上海市重点中学2023学年度高二第一学期开学摸底考试数学试卷(附答案)

上海市重点中学2023学年度高二第一学期开学摸底考试试卷
数 学
一､填空题
1. 设角θ的终边经过点
()
4,3P -，那么2cos sin θθ-=______．
2. 若
(2,1),(3,4)a b =-=- ，则a 在b 方向上的数量投影是__________． 3. 函数
()2sin sin 3f x x x π⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭的值域是______． 4. 函数
()2cos sin f x x x
=+在区间,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上最小值是______. 5. 在三角形ABC
中，a =
b =，45A ∠=︒，则C ∠= ______．
6. 已知,a b 均为非零向量，且3a b +r r 与75a b - 垂直，4a b - 与72a b - 垂直，则a
与b
的夹角为__________．
7. 在锐角ABC 中,4,3AC BC ==,
三角形的面积等于则AB 的长为___________.
8. 实数,x y
满足2sin 3cos 2x y y ⎧+=⎪+=，
02y π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则xy =______． 9. 已知
8x y z π
≥≥≥
，且3
4x y z π
++=，则乘积cos sin cos x y z ⋅⋅的最大值为______． 10. 已知向量OA 与OB
的夹角为θ，
||2,||1,,(1)OA OB OP tOA OQ t OB ====- ，||PQ 在0t 时取得最小值，当
01
06t <<
时，cos θ的取值范围为__________． 11. ABC ∆中，23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅
，则sin C 的最大值是___________.
12. 设函数
()6
6sin cos 55kx kx f x =+，其中k 是一个正整数，若对任意实数a ，均有
(){}(){}1f x a x a f x x R <<+=∈，则k 的最小值为______．
二､选择题
13. 若非零不共线的向量
,a b 满足||||a b b +=
，则（ ）． A. |2||2|a a b >+
B. |2||2|a a b <+
C. |2||2|b a b >+
D.
的
|2||2|b a b <+
14. 正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U 盘，图2中的正八边
形窗花.在图3的正八边形12345678A A A A A A A A 中，647172A A A A A A λ+=
，则λ=（ ）
A.
42
- B. 2 C.
22
D.
15. O 为锐角△ABC 的外心，O 到三边a ，b ，c 的距离分别为k ，m ，n ，则（ ）． A. ::::k m n a b c =
B. 111
::::k m n a b c
=
C. ::tan :tan :tan k m n A B C =
D. ::cos :cos :cos k m n A B C =
16. 已知函数()sin cos f x x a x ωω=+，周期2T π<，3f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
6x π=处取得最大值，则使得不等式0a λω-≥恒成立的实数λ的最小值为（ ）．
A.
11
B.
13
C.
11
D.
13
三､解答题
17. 已知向量m = ，单位向量n 与向量m
的夹角为3
π
．
（1）求向量n
；
（2）若向量n 与坐标轴不平行，且与向量)
22,p x y =
-
垂直，令254t y x =++，请
将t 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最大值．
18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．
（1）求sin C 的值；
（2）在边BC 上取一点D ，使得4
cos 5
ADC ∠=-，求tan DAC ∠值．
19. 如图，一块直角梯形区域ABCD ，1AB AD ==，2BC =，在D 处有一个可以转动的
探照灯，其照射角EDF ∠始终为45°，设ADE α∠=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
，探照灯照射在该梯
形ABCD 内部区域的面积为S ．
（1）求S 关于α函数关系式； （2）求S 取值范围．
20. 如图，A ､B 是单位圆上的相异两定点（O 为圆心），且AOB θ∠=（θ为锐角）.点C 为
单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M .
（1）求OA AB ⋅u u u r u u u r
（结果用θ表示）； （2）若60θ
=
①求CA CB ⋅
的取值范围：
②设(01)OM tOB t <<= ，记
()COM
BMA
S f t S = ，求函数()f t 值域. 21. 用,,a b c 分别表示ABC 的三个内角,,A B C 所对边的边长，R 表示ABC 的外接圆半
径.
（1）2,2,45R a B ===︒，求AB 的长；
的的的的
（2）在ABC 中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；
（3）给定三个正实数,,a b R ，其中b a ≤，问,,a b R 满足怎样的关系时，以,a b 为边长，R 为外接圆半径的ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在
ABC 存在的情况下，用,,a b R 表示c .
