′) dV ′ R
（7 ）
讨论： 讨论： → 由式（ ） 产生的矢 为 由式（7）得面分布电流 α 产生的矢势为
→ →
µ A( r ) = 4π
∫
α ( r ′)
R
→ →
S
dS ′
（8 ）
→
n = ez
→
1 R ∇′ = R R3
(d)
→
将式(d)代入式(c)得 将式(d)代入式(c)得: (d)代入式(c)
→
→
任意标量函数！ 是给定矢势！ϕ 是任意标量函数！ A 0 给定矢 ！
→
→
确定磁感应强度 由 A 确定磁感应强度 B ：
→ → → →
0
→
B = ∇× A = ∇× ( A0 + ∇ϕ) = ∇× A0 + ∇×∇ϕ = ∇× A0
B = ∇× A = ∇× A0
→
→
→
→
（b ）
→
和任意矢 式(b)表示：给定矢势 A 0 和任意矢势 A 确定 (b)表示：给定矢 表示 同一个磁感应强度 B ！ 同一个磁感应强度 → 要唯一确定矢 也即唯一确定标量函数 要唯一确定矢势 A ，也即唯一确定标量函数 散度值（库仑规范! 还必须规定 → 散度值（库仑规范!）： A
→
→
→
→
定义： 定义：
B = ∇× A
→
→
（1 ）
→ 的旋度， 磁感应强度 B 是矢势 → 的旋度，矢势是辅助 是辅助 A 量！
二、矢势的物理意义 的 通过面S的磁通量： 通过面S的磁通量：
→ → → → → →
φ m = ∫ B• d S = ∫ ∇ × A • d S = ∫ A•d l （2） S S C
→
→ →
A( r )
R
→
由式（7）得线分布电流 由式（ ） 产生的矢 为 产生的矢势为
→
µ A(r ) = 4π
→
∫
L
Id l ′ （9 ） R
→ → →
→
J
→
R = r − r′ R = R = r − r′
→
→
→
dV′
r′
→
r
O
矢势方程的解为： 矢势方程的解为：
→ →
µ A( r ) = 4π
→ → →
er → → 1 ∂ B =∇× A = r ∂r 0
re φ ∂ ∂φ 0
ez ∂ ∂z Az
Az
（f） ）
将式（1）代入式（f）得： ）代入式（ ）
→ →
µ0I r0 = ln( ) 2π r
→ ∂ → µ I µ0I r0 ∂A z = − eφ ( ln ) = e φ 0 B = − eφ ∂r ∂ r 2π r 2π r
∇2 A=ex ∇2Ax +ey ∇2Ay +ez ∇2Az =−µ0 J =−µ0(Jx ex +Jy ey +Jz ez ) h） （ ）
x,y,z分量方程为 式(h)的直角坐标x,y,z分量方程为： 的直角坐标x,y,z分量方程为： x分量方程： 分量方程：
∇ Ax = − µJ x
2 2 2
式(2)表明：通过面S的磁通量等于矢势沿闭合 (2)表明：通过面S 磁通量等于矢 沿闭合 表明 的线积分！可用矢势的线积分求磁通量。 的线积分求磁通量 线C的线积分！可用矢 的线积分求磁通量。
→
B
S
→
C
dl
→
A
三、矢势的散度规定 的散度规定
仅仅规定了磁矢位 旋度！ 因为 B = ∇ × A 仅仅规定了磁矢位 A 的旋度！ 亥姆霍兹定理知 要唯一确定矢量场， 由亥姆霍兹定理知：要唯一确定矢量场，还必 须规定矢量场的散度值， 不唯一确定！ 须规定矢量场的散度值，否则 → 不唯一确定！
(a)
∫
Id l ′
→
R
C
ϕ d l ′ = ∫ n× ∇ ′ϕdS ′ (b)
S
→
→
→
C
r′
→
将式(b)代入式(a)得 将式(b)代入式(a)得: (b)代入式(a)
→
µ0 Id l′ µ0 I → 1 = A= ∫ ∫S ez ×∇′( R)dS′ 4π C R 4π
(c)
因为
→
→
→
→
A( r )
例2. 教材P.80 求载流圆环的矢势和磁感应强度。 教材 求载流圆环的矢势和磁感应强度。 圆环

载流为I 半径为a 载流为I、半径为a的圆
→ →
电流位于xy平面， 电流位于xy平面，将圆 xy平面 电流称为磁偶极子，其 电流称为磁偶极子， 磁偶极子 磁矩 m ：
→
n
m
m = I π a n = IS n
→
ϕ，
∇•A=0
