2018年全国中考数学-甘肃天水中考数学(解析版)

2018年甘肃省天水市初中毕业、升学考试
数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
1．（2018甘肃天水，T1，F4）下列各数中，绝对值最大的数是（）
A.-2
B.3
C.0
D.-4
【答案】D.
【解析】因为|−2|=2，|3|=3，|0|=0，|−4|=4，可知0＜2＜3＜4，所以-4的绝对值最大.故选D.
【知识点】绝对值
2．（2018甘肃天水，T2，F4）近三年，国家投入了用于缓解群众“看病难，看病贵”的问题.将8450亿元用科
学记数法表示应为（）
A.0.845×104亿元
B.8.45×103亿元
C.8.9.45×104亿元
D.84.5×102亿元
【答案】B.
【解析】8450亿元=8.45×103亿元.
【知识点】科学记数法
3．（2018甘肃天水，T3，F4）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）
A.三棱柱
B.三棱锥
C.圆柱 D 长方体
【答案】A.
【解析】由俯视图可知几何体的底面是三角形，则几何体是三棱锥或三棱柱，再根据主视图和左视图是长方形，可知该几何体是三棱柱.
【知识点】三视图
4．（2018甘肃天水，T4，F4）一组数据1，5，7，x 的众数与中位数相等，则这组数据的平均数是（）
A.6
B.5
C.4.5
D.3.5
【答案】C.
【解析】当这组数据的众数为1时，则这组数据为1，1，5，7，可知中位数为1.5，不符合题意；
当这组数据的众数为5时，则这组数据为1，5，5，7，可知中位数为5，符合题意；
当这组数据的众数为7时，则这组数据为1，5，7，7，可知中位数为6，不符合题意.
则这组数据的平均数为1+5+5+74=4.5.
【知识点】平均数，中位数，众数
5．（2018甘肃天水，T5，F4）已知圆锥的底面半径2cm ，母线长为10cm ，则这个圆锥的面积是（）
A.20πcm 2
B.20cm 2
C.40πcm 2
D.40cm 2
【答案】A.
【解析】S 圆锥侧=12Rl=12×10×2×π×2=20π（cm 2）.
【知识点】圆锥侧面积
6．（2018甘肃天水，T6，F4）如图所示，点O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，OE ∥AB 交AD 于点E.若OE=3，
BC=8，则OB 的长为（ ）
A.4
B.5
C.√342
D.√34
【答案】B.
【解析】∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90°，AB ∥CD ，AB=CD ，点O 是AC 的中点.
∵OE ∥AB ，
∴OE ∥CD ，
∴OE 是△ACD 的中位线，
∴CD=2OE=6，
∴AB=6.
在Rt △ABC 中，AB=6，BC=8，
∴AC=10.
∵OB 是Rt △ABC 斜边的中线，
∴OB=12AC=5. 【知识点】矩形的性质，中位线的性质
7．（2018甘肃天水，T7，F4）如图所示，点A 、B 、C 在⊙O 上.若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.π-4
B.23π-1
C.π-2
D.23π-2
【答案】C.
【解析】∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°.
则S 扇形BOC =
90×π×22360=π， S Rt △BOC =12BO ·CO=12×2×2=2.
则阴影部分的面积为S 扇形BOC -S Rt △BOC =π-2.
【知识点】扇形面积，圆周角定理
8．（2018甘肃天水，T8，F4）在同一平面直角坐标系中，函数y=x+1与函数y=1x 的图像可能是（）
第8题图
【答案】B.
【思路分析】首先根据一次函数y=x+1的系数可知其经过的象限，反比例函数y=1
x
位于的象限，再判断即可.
【解题过程】一次函数y=x+1经过一，二，三象限，反比例函数y=1
x
位于一，三象限，所以B符合题意. 【知识点】反比例函数图像，一次函数图像
9．（2018甘肃天水，T9，F4）按一定的规律排列的一组数：1
2,1
6
,1
12
,1
20
…1
a
,1
90
,1
b
…（其中a，b为整数），则a+b
的值为（）
A.182
B.172
C.242
D.200
【答案】A.