参考答案
一､填空题
1. 设角θ的终边经过点()
4,3P -，那么2cos sin θθ-=______．
【答案】
11
5
##2.2 【详细分析】根据题意，先求出cos θ和sin θ，然后，代入求解即可得答案 【过程详解】角θ的终边经过点()4,3P -
，所以，4cos 5
θ=
=
，3sin 5θ=
=-，
所以，83112cos sin 555
θθ-=+= 故答案为：
115
2. 若(2,1),(3,4)a b =-=-
，则a
在b
方向上的数量投影是__________． 【答案】2-
【详细分析】首先求出a b ⋅ 、b ，再根据a b b
⋅
求出a 在b 方向上的数量投影；
【过程详解】解：因为(2,1),(3,4)a b =-=-
，所以()321410a b ⋅=-⨯+-⨯=- ，
5b =
= ，
所以a 在b
方向上的数量投影为2a b b
⋅=- ；
故答案：2-
3. 函数()2sin sin 3f x x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的值域是______． 【答案】31,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
【详细分析】利用辅助角公式，化简1
()sin(26
2
f x x π
=+-
，然后利用正弦函数的有界性，即可得到()f x 的值域
为
【过程详解】()2sin sin 3f x x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭12sin (cos sin )22
x x x =⋅
-2cos sin x x x =-
1cos 211
sin 2sin 2cos 222222
x x x x -=
-=+-1sin(2)62x π=+-，
31()22f x ∴-≤≤，所以所求值域为：31,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
故答案为：31,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ 4. 函数()2
cos sin f x x x =+在区间,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值是______.
【答案】
12
- 【详细分析】化余弦为正弦，然后令sin x t =换元，利用x 的范围求得t 的范围，配方后求得函数最小值.
【过程详解】()2
2
cos sin sin sin 1f x x x x x =+=-++.
令sin x t =，∵,44x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
∴sin ,22t x ⎡=∈-⎢⎣⎦
，
则2
2
15124y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭
，,22t ⎡∈-⎢⎣⎦
，
当2
t =-
时，2
min 1512242
y ⎛⎫=---+= ⎪ ⎪⎝⎭
.
故答案为：
12
. 【名师点睛】本题考查三角函数最值的求法，考查了利用换元法求二次函数的最值，是基础题.
5. 在三角形ABC
中，a =
b =，45A ∠=︒，则C ∠= ______． 【答案】75°或15°
【详细分析】由正弦定理求得B 角后可得C 角大小． 【过程详解】由正弦定理
sin sin a b A B =
，即sin 45sin B =︒
，所以sin 2
B =， 又a b <，所以A B <，B 是三角形内角，
.
所以60B =︒或120︒，
60B =︒时，75C =°，120B =︒时，15=︒C ． 故答案为：75°或15°．
6. 已知,a b 均为非零向量，且3a b +r r 与75a b - 垂直，4a b - 与72a b - 垂直，则a 与b
的夹角为__________． 【答案】
3
π
##60︒
【详细分析】根据向量垂直的条件以及向量的夹角公式计算即可． 【过程详解】解：设a
与b
的夹角为θ，
非零向量a
，b
满足3a b +
r r 与75a b
- 互相垂直，4a b - 与72a b - 互相垂直， (3)(75)0a b a b ∴+⋅-= ，(4)(72)0a a b b -⋅-=
，
227||15||160a b a b ∴-+⋅= ，227||8||300a b a b +-⋅=
， 2||2b a b ∴=⋅ ，2||2a a b =⋅ ， ||||2b a a b ∴⋅=⋅ ，
1
cos 2
||||a b a b θ⋅∴==⋅
又[0,]θπ∈，
3
π
θ∴=
故答案为：
3
π
7. 在锐角ABC 中,4,3AC BC ==,
三角形的面积等于则AB 的长为___________.
【
过
程
详
解
】
111sin 43sin sin cos 2222
ABC S AC BC C C C C ∆=
⋅⋅⇒=⨯⨯⋅⇒=⇒=
, 2
222cos 13AB AC BC AC BC C AB =+-⋅⋅=⇒=
考点：三角形的面积公式与余弦定理．
8. 实数,x y
满足2sin 3cos 2x y y ⎧+=⎪+=，02y π⎛
⎫≤≤ ⎪⎝
⎭，则xy =______．
【答案】
2
【详细分析】由02y π
≤≤
，得2
031
021
x ⎧≤-≤⎪⎨≤≤⎪⎩
，进而得x =，代入即可求解.
