浅谈数学中考探索规律题型的解题策略

浅谈数学中考探索规律题型的解题策略
南宁市第十四中学李振林纵观近几年的中考数学填空压轴题，可以发现探索规律类试题备受青睐，因为此类试题能比较系统地考察学生的逻辑推理能力，以及运用所学知识和方法分析、解决数学问题的能力，还能让学生在解题过程中感受数学文化、拓宽数学视野，提升数学修养。

根据《数学课程标准》中“在评价中设置一些探索题与开放题，以更多地暴露学生的思维过程”的理念，试题不断突破传统模式，视角新颖，综合性强，结构独特，区分度明显，探索规律题型正符合这一特征,逐步成为中考的又一个亮点，同时也成为中考得分的一个难点。

探索规律型问题指的是根据已知条件或所提供的若干个特例，发现题目所蕴含规律与特征的一类探索性问题。

通常情况下，规律是指变量的变化规律，而这些变量通常按照一定的顺序呈现，呈现过程又与序数(n)紧密联系在一起。

因此，把变量和序数（n）放在一起加以类比，就比较容易发现其中的奥秘。

下面通过考题说明此类题型的解题策略。

一、探索数列的变化规律。

例1.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21……叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…，第n个三角形数记为a n，计算a2-a1，a3-a2，a4-a3，…，由此推算，a100-a99= ，a100= 。

解题思路，这是一组有规律的数列，首先给这组数编上序号，①1，②3，③6，④10，⑤15，⑥21……，观察相邻两个数的关系，可以得出第②个数比第①个数多2，第③个数比第②个数多3，依此类推，可以猜想出规律：第n个数比第(n-1)个数多n。

如何用代数式表示这个规律呢？也就是要求第（n）个数是多少？这时用前面找到的规律，先列出前面几个数的规律关系：第②个数可以表示成①+2，第③个数可以表示成②+3，……这是相邻两个数与序数（n）的关系，列式时最好把这些式子列成竖排，方便进行类比。

通过上、下式子的比较，再把每一个数进行分解，相信到第④或⑤个数时，就可以很轻松的用含序数（n）的代数式表示规律了。

有的学生规律找对了，但式子列错了，怎么办了？为了避免规律发现但列式错误，
最好的办法就是用特殊值代入归纳得出的代数式中去验证，当n=1、2、3时，求第①、②、③个数，看是否与已知相符，如果相符就正确，不相符就错了。

① a 1=1
② a 2=1+2=3
③ a 3=3+3=1+2+3=6
④ a 4=6+4=1+2+3+4=10
⑤ a 5=10+5=1+2+3+4+5=15
… … …
（n ）a n =1+2+3+4+5+… …n=n n )1(2
1+ 所以495099=a ，5050100=a ，10099100=-a a 。

本题以三角形数列为背景，是纯数字的探索规律题,考察了公式n n n )1(2
1321+=+⋅⋅⋅⋅⋅+++的灵活运用。

通过对本题的探讨，我们可以得出解探索规律型问题的关键是找出变量的变化规律，基本策略是用“观察 → 猜想 →类比 →归纳 → 验证”的思想方法，从特殊到一般，用序数①，②，③…（n ）把数字的变化规律用含序数(n)的代数式表示出来，再从一般到特殊，验证代数式表示规律的正确性，这样大大提高了学生解题的成功率。

二、探索图形的变化规律。

有些探索规律题以图形的变化规律呈现，题目看上去有点长，图形变化复杂但有趣。

只要认真审题，分析图形的形成过程及变化的趋势，把其中主要的、关键的内容找出来，通过类比，可以发现图形的相同点和不同点，通过数形结合的数学思想方法，更容易找到图形的变化规律，这样题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。

例2．有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形。

如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ；如果所取的四边形与三角形纸片数
的和是n ，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 。

解题思路，根据题意先把图形从特殊到一般，逐个画出来，并给每个图编上序号①，②，③，④，⑤。

把所取的四边形与三角形纸片数的和是1时，记作C 1，把所取的四边形与三角形纸片数的和是2时，记作C 2，把所取的四边形与三角形纸片数的和是3时，记作C 3，… … 依此类推，把所取的四边形与三角形纸片数的和是n 时，记作C n 。

观察图形，可以轻松算出C 1 =8，C 2 =10，C 3 =14 ,C 4 =16 ，C 5 =20。

那C n 怎么算呢？再看图形的变化规律，猜想相邻两个图形间的变化有什么规律？这里体现了分类讨论的数学思想，每次增加一个三角形或四边形。

什么时候增加三角形，什么时候增加四边形成为此题的一个难点？当序数（n ）为偶数时增加的是三角形，当序数（n ）为奇数时增加的是四边形。

每增加一个三角形时周长增加一个边长，当每增加一个四边形时周长增加2个边长，也就是说，当n 为偶数时周长加2，n 为奇数时周长加4。

根据图形发现的规律，用竖排的方式列出算式，通过类比归纳出含序数(n)的代数式，这是本题的第二个难点，如何突破？有两种思路，其一，探索图形的变化规律。

当n 为偶数时，有2n 个四边形，2
n 个三角形，一个四边形计算周长时取4，一个三角形计算周长时取2，左、右的两边计算周长时取4，就得C n =4342242+=+⨯+⨯n n n
（n 为偶数）。

当n 为奇数时，有21+n 个四边形，2
1-n 个三角形，同样一个四边形计算周长时取4，一个三角形计算周长时取2，左、右的两边计算周长时取4，就得C n =53422
1421+=+⨯-+⨯+n n n （n 为奇数）。

其二，把图形的规律转化成纯数列的规律。

变成一组数列，编上序号①8，②10，③14，④16，⑤20，… …，此时规律是，当序号n 为偶数时比前一个数大2，C n =3n+4，当序号n 为奇数时比前一个数大4，C n =3n+5。

C 1 =8，
C2=8+2=10，
C3=10+4=8+2+4=14，
C4=14+2=8+2+4+2=16，
C5=16+4=8+2+4+2+4=20，
当n为奇数时，C1 =8，C3=8+2+4=14，C5=8+2+4+2+4=20，…… C n=3n+5，
当n为偶数时，C2=8+2=10，C4=8+2+4+2=16，…… C n=3n+4。

本题以图形的变化为背景，体现了“形”到“数”，“数”到“形”，“数”“形”的完美结合，考察了学生“数”与“形”转化的能力。

在解题策略上，一方面通过类比图形的变化规律，找出相邻两个图形的区别，并联系序数（n）把图形的变化规律用含序数(n)的代数式表示出来。

另一方面也可以把图形的变化规律转化成探索数列规律的来作，把复杂的问题简单化，这样学生的解题思路又拓宽了。

综上所述，由于规律探索题既能训练学生的逻辑推理能力，又能培养学生的创造意识，提高学生的创新能力，因而成为中考的热点、亮点、难点。

这就启发广大数学教师必须注重过程教学,用科学的方法引导学生经历探索规律的过程,在这样的过程中让学生感受数学的美,感受探索规律的快乐,搞升解决数学难题的自信心，逐步培养学生的独立探究能力。

参考文献
【1】2008年第八期《教学与管理》，顾广林。

【2】例1、例2出自2011年、2012年广西南宁市中考试卷。

【3】《“发现数学规律题”的解题思想》，江苏淮阴区赵集镇初级中学，陈中波。