将式(a) 代入式(c)得 将式 代入式 得
→
（c ）
∇• A = ∇• ( A0 + ∇ϕ) = ∇• A0 + ∇•∇ϕ = 0 ∇•∇ϕ = ∇ ϕ = −∇• A0
2 →
→
→
→
（d ）
由式(d)确定一个标量函数 (d)确定一个标量函数
→
ϕ
后，将
→
ϕ
代入
A = A0 + ∇ϕ
→
唯一确定矢 唯一确定矢势 A ！
§1.2 矢势的微分方程 因为 B = ∇ × A （a） ） 将式(a) 代入式(b)得 将式 代入式 得
→ →
） ∇ × B = µ J （b）
→
→
∇×∇× A = µ J
使用矢量恒等式: 使用矢量恒等式 矢量恒等式
→
→
→
（c） ）
→ →
∇ × ∇ × A = −∇ A+ ∇ (∇ • A) （d） ） 将式(d) 代入式(c)得 将式 代入式 得
→ → R ∫V (− R 3 ) × J (r ′)dV ′
µ J (r ′) × R = dV ′ 3 4π ∫V R 上式是毕 萨定律 上式是毕—萨定律
总结： 总结：静磁场的求解方法 第一步：求解矢 的泊松方程 第一步：求解矢势的泊松方程 ∇ A = −µ J 或拉
2 → →
边值问题； 普拉斯方程 ∇ A = 0 边值问题；或求
→
A( r0 ) = 0
µ0 I µ0 I l l = ln( ) − ln( ) 2π r 2π r0
无限长载流直导线的矢势： 无限长载流直导线的矢势： 载流直导线的矢势 µ0I r0 Az = ln( ) （1） ） 2π r
r
→
r0
→
A
B
由无限长载流直导线的矢势求无限长载流直导线 由无限长载流直导线的矢势求无限长载流直导线 矢势 磁感应强度： 的磁感应强度：
µ0I µ0I l 2 l ） Az ≈ ln( ) = ln( ) （e） 4π r 2π r
无限长载流直导线 载流直导线， 对 无限长 载流直导线 ， 不能规定无穷远处为矢 势的零点，而要规定有限位置处 处为矢势 矢势的 势的零点，而要规定有限位置处 r0 处为矢势的 零点！ 零点！ Az (r0 ) = 0 由式（ ） 由式（e）得： Az ( r ) − Az ( r0 ) = Az ( r ) − 0
z
→
z′
R
积分， 载流直导线的矢势 矢势： 对式 (a)积分，得载流直导线的矢势： 积分
µ0I l /2 dz ' AA = ∫−l /2 2 z 4π [r +(z − z ')2 ]1/2 µ0I (l /2− z) +[(l /2− z)2 + r2 ]1/2 = ln ） 2 2 1/2 （b） 4π −(l /2+ z) +[(−l /2− z) + r ]
→
→
∫
V
J ( r ′) dV ′ R
→ →
→
磁感应强度为
→
µ J (r ′) µ B = ∇ × A= 4π ∇ × ∫V R dV ′ = 4π
1→ → ∫V ∇ × [ R J (r ′)]dV ′
→
µ = 4π
1 → → µ ∫V (∇ R ) × J (r ′)dV ′ = 4π
→ → →
第三章 静磁场 静磁场
§1 矢势及其微分方程 §2 磁标势 §3 磁多极矩
§1 矢势及其微分方程
§1.1
→
矢势
→
静磁场： 静磁场： ∇ × H = J 传导
∇•B = 0
→
静磁场是有旋度，无散度场，不能引入标势描 静磁场是有旋度，无散度场， 有旋度 但能引入另一矢量描述： 写，但能引入另一矢量描述：矢势。 。 矢量磁位） 一、矢势（矢量磁位）定义 矢量磁位 比较 ∇ • B = 0 和 ∇•(∇× A) = 0 得： B = ∇ × A 矢量恒等式
2
− ∇ 2 A + ∇ (∇ • A ) = µ J
→
→
→
（e） ）
由 A 散度的规定： 散度的规定：
→
∇• A= 0 将式(f) 代入式(e)得 将式 代入式 得
∇ 2 A = −µ J
→ →
→
（f） ） （4 ）
→
满足的泊松方程！ （4）式为矢势满足的泊松方程！ 式为矢 满足的泊松方程 讨论： ）无电流分布的区域( 讨论：1）无电流分布的区域( J = 0 )，矢势满 满 足拉普拉斯方程： 足拉普拉斯方程：