【过程详解】由方程组2sin 3cos 2x y y ⎧+=⎪+=
，可得2sin 3cos 2y x
y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，
因为02
y π
≤≤
，所以sin [0,1],cos [0,1]y y ∈∈，
所以2
031021
x ⎧≤-≤⎪⎨≤-≤⎪⎩
，解得223
2
x x ⎧≤≤≤≤⎩
，所以x =
当x =时，可得cos 0y =，且02
y π
≤≤
，所以2
y π
=
，
所以2
2
xy π
==
.
故答案为：
2
. 9. 已知8
x y z π
≥≥≥
，且3
4
x y z π++=
，则乘积cos sin cos x y z ⋅⋅的最大值为______．
【答案】
148
+
【详细分析】首先求得范围04
x y π
≤-≤
，
8
4
z π
π
≤≤
，根据题意可变形
sin()sin()cos sin cos cos (
)2x y x y x y z z +--⋅⋅=⋅13cos sin()sin()24z z x y π⎡⎤=⋅---⎢⎥⎣⎦
213cos sin()(cos cos sin )244
z z z z z π≤
⋅-=+⋅，利用三角函数求最值即可得解. 【过程详解】8
x y z π
≥≥≥，可得04
x y π
≤-≤
，
所以sin()0x y -≥，且
8
2
z π
π
≤≤
，
所以sin()sin()
cos sin cos cos (
2
x y x y x y z z +--⋅⋅=⋅
13cos sin()sin()24z z x y π⎡⎤=
⋅---⎢⎥⎣⎦
213cos sin()(cos cos sin )244z z z z z π≤⋅-=+⋅
1cos 2sin 21(sin(2)422448
z z z π+=+
=++
148
≤
+
，此时8z π=， 所以当且仅当 516x y π==
，8
z π
=时等号成立.
故答案为：
148
+
10. 已知向量OA 与OB
的夹角为θ，||2,||1,,(1)OA OB OP tOA OQ t OB ====- ，
||PQ 在0t 时取得最小值，当01
06
t <<时，cos θ的取值范围为__________． 【答案】11,28⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭ 【详细分析】由向量的运算可得2
2(54cos )(24cos )1PQ t t θθ=++--+ ，由二次函数可
得12cos 1
054cos 6
θθ+<
<+，解不等可得cos θ的取值范围
【过程详解】由题意可得21cos OA OB θ⋅=⨯⨯
， (1)PQ OQ OP t OB tOA =-=-- ，
所以2222
2(12(1)PQ t OB t OA t t OA OB =-+--⋅ ） 22(1)44(1)cos t t t t θ=-+-- 2(54cos )(24cos )1t t θθ=++--+，
由二次函数的性质可知，上式取得最小值时，
012cos 54cos t θ
θ
+=
+，
因为0106
t <<， 所以12cos 1
054cos 6
θθ+<
<+，
因为54cos 0+>θ，所以解得11cos 28
θ-
<<-，
即cos θ的取值范围为11,28⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
， 故答案为：11,28⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
11. ABC ∆中，23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅
，则sin C 的最大值是___________.
【答案】
3
【过程详解】由数量积的定义及余弦定理知
222cos 2b c a AB AC cb A +-⋅==
.
类似地，222
2a c b BA BC +-⋅= ，
222
2
a b c CA CB +-⋅=
.. 故已知等式化为(
)()2
2
2
222
2
2223b c a a c b
a
b c +-++-=+-
22223a b c ⇒+=.
由余弦定理及基本不等式得:
(
)
222
2
222
123cos 22363
a b a b a b c
a b C ab
ab b a +-
++-==
=+≥=
, sin 3
C ⇒=≤
，
当且仅当::a b c =
时，上式等号成立.
因此，sin C
的最大值3
.
12. 设函数()6
6sin
cos 55
kx kx
f x =+，其中k 是一个正整数，若对任意实数a ，均有(){}(){}1f x a x a f x x R <<+=∈，则k 的最小值为______．
【答案】8
【详细分析】首先化简函数，
()2
24224345(sin cos sin cos cos )cos 555555858
kx kx kx kx kx kx kx f x =+-⋅+=+， 根据题意最小正周期1T <，可得52
k π
>
，即可得解.
