(寒假班内部讲义)第十八章-勾股定理

第十八章勾股定理
第一部分知识网络
一、重、难点
重点：勾股定理及其逆定理的应用。

难点：勾股定理及其逆定理的应用。

二、知识要点梳理
知识点一：勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）
要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
知识点二：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。

知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

知识点四：互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

三、规律方法指导
1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．
第二部分 学习笔记
1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？
（1） 角与角之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有∠A+∠B=90°；
（2） 边与边之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有222c a b =+
2.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c ，那么222c a b =+ 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

教材通过计算分别以直角三角形三边为边长的正方形的面积来探索勾股定理即A B C S S S +=.
3.如何判判断一个三角形是直角三角形？
①如果∠A+∠B=90°，那么△ABC 是直角三角形
②如果222c a b =+，那么△ABC 是直角三角形
4.勾股数组：满足222c a b =+的三个正整数，叫做勾股数组。

常见的勾股数组： ①3，4，5； 6，8，10； 3k, 4k, 5k. ②5, 12, 13; 10, 24, 26; 5k, 12k, 13k.. ③7,24,25; 14,48,50; 7k, 24k, 25k. ④8,15,17; 16,30,34; 8k, 15k, 17k ..
⑤柏拉图：22
1,2,1;n n n -+ ()()()22222121;n n n -+=+ ⑥毕达哥拉斯：2221,22,221;n n n n n ++++ ()()()22
2222122221;n n n n n +++=++ ⑦丟番图：2222,2,;m n mn m n -+ ()()()22
222222;m n mn m n -+=+ 5.勾股定理的推广：如果把勾股定理理解为：平面上矩形的两边的平
方和等于对角线的平方。

那么空间中相应的结论是：长方体的长、宽、
高的平方和等于该长方体的对角线的平方。

如图：在长方体中AB=a, BC=b, AA 1=c,对角线AC 1=d,易知△111A B C
是直角三角形，所以22222111111,A C A B B C a b =+=+另一方面
△11A AC 也是直角三角形，所以2222221111.AC AC AA a b c =+=++
6.与勾股定理有关的几个常用的结论：
（1）在Rt △ABC 中，∠A=30°∠C=90°，则a ：b ：c=1：3：2
（2）在Rt △ABC 中，∠A=∠B=45°，则a ：b ：c=1：1：2
（3）直角三角形两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的积。

设斜边上的高为h,则ab ch =
（4）在蚂蚁怎样走最近中，如果长方体中长、宽、高分别为a,b,c,且a ＞b ＞c ，则自长方体外侧绕行对角的最短距离为()2
2l a b c =++
第三部分经典例题精析
☆类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

总结升华：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

总结升华：
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A、8，15，17
B、4，5，6
C、5，8，10
D、8，39，40
【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

☆类型二：勾股定理的应用
2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。

假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖
拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
举一反三
【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。

他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

（1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

☆类型三：数学思想方法
（一）转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F 分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。

通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

（二）方程的思想方法
4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。

总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是
举一反三：
【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

第四部分中考题萃
一、填空题
1.（甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为____________．
2.（江西省）如图，已知点F的坐标为(3，0)，点A、B分别是某函数图象与x轴，y 轴的交点，点P是此图像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满
足关系：d=5-x(0≤x≤5),则结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5；④OB=3中，正确结论
的序号是______________ .
3.（永州）一棵树因雪灾于A处折断，，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为____________米（答案可保留根号）．
4.（湖州市）利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为____________，该定理的结论其数学表达式是____________．
（2题）（4题）
5.（荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝，小孔到图中边AB距离为1㎝，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝，则h的最小值大约为
_________㎝.（精确到个位，参考数据：）
二、选择题
1.园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知米，米，米，
米，且，这块草坪的面积是（）
A．米B．米C．米D．米
2.如图，分别以直角的三边为直径向外作半圆．设直线左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积和为，则（）
A．B．C．D．无法确定
三、解答题
一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论．
第五部分学习成果测评
基础达标
一、选择题
1．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（）．
A．1：1：B．1：：2 C．1：：D．1：4：1
2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）．
A．B．3 C．D．
3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．
A．6，7，8 B．5，6，7C．4，5，6 D．3，4，5
4．下列各命题的逆命题成立的是（）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．
A．cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
6．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）．A．2 B．4 C．2D．
7．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）．
A．B．C．1 D．
8．下面四组数中是勾股数的有（）．
（1）1.5，2.5，2 （2），，2 （3）12，16，20（4）0.5，1.2，1.3
A．1组B．2组C．3组D．4组
9．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（）．A．182 B．183 C．184 D．185
10．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，•则CN的长为（）．
A．B．C．D．
(第10题)(第12题)
二、填空题
11．已知直角三角形的两边分别为3、4，则第三边为_____．
12．你听说过亡羊补牢的故事吗？如图,为了防止羊的再次丢失，小明爸爸要在高0.9m，宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需_____m长．13．如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为_______米．
(第13题)
三、解答题
14、（1）已知直角三角形的两边长分别为3㎝和4㎝.求该三角形的周长；
（2）△ABC中，AD为高，AB=15,AC=13,AD=12.求△ABC的面积
15．已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F•处，•如果
AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
16．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，•已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
第六部分练习（1）
例1.已知线段a，求作线段5a
a
例2.四边形ABCD中∠DAB＝60 ，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2
求对角线AC的长。

例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A 求证：AB2－BC2＝AB×BC
D
A B
C
B C
A
例4.如图已知△ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＋CD ＝AC ＋BD
求证：AB ＝AC
例5.已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＞BC
求证：AC ＞BD
例6.已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b,且S EFGH ＝32 ，求：a b -的值
第七部分 练习（2）
1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：
① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿
④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿
2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：
① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿， ③22158+＝＿＿＿，④2215-25＝＿＿＿
3. △ABC 中，AB ＝25，BC ＝20，CA ＝15，CM 和CH 分别是中线和高。

那么S △ABC ＝＿
＿，CH ＝＿＿，MH ＝＿＿＿
G
A B C D
A
B C D
4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S 梯形＝＿＿＿
5.已知：△ABC 中，AD 是高，BE ⊥AB ，BE ＝CD ，CF ⊥AC ，CF ＝BD
求证：AE ＝AF
6.已知：M 是△ABC 内的一点，MD ⊥BC ，ME ⊥AC ，MF ⊥AB ， 且BD ＝BF ，CD ＝CE 求证：AE ＝AF
7.在△ABC 中，∠C 是钝角，a 2-b 2=bc 求证∠A ＝2∠B
8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。

9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长
D B
E A
10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP2
11.已知Rt△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC
ME⊥MF，求证：EF2＝BE2＋CF2
C
12.Rt△ABC中，∠ABC＝90 ，∠C＝600，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。

A
B
13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3， (100)
记m i=AP i2+BP i×P i C (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____。