【思路分析】首先根据题意得出分母变化的规律，求出a，b的值，即可得出答案.
【解题过程】由题意可知1
2=1
1×2
,1
6
=1
2×3
,1
12
=1
3×4
,1
20
=1
4×5
…1
a
=1
8×9
,1
90
=1
9×10
,1
b
=1
10×11
…
可知a=72，b=110，
则a+b=182.
【知识点】探究规律
10．（2018甘肃天水，T10，F4）某学校组织团员举行“伏羲文化旅游节”宣传活动，从学校骑自行车出发。

先上坡到达甲地后，宣传了8个分钟，然后下坡到达乙地又宣传了8分钟返回，行程情况如图所示.若返回时，上，下坡速度不变，在甲地仍要宣传8分钟，那么他们从乙地返回学校所用的时间是（）
A．33分钟 B.46分钟 C.48分钟 D.45.2分钟
【答案】D.
【思路分析】首先求出从学校到甲地的上坡速度，再根据总时间-上坡时间-宣传时间可求出下坡用时，进而求出下坡的速度.然后根据返回时上，下坡的速度相同，并根据上坡时间+下坡时间+宣传时间得出答案即可.
【解题过程】从学校到甲地需要18分钟，行驶了3600米，可知上坡的速度为3600÷18=200
（米/分）.
在甲地宣传了8分钟，在乙地宣传了8分钟，共用时46分钟，可知从甲地到乙地需要46-
18-8-8=12（分钟）.
从甲地到乙地行驶了96-36=6000（米），则下坡的速度为6000÷12=500（米/分）.
返回时，上坡6000米，下坡3600米，所以返回用时6000÷200+3600÷500+8=45.2（分）.
【知识点】函数图像
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．
11．（2018甘肃天水，T11，F4）不等式组{4x +8≥0,6−3x >0.
的所有整数解的和是____. 【答案】-2.
【解析】{4x +8≥0①,6−3x >0②.
解不等式①，得x ≥-2，
解不等式②，得x ＜2，
∴不等式组的解集是-2≤x ＜2.
可知不等式组的所有整数解为-2，-1，0，1，
则所有整数解的和为-2+(-1)+0+1=-2.
【知识点】不等式组的整数解
12．（2018甘肃天水，T12，F4）已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=1213，则tanB 的值为____.
【答案】512. 【解析】在Rt △ABC 中，由sinA=1213，令a=12，c=13， 根据勾股定理，得b=5.
∴tanB=b a =512.
【知识点】锐角三角函数
13．（2018甘肃天水，T13，F4）甲，乙，丙三人进行射击测试，每人射击10次的平均成绩都是9.1环，方差分
别是S 甲2=0.51，S 乙2=0.50，S 丙2=0.41，则三人中成绩最稳定的是____（填“甲”或“乙”或“丙”）.
【答案】丙.
【解析】由于三人的平均成绩相同，方差越小约稳定，可知S 甲2＞S 乙2＞S 丙2，所以三人中成绩最稳定的是丙.
【知识点】方差
14．（2018甘肃天水，T14，F4）若点A （a ，b ）在反比例函数y=3x 的图象上，则代数式ab-1的值为____.
【答案】2.
【解析】∵点A （a ，b ）在反比例函数y=3x 的图象上，
∴ab=3.
则代数式ab-1=3-1=2.
【知识点】反比例函数
15．（2018甘肃天水，T15，F4）关于x 的一元二次方程(k-1)x 2+6x+k 2-k=0的一个根为0，则k 的值是____.
【答案】0.
【解析】∵关于x 的一元二次方程(k-1)x 2+6x+k 2-k=0的一个根为0，
∴k 2-k=0，且k-1≠0，
解得k=1或k=0，且k ≠1，
则k=0.