【过程详解】
()66224224sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )55555555
kx kx kx kx kx kx kx kx f x =+=+-⋅+ 2
2222(sin cos )3sin cos 5555
kx kx kx kx =+-⋅ 232345
1sin cos 45858
kx kx =-=+，
若对任意实数a ，均有(){}(){}
1f x a x a f x x R <<+=∈，
则最小正周期1T <，即21
45
k π
<，即52
k π>，
由Z k ∈，所以8k ≥，所以则k 的最小值为8. 故答案为：8
二､选择题
13. 若非零不共线的向量,a b
满足||||a b b += ，则（ ）．
A. |2||2|a a b >+
B. |2||2|a a b <+
C. |2||2|b a b >+
D.
|2||2|b a b <+
【答案】C
【详细分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断
【过程详解】
（2）
由非零向量a ，b
满足a b b +=
当a ，b
不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, ,OA a AB b == ,
则OB a b =+
. 在图（1）中, 2,2CA a CB a b ==+
,
不能比较2a 与2a b +
的大小;
在图（2）中, 由,,AB BD b OB a b a b b ===++=
, 得OB AB =BD =,
所以 OAD △为90AOD ∠= 的直角三角形.
易知AD
2,2b OD a b ==+ ,
由三角形中大角对大边, 得22b a b >+
.
故选：C
14. 正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U 盘，图2中的正八边
形窗花.在图3的正八边形12345678A A A A A A A A 中，647172A A A A A A λ+=
，则λ=（ ）
A.
42
- B. 2 C.
22
D.
【答案】D
【详细分析】在在41A A 上取一点C ，使得176
A C A A →
→
=，根据C 点的位置，从而求得
647164662A A A A A A A C A B →→→→→+=+=，找到6A B →与63A A →
的关系即可求得参数.
【过程详解】连接63A A ，41A A ，72A A 且6314A A A A B ⋂=， 在41A A 上取一点C ，使得176
A C A A →
→
=，
则四边形167ACA A 为平行四边形，716A A A C
→
→
=.
设3BA m →=，则(63722A A A A m m m →→
==+=+，
由图可知，
64716466727222A A A A A A A C A B A A A A →
→
→
→
→
→→
+=+===
故λ=
故选：D.
【名师点睛】方法名师点睛：利用向量相等及平行四边形法则，将向量的和转化为三角形中的长度关系，从而求得参数值.
15. O 为锐角△ABC 的外心，O 到三边a ，b ，c 的距离分别为k ，m ，n ，则（ ）． A. ::::k m n a b c =
B. 111
::::k m n a b c
=
C. ::tan :tan :tan k m n A B C =
D. ::cos :cos :cos k m n A B C =
【答案】D
【详细分析】利用O 为锐角△ABC 的外心，根据正弦定理可得：
::k m n =，
化简即可得解.
【过程详解】设r 为外接圆半径，
根据垂径定理可得k =
，m =，n =
所以由正弦定理且ABC 为锐角三角形可得：
::k m n =
cos :cos :cos cos :cos :cos r A r B r C A B C ==，
故选：D
16. 已知函数()sin cos f x x a x ωω=+，周期2T π<
，3f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
6x π=处取得最大值，则使得不等式0a λω-≥恒成立的实数λ的最小值为（ ）．
A.
11
B.
13
C.
11
D.
13
【答案】A
【详细分析】根据三角恒等变换和三角函数的性质、同角三角函数的关系式，得到
1
tan tan
6
a
ϕπ
ω
=
=
，再根据()3f π
=
，求得cos 6πω=a 的值，结合三角函数的性质求得112,k k Z ω=+∈，得出min 11ω=，把不等式转化为max (
a
λω
≥，
即可求解.
【过程详解】因为(
)sin cos )f x x a x x ωωωϕ=+=+，其中tan a ϕ=，
又因为6
x π
=处取得最大值，所以
2,6
2
k k Z π
π
ωϕπ⋅+=
+∈，
解得2,2
6
k k Z π
π
ϕπω=
+-
∈，
所以1tan tan 2tan 2626tan 6
k a ππππϕπωωπω
⎛⎫⎛⎫
=+-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①， 由1sin(
)1sin(2)3
3
2
6
(3
f k π
πππ
π
ωϕωπω+++-=
6
k Z π
ω==∈
，所以cos 6
π
ω=
两式相乘，
可得1sin 6a π
ω=，所以2222233cos 16611i )s n (a a a ωπωπ+=+=++， 即42230a a --=
，解得a =
a =
若a =(
)sin 2sin(3
f x x x x π
ωωω=-=-，
由()2sin(
26
63f πωπ
π=-=，可得2,632
k k Z ωπππ
π-=+∈，所以512,k k Z ω=+∈，
又由54(2sin(
)2sin(42sin 3
33333
f k ππωπ
πππ
π=-=+-==
这与(3
f π
=
由①得tan tan()663
k k Z ωπ
ππ=+=
∈， 因为cos 06
ωπ
>，所以
6
ωπ
在第一象限，
又由22T π
πω=
<，即1ω>，所以2,66
k k Z ωπππ=+∈， 所以112,k k Z ω=+∈，使ω最小，则1k =-，即min 11ω=， 若不等式0a λω-≥
恒成立，则max (11
a
λω
≥=
. 故选：A.
三､解答题
17.
已知向量m = ，单位向量n 与向量m
的夹角为3
π
．
（1）求向量n
；
（2）若向量n
与坐标轴不平行，且与向量)
22,p x y =
-
垂直，令254t y x =++，请
将t 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最大值．
【答案】（1）(0,1)n =
或1,2
2n ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
（2）()2
364f x x x =-++，10,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，()max 173f x = 【详细分析】（1）设(,)n x y = ，向量n 是单位向量，向量n 与向量m
夹角为
3
π
，解方程组
22
11
x y y ⎧+=⎪+=，由此求出n
． （2）
首先可判断向量1(22n =- ，根据向量垂直，得到2230x x y -+=，即可得到()f x ，
再由二次函数的性质计算可得．
小问1过程详解】 解：设(,)n x y =
，
向量n
单位向量，
221x y ∴+=．
【是
向量n 与向量m
夹角为
3
π
，
cos
3
2
y
π
+∴=
，
∴1y +=，
解方程组221
1
x y y ⎧+=⎪+=，
解得01x y =⎧⎨=⎩
或212x y ⎧=
⎪⎪⎨
⎪
=-⎪⎩
． ∴(0,1)n =
或122n ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
．
【小问2过程详解】
解： (0,1)n =
与坐标轴平行，
∴
向量122n ⎫=-⎪⎪⎝
⎭ ，又向量n
与向量22,)p x y =- 垂直，
∴221(()022x y +-⋅-=，
2230x x y ∴-+=，即223y x x =-．
又254t y x =++
2(3)54x x x =-+++
2364x x =-++，
即()2
364f x x x =-++，
因为230x x -+≥所以103
x ≤≤
， 所以()()2
2364317f x x x x =-++=--+，10,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
；
所以当13
x =
时，()max 117
33f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．
18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，已知3,45a c B ===︒．
（1）求sin C 的值；
（2）在边BC 上取一点D ，使得4
cos 5
ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．
【答案】（1）sin 5
C =
；（2）2tan 11DAC ∠=. 【详细分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .
（2）方法一：根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值. 【过程详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得2222cos 922352
b a
c ac B =+-=+-⨯=，所以b =.
由正弦定理得
sin sin sin sin 5
c b c B C C B b =⇒==
. [方法二]【最优解】：几何法
过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ．在Rt ABE △中，由45c B ==?，可得1AE BE ==，
又3a =，所以2EC =．
在Rt ACE 中，AC =
=，因此sin
5C =
=．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭
，所以3sin 5ADC ∠==.
由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈
⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5
C ==. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠
sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅34555525⎛⎫=⨯
+-⨯= ⎪⎝⎭
.