【知识点】一元二次方程的根及定义
16．（2018甘肃天水，T16，F4）如图所示，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相较于点O.若AC=6，BD=8，AE ⊥
BC ，垂足为E ，则AE 的长为____.
【答案】24
5. 【思路分析】首先根据菱形的性质可知△ABO 是直角三角形及两直角边的长，再根据勾股定理求出AB ，然后根据△ABC 的面积相等得出答案即可.
【解题过程】∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC ，AC ⊥BD ，AO=12AC=3，BO=1
2BD=4. 在Rt △ABO 中，AB=5，
∴BC=5.
S △ABC =12AC ·BO=1
2BC ·AE ，
即AE=245.
【知识点】菱形的性质，勾股定理
17．（2018甘肃天水，T17，F4）将平行四边形OABC 放置在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点.
若点A 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（1，2），则点B 的坐标为____.
【答案】2.
【解析】因为四边形OABC 是平行四边形，
所以BC=OA=3.
得点B 的横坐标为3+1=4，纵坐标为2，所以点B （4，2）.
【知识点】平面直角坐标系，平行四边形的性质
18．（2018甘肃天水，T18，F4）规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示
最接近x 的整数.例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2.按此规定：[1.7]+（1.7）+[1.7）=____.
【答案】5.
【解析】根据题意可知[1.7]=1，（1.7）=2，[1.7）=2，则[1.7]+（1.7）+[1.7）=1+2+2=5.
【知识点】定义新运算
三、解答题（本大题共3小题，满分28分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2018甘肃天水，T19，F8）（1）计算：√4+(−3)2+20180×|1−√3|+tan45-2sin60°.
（2）先化简，再求值：x x 2−1÷(1+1
x−1)，其中x=√2−1.
【思路分析】对于（1），先分别根据开方，乘方，绝对值的性质，特殊角的三角函数值计算，再计算即可； 对于（2），先根据分式的加减法计算括号内的，再计算分式的乘除法即可，然后代入计算即可.
【解题过程】（1）原式=2+9+1×(√3-1)+1-2×√32，…………………………………………..2分
=11+√3-1+1-√3，………………………………………………………………………………3分
=11……………………………………………………………………………………………….4分
（2）原式=
x (x+1)(x−1)÷x−1+1x−1，……………………………………………………………….6分 =x (x+1)(x−1)×
x−1x ， =1x+1……………………………………………………………………………………………7分
当x=√2−1时，原式=√
2−1+1=√2=√22……………………………………………………..…8分 【知识点】实数的运算，分式的混合运算
20．（2018甘肃天水，T20，F10）超速行驶是引发交通事故的主要原因.小明等三名同学运用自己所学的知识检
测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C 处，如图所示，直线l 表示成纪大道.这时一辆小汽车由成纪大道上的A 处向B 处均速行驶，用时5秒.经测量，点A 在点C 的北偏西60°方向上，点B 在点C 的北偏西45°方向上.
（1）求A ，B 之间的路程（精确到0.1米）.
（2）请判断此车是否超过了成纪大道60千米/小时的限制速度？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）.
【思路分析】对于（1），根据特殊角的三角函数值求出AD ，BD ，进而根据AB=AD-BD 得出答案；
对于（2），求出该汽车的速度，再与60千米/小时比较得出答案.
【解题过程】（1）如图，根据题意可知CD=100米，∠ACD=60°，∠BCD=45°…………1分
在Rt △ACD 中，tan60°=AD CD ，即AD=100√3≈173.2（米）……………………………….3分
在Rt △BCD 中，tan45°=BD CD ，即BD=100（米）……………………………………………5分
所以AB=AD-BD=173.2-100=73.2（米）……………………………………………………..6分
（2）AB 之间的路程为73.2米，所用时间为5秒，可知其行驶速度为73.2÷5=14.64（米/秒）=14.64×3.6=52.704
（千米/小时）………………………………………………….8分
因为52.704＜60，………………………………………………………………………………9分 所以没有超速………………………………………………………………………………….10分
【知识点】解直角三角形的应用
21．（2018甘肃天水，T21，F10）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与y轴相交于点A，与反比例函（k≠0）在第一象限内相交于点B（m，1）.