由于0,2DAC π⎛
⎫
∠∈ ⎪⎝
⎭，所以cos 25DAC ∠==
. 所以sin 2
tan cos 11
DAC DAC DAC ∠∠=
=∠.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法 在（1）的方法二的图中，由4
cos 5
ADC ∠=-，可得
4
cos cos()cos 5
ADE ADC ADC π∠=-∠=-∠=
，从而4sin 4
sin cos ,tan 5cos 3
DAE DAE ADE DAE DAE ∠∠=∠=∠==∠．
又由（1）可得tan 2EC
EAC AE
∠=
=，所以tan tan 2
tan tan()1tan tan 11
EAC EAD DAC EAC EAD EAC EAD ∠-∠∠=∠-∠=
=+∠⋅∠．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得1,2,AE CE AC ===．
在Rt ADE △中，4
cos sin 3
AE AD ED AD ADE ADE ===∠=∠，
所以23
CD CE DE =-=
．
在ACD 中，由正弦定理可得sin sin 25
CD DAC C AD ∠=⋅=
， 由此可得2
tan 11
DAC ∠=
． [方法四]：构造直角三角形法
如图，作AE BC ⊥，垂足为E ，作DG AC ⊥，垂足为点G ．
在（1）的方法二中可得1,2,AE CE AC ===．
由4cos 5ADC ∠=-，可得43cos ,sin 55
ADE ADE ∠=∠==．
在Rt ADE △中，542
,,sin 333
AE AD DE CD CE DE ADE =
====-=∠．
由（1）知sin 5
C =
，所以在Rt CDG △中，
sin 1515
DG CD C CG =⋅=
==
，从而15AG AC CG =-=． 在Rt ADG 中，2
tan 11
DG DAG AG ∠==． 所以2tan 11
DAC ∠=
．
【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得b =，然后使用正弦定理求得sin C ；方
法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得DAC ∠的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得DAC ∠的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有DAC ∠的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.
19. 如图，一块直角梯形区域ABCD ，1AB AD ==，2BC =，在D 处有一个可以转动的
探照灯，其照射角EDF ∠始终为45°，设ADE α∠=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
，探照灯照射在该梯
形ABCD 内部区域的面积为S ．
（1）求S 关于α的函数关系式； （2）求S 的取值范围．
【答案】（1）22
1
22(1tan ,21tan 41
tan 1;2tan tan 421,.22S πααααππαααπα⎧-++≤≤⎪+⎪
+⎪=⋅<<⎨+⎪
⎪=⎪⎩， （2
）1,2-.
【详细分析】（1）对α分三种情况讨论，分别求出函数的解析式即得解； （2）对α分三种情况讨论，分别求出函数的取值范围即得解. 【小问1过程详解】 解：当04
π
α≤≤
时，如图，过点D 作DG BC ⊥，垂足为G ,
因为1AB AD ==，2BC =，所以4
C π
∠=
,tan ,1tan AE BE αα=∴=-,
,tan()44FDG FG π
παα∠=
-∴=- ，所以1tan()4
BF π
α=--，
所以111(1tan )1(1tan())224
S π
αα=
⨯⨯-+⨯⨯--， 所以11111tan 1tan tan()1tan 224221tan S πα
αααα-=---=--⨯+， 所以122(1tan )21tan S αα
=-
+++， 当
4
2π
π
α<<
时，如图所示，3,4
DEG DFG π
αα∠=∠=
-
,
所以
11,3tan tan()4
EG FG παα=
=
-， 所以221111tan 1(32tan 2tan tan tan()4
S απαααα+=+=⋅+-.
当=
2
π
α时，12
S =
. 所以22
1
22(1tan ,21tan 41
tan 1;2tan tan 421,.22S πααααππαααπα⎧-++≤≤⎪+⎪
+⎪=⋅<<⎨+⎪
⎪=⎪⎩
， 【小问2过程详解】 解：当04
π
α≤≤
时， 12
2(1tan 21tan S αα
=-
+++， 令1+tan =,[1,2]t t α∈，所以12
2()2S t t
=-+， 由对勾函数的性质得2
()g t t t
=+
在t =
取到最小值，在1t =或2取到最大值3，
所以max min 122S S =-=
.此时S
的取值范围为1
[,22
-. 当42
ππα<<时， 221111tan 1
()32tan 2tan tan tan()4
S απαααα+=+=⋅+-， 设tan ,(1,)m m α=∈+∞，所以2(21)210S m Sm -+-=有大于1的实根， 当1
2
S =
时，1m =不符合题意；
当12
S >时，2
12Δ=21021210S S S S S ⎧>⎪⎪+->⎨⎪-+-<⎪⎩,不等式组无实数解；
当12S <时，2
12Δ=21021210
112S S S S S S
S
⎧⎪⎪<
⎪
⎪+-≥⎨⎪-+-<⎪⎪>-⎪-⎩
112S -≤<.
所以此时S
的取值范围为11,2⎫-⎪⎭
. 当=
2
π
α时，12
S =
. 综合得S
的取值范围为1,2-.
20. 如图，A ､B 是单位圆上的相异两定点（O 为圆心），且AOB θ∠=（θ为锐角）.点C 为
单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M .