数y=k
x
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y=x-1向上平行移动后与反比例函数在第一象限内相交于点C，且△ABC的面积为4，求平行移动后的直线的解析式.
【思路分析】对于（1），先求出点B的坐标，再将点B的坐标可得答案；
对于（2），先求出点A，点D的坐标，进而得出∠FAO，及AB，再根据△ABC的面积求出DE，进而求出AD，即可得出点D的坐标，代入计算可得答案.
【解题过程】（1）∵点B（m，1）在直线y=x-1的图像上，
∴1=m-1，
解得m=2，……………………………………………………………………………………..1分
∴点B（2，1）…………………………………………………………………………………2分
的图像上，
∵点B（2，1）在反比例函数y=k
x
∴k=2，
……………………………………………………………….3分
所以反比例函数的解析式为y=2
x
（2）如图标注各点，过点D作DE⊥直线AB，交AB于点E………………………………4分
对于直线y=x-1，当x=0时，y=-1，当y=0时，x=1，
∴点A（0，-1），点F（1，0），
∴AO=FO.
∵∠AOF=90°，
∴∠FOA=45°…………………………………………………………………………………5分
∵点B（2，1），点A（0，-1），
∴AB=2√2………………………………………………………………………………………6分
AB·DE=4，AB=2√2，
由S△ABC=1
2
可知DE=2√2……………………………………………………………………………………7分
在Rt△ADE中，∠DAE=45°，DE=2√2，
∴AD=4，
则点D的坐标为（0，3）……………………………………………………………………8分
将直线AB平移得直线CD，设直线CD的关系式为y=x+a，
∵点D在直线y=x+a的图像上，
∴a=3，
则平移后的直线的解析式为y=x+3…………………………………………………………..10分
【知识点】一次函数和反比例函数的综合问题，一次函数的平移
22．（2018甘肃天水，T22，F8）天水市“最美女教师”刘英为抢救两名学生，
身负重伤.社会各界纷纷为她捐款，某校2000名学生也参与了此捐款活动.捐款金额有5元，10元，15元，20元，25元共五种.为了解捐款情况，学校随机抽样调查了部分学生的捐款情况，并根据捐款金额和人数绘制了如下统计图（图①和图②）.请根据所给信息解答下列问题.
（1）本次接受随机调查的学生人数为____人，图①中m的值是____.
（2）根据样本数据，请估计该校在本次活动中，捐款金额为10元的学生数.
【思路分析】对于（1），根据条形统计图计算样本中的总人数即可，再根据捐款10元的学生数÷样本总人数计算即可；
对于（2）根据样本估计总体的思想，即样本中捐款10元的百分率×总人数，求出答案即可.
【解题过程】（1）由条形统计图可知调查的学生数为4+16+12+10+8=50（人），………2分
样本中捐款10元的学生所占的百分比为16÷50=32％，则m=32………………………..5分
（2）捐款10元的学生总数为2000×32％=640（人）……………………………………8分
【知识点】统计图，样本估计总体的思想
23．（2018甘肃天水，T23，F8）如图所示，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC.
（1）求证：∠BAC=∠BCP；
（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的角平分线交AC于点D，你认为∠CDP的大小是否会发生变化？若变化，请说明理由；若没有变化，求出∠CDP的大小.
【思路分析】对于（1），先根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角，得∠PCB+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°,再根据同角的余角相等，得∠ACO=∠PCB.然后结合等边对等角得出答案；
对于（2），先根据三角形外角的性质得∠CDP=∠A+∠APD ，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，及角平分线的定义，可得∠CDP=1
2∠PCO ，进而得出答案.
【解题过程】（1）连接CO.
∵PC 是⊙O 的切线，
∴PC ⊥CO ，即∠OCP=90°，
∴∠PCB+∠BCO=90°…………………………………………………………………………2分
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠ACO=∠PCB…………………………………………………………………………………4分
∵AO=CO ，
∴∠ACO=∠CAO ，
∴∠PCB=∠CAO ，
即∠BAC=∠BCP…………………………………………………………………………………5分
（2）∠CDP 的大小不发生变化………………………………………………………………6分
∵∠CDP=∠A+∠APD ，∠BOC=2∠A ，∠CPO=2∠APD ，∠PCO=90°，
∴∠CDP=12∠BOC+12∠CPO=12（∠BOC+∠CPO ）=12∠PCO=45°…………………………………8分
【知识点】切线的性质，三角形外角的性质，圆周角定理
24．（2018甘肃天水，T24，F10）麦积山石窟是世界文化遗产，国家
AAAAA 级旅游景区，中国四大石窟之一.在2018年中国西北旅游营销大会暨旅游装备展
上，商家按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件
与将标价降低35元销售该工艺品12件所获得利润相等.
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件工艺品按此进价进货，标价销售，商家每天可售出该工艺品100件；若每件工
艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件.问：每件工艺品降价多少元销售，每天获得
的利润最大？获得的最大利润是多少元？
【思路分析】对于（1），根据标价-进价=45，(标价×85％-进价)×8=(标价-35-进价)×12，列出二元一次方程组，求出答案即可；
对于（2），根据利润=单间利润×销售量，列出二次函数，再讨论极值即可.
【解题过程】（1）解：设标价为x 元，进价为y 元，根据题意，得
{x −y =45,(85%x −y)×8=(x −35−y )×12.
....................................................................................2分 解得{x =200,y =155.
所以，该工艺品的进价为155元，标价为200元……………………………………………4分
（2）设降价a 元，每天获得的利润为W ，根据题意，得
W=(45-a)(100+4a)=-4a 2+80a+4500……………………………………………………………6分
=-4(a 2-20a)+4500
=-4(a 2-20a+100-100)+4500
=-4(a-10)2+4900，………………………………………………………………………………7分
∵-4＜0，
∴二次函数有最大值，
当a=10时，W 最大=4900…………………………………………………………………………9分
所以每件工艺品降价10元时，每天获得的最大利润为4900元…………………………10分
【知识点】二次函数的应用，二元一次方程组的应用
25．（2018甘肃天水，T25，F12）如图所示，在正方形ABCD 和△EFG 中，AB=EF=EG=5cm ，FG=8cm ，点B 、C 、F 、G 在同一条直线l 上.当点C ，F 重合时，△EFG 以1cm/s 的速度沿直线l 向左开始运动，t 秒后正方形ABCD 与△
EFG 重合，部分的面积为Scm 2.请解答下列问题：
（1）当t=3秒时，求S 的值；
（2）当t=5秒时，求S 的值；
（3）当5秒＜t ≤8秒时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值.
第25题图
【思路分析】对于（1），首先确定重叠部分是三角形，再根据相似三角形的判定和性质求出高，进而得出面积； 对于（2），确定重叠部分的面积是四边形，再根据△EFG 的面积-△CHG 的面积计算即可；
对于（3），先确定重叠部分是五边形，然后根据相似三角形的判定和性质表示出对应边，再根据S=S △EFG - S △BFH - S △CGP ，列出关于S ，t 的关系式，再根据二次函数的性质讨论极值即可.
【解题过程】过点E 作EM ⊥l ，于点M.
∵EF=EG=5cm ，FG=8cm ，
∴FM=MG=4cm.
在Rt △EFM 中，EM=3cm.
由△EFG 以1cm/s 的速度运动，可知CF=tcm ………………………………………………1分
（1） 当t=3秒时，CF=3cm ＜CM ，知重叠部分为△CFH ，如图所示………………….2分
∵∠FCH=∠FME ，∠HFC=∠EFM ，
∴△FCH ∽△FME ，
∴CF
FM =CH
EM .