（1）求OA AB ⋅u u u r u u u r
（结果用θ表示）； （2）若60θ
=
①求CA CB ⋅
的取值范围：
②设(01)OM tOB t <<= ，记
()COM
BMA S f t S = ，求函数()f t 值域. 【答案】（1）22sin
2
OA AB θ⋅=- 的
（2）①[]0,3；②()0,2
【详细分析】（1）根据数量积的定义以及几何意义结合图形详细分析运算； （2）①根据数量积结合三角函数运算求解；②结合图形详细分析可得
⋅=⋅
COM
BMA
S OM CM
S MB AM
，根据向量的相关知识运算整理，再结合函数单调性与最值，运算求解. 【小问1过程详解】
2()1cos 12sin 2
OA AB OA OB OA OA OB θθ⋅=⋅-=⋅-=-=-
【小问2过程详解】
①()()
2⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+ CA CB OA OC OB OC OA OB OA OC OC OB OC .
设BOC α∠=.由题意得2π0,
3α⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，则2
πc 1,=os cos ,3,12αα⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭
⋅⋅==
OA OB OA OC OC OB OC
所以3π31cos cos cos sin cos 23222ααααα⎛⎫
⋅=-+-=-+- ⎪⎝⎭
CA CB
33313πcos sin cos sin .22222226ααααα⎫⎛
⎫=-+=--=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
因为2π0,
3α⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则ππ5π,666α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
所以πcos ,622α⎡⎛
⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，则[]0,3CA CB ⋅∈ ；
（2）设(01)AM AC λλ=<<
， 则()1OM OA AM OA AC OA OC tOB λλλ=+=+=-+= ， 所以1t OC OB OA λλλ-=-
，由1OC = 得11t OB OA λλλ
--=
， 即22
1121OA t t OB λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫
+-⨯⨯
⨯⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，整理得212t t t λ-+=-， 所以2
2
111
CM t AM t t λλ--==-+，
所以
22221111
COM
BMA
OM CM S t t t t S t t t t t MB AM ⋅-+==⨯=--+-+⋅ . 即()()22222
21
(01),1111
t t t t t f t t f t t t t t t t ++-=<<==+-+-+-+. ()2
2
421(11),11,311
122a
a
t a a g a a a a -=-<<=+
=+
+++⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭
令
()12,1,1∀∈-a a ，令12<a a
()()()()()()
121212122222
1212434411=,3333--⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
a a a a a a g a g a a a a a ∵()()
2
2
121212330,0,30++>-<->a a a a a a ，则()()120g a g a -<，即()()12g a g a <
∴()2
413
=+
+a
g a a 在()1,1-上单调递增，则()()0,2∈g a 所以函数()22(01)1
t t
f t t t t +=<<-+值域是()0,2.
21. 用,,a b c 分别表示ABC 的三个内角,,A B C 所对边的边长，R 表示ABC 的外接圆半径.
（1）2,2,45R a B ===︒，求AB 的长；
（2）在ABC 中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；
（3）给定三个正实数,,a b R ，其中b a ≤，问,,a b R 满足怎样的关系时，以,a b 为边长，R 为外接圆半径的ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在
ABC 存在的情况下，用,,a b R 表示c .
【答案】（1
）c =
（2）见解析（3）见解析
【详细分析】（1）先根据正弦定理得b ，再根据余弦定理求AB 的长； （2）先根据余弦定理得222a b c +<，再根据正弦定理放缩证明结果； （3）先根据正弦定理讨论三角形解的个数，再根据余弦定理求c . 【过程详解】（）1
由正弦定理得2sin 222
b R B ==⨯⨯=
所以2
2
2
22cos
844
b a
c ac c c π
=+-∴=+-∴=+；
（）2 因为2222cos a b c ab C +-=，C ∠是钝角，
所以2222222220(2sin )(2)4a b c a b c R C R R +-<∴+<=<=
因此2224a b R +<；
（3）当2b R ≥时, ABC 不存在， 当2a R b >>时，ABC 不存在，
当2a R b =>时，存在一个ABC ，此时,2
A c π
==当2R a b >=时，存在一个ABC ，
此时2cos 222c a B ==== 当2R a b >>时，存在两个ABC ，
cos cos()sin sin cos cos C A B A B A B =-+=-
当A 为锐角时，
cos sin sin 22a b C A B R R ==
⋅
c ==
=当A 为钝角时，
cos sin sin 22a b C A B R R ==⋅
c ==
=
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查综合详细分析论证与求解能力，属较难题.。