∵CF=3cm ，FM=4cm ，EM=3cm ，
∴CH=94.
则S=12CF ·CH=278（cm 2）……………………………………………………………………….4分
（2） 如图所示.当t=5秒时，点F 与点B 重合，△CHG 的面积=27
8cm 2…………………5分
S=12FG ·EM-S △CHG =12-278=698（cm 2）……………………………………………………………7分
（3） 当5秒＜t ≤8秒时，重叠部分是五边形………………………………………….8分
BF=(t-5)cm ，CG=(8-t)cm ，
∵∠FBH=∠FME ，∠HFB=∠EFM ，
∴△FBH ∽△FME ，
∴BF
FM =BH
EM ，
∵BF=(t-5)cm ，FM=4cm ，EM=3cm ，
则BH=3
4(t-5).
∴S △BFH =12BF ·BH=12(t-5)×34(t-5)=38(t-5)2=38t 2-154t+758………………………………………….9分
同理CP=34(8-t)，
∴S △CGP =12CG ·CP=12(8-t)×34(8-t)=38(8-t)2=38t 2-6t +24…………………………………………..10分
∴S=S △EFG -S △BFH -S △CGP =12-(38t 2-154t+758)-(38t 2-6t+24)=-34(t-132)2+16516.
∵-34＜0， ∴函数图象有最高点，
当t=132时，S 的最大值为16516……………………………………………………………………12分
【知识点】动点问题，二次函数的应用，相似三角形的性质和判定
26．（2018甘肃天水，T26，F12）已知：抛物线y=ax 2+4ax+m （a ＞0）与x 轴的一个交点为A （-1，0）.
（1）求抛物线以x 轴的另一个交点B 的坐标；
（2）点D 是抛物线与y 轴的交点，点C 是抛物线上的一个点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此
抛物线的解析式；
（3）点E 是第二象限内到x 轴，y 轴的距离比为5:2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且点E 与点A 在此
抛物线对称轴的同侧.问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【思路分析】
【解题过程】（1）抛物线y=ax 2+4ax+m 的对称轴为x=-2，
∵该抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），
∴抛物线与x 轴的另一个交点为B （-3，0）………………………………………………….2分
（2）设点D 的坐标为（0，m ），
根据抛物线的对称性，可知点C 的坐标为（-4，m ）……………………………………….3分
S 梯形ABCD =12(AB+CD)×OD=12×(2+4)m=9，
解得m=3………………………………………………………………………………………4分
设抛物线的关系式为y=a(x+3)(x+1)，
∵点D （0，3）在图像上，
∴3=3a ，
解得a=1，
则抛物线的解析式为y=x 2+4x+3………………………………………………………………7分
（3）由点E 是第二象限内到x 轴，y 轴的距离比为5:2的点，
设点E 的坐标为（-2c ，5c ），
∵点E 在抛物线y=x 2+4x+3的图像上，
∴5c=4c 2-8c+3，
解得c=1
4或c=3，
当c=14时，点E （-12，54）；
当c=3时，点E （-6，15）（不符合题意，舍去）.…………………………………………9分 点A 关于对称轴x=-2对称的点为点B ，△PAE 的周长=PE+AP+AE=PE+PB+AE ，AE 的长 为定值，要求△PAE 的周长最小，即要求PB+PE 最小，根据两点之间线段最短，可知连接 BE 与对称轴的交点即为点P …………………………………………………………………10分 设过点B （-3，0）和点E （-12，54）的直线为y=kx+b ，
得{54=−12k +b,0=−3k +b.
解得{k =12,b =32.
∴直线BE 的关系式为y=12x+32，………………………………………………………………11分 当x=-2时，y=12，
∴点P 的坐标为（-2，12）……………………………………………………………………12分
【知识点】二次函数的应用，根据轴对称求线段和最小，待定系数法求一次函数解析式。