立体几何练习题
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E
立体几何练习题
1.在直四棱住1111D C B A ABCD -中,12AA =,底面是边长为1的正方形,E 、F 、
G 分别是棱B B 1、D D 1、DA 的中点.
(Ⅰ)求证:平面E AD 1//平面BGF ; (Ⅱ)求证:1D E ⊥面AEC .
2.如图,正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2,E 为AB 的中点. (1)求证: 1BDD AC 平面⊥(2)求点B 到平面EC A 1的距离.
3.如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面,90ABC
ACB ∠=,2AB =1BC =1AA =. (Ⅰ)求三棱锥111A AB C -的体积;
(Ⅱ)若D 是棱1CC 的中点,棱AB 的中点为E , 证明:11//C AB DE 平面
4.如图,在棱长均为2的三棱柱ABC DEF -中,设侧面四边形FEBC 的两对角线相交于O ,若BF ⊥平面AEC ,
AB AE =.
(1) 求证:AO ⊥平面FEBC ; (2) 求三棱锥B DEF -的体积.
F
E
A
B
D C
G 1
C 1
A
1
B 1D 1
B 1
C E
D C
B
A
1
D 1
A
5.如图,在体积为1的三棱柱111C B A ABC -中,侧棱⊥1AA 底面ABC ,AB AC ⊥, 11==AA AC ,E 为线段AB 上的动点.
(Ⅰ)求证: CA 1C CA 11⊥C 1E ;
(2)线段AB 上是否存在一点E ,使四面体E-AB 1C 1
的体积为61
若存在,请确定点E 的位置;若不存在,请说明
理由.
6.已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图和三视图如图所示,其主视图BB 1A 1A 和侧视图A 1ACC 1均为矩形,其中AA 1=4。
俯视图ΔA 1B 1C 1中,B 1C 1=4,A 1C 1=3,A 1B 1=5,D 是AB 的
中点。
(1)求证:AC ⊥BC 1; (2)求证:AC 1∥平面CDB 1;
(3)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值。
7.如图,在底面为平行四边形的四棱锥ABCD P -中,AC AB ⊥,
ABCD PA 面⊥,点E 是PD 的中点。
(Ⅰ)求证:PB AC ⊥(Ⅱ)求证:AEC PB 平面//
8. 如图,在四棱锥ABCD P -中,ABCD 是矩形,ABCD PA 平面⊥,3,1===AB AD PA , 点F 是PD
的中点,点E 在CD 上移动。
(1) 求三棱锥PAB E -体积;
(2)
当点E 为CD 的中点时,试判断EF 与
A 1
C
A B 1
A B
C
D
P
E
F
E A
F C
B
图
E
'
A F
C B
图
平面PAC 的关系,并说明理由; (3) 求证:AF PE ⊥
9.如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PD ⊥平面
ABCD ,2PD AB ==,E ,F ,G 分别为PC 、PD 、BC 的中点.
(
1
)
求
证
:
PA EFG GC PEF ⊥平面P EFG -ABCD P -PA ABCD ABCD
BC AD //BAD ∠AD BC 2=AB PD PB E AE PCD E
.
.
)2( ; )1( ).2(,,,,,,,90,4,),1(的距离到平面求点求证如图上的射影恰为点在平面且位置到达使点折起将中点的分别是是等腰直角三角形如图BC A F C A EF E BCEF A A A AEF AB AC F E ACB BC AC ABC ''⊥''∆︒=∠==∆
12.如图所示是一个几何体的直观图、 正视图、俯视图和侧视图C 尺寸如图 所示)。
(Ⅰ)求四棱锥P ABCD -的体积;
(Ⅱ)若G BC 为上的动点,求证:AE PG ⊥。
A
C
D
B
P
图6
13.如图,四边形ABCD 为矩形,DA ⊥平面ABE ,
2AE EB BC ===,BF ⊥平面ACE 于点F ,
且点F 在CE 上.
(Ⅰ)求证:AE BE ⊥; (Ⅱ)求三棱锥D AEC -的体积;
(Ⅲ)设点M 在线段AB 上,且满足2AM MB =, 试在线段CE 上确定一点N ,使得//MN 平面DAE .
14.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的三视图如图所示. (1)画出此四棱柱的直观图,并求出四棱柱的
体积;
(2)若E 为1AA 上一点,//EB 平面1A CD , 试确定E 点位置,并证明EB ⊥平面11AB C D
15.如图是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体,四边形EFGH 为截面,且AB AD a ==,
BF DH b ==.
(Ⅰ)证明:截面四边形EFGH 是菱形; (Ⅱ)求三棱锥F ABH -的体积.
16.正方形ABCD 中,AB=2,E 是AB 边的中点,F 是BC 边上一点,将△AED 及△DCF 折起(如下图),使A 、C 点重合于A ’点.
正视图
侧视图
2
A
B
D
(1)证明:A ’D ⊥EF ; (2)当BF=
1
4
BC 时,求三棱锥A ’一EFD 的体积. 17、已知四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示,E 是侧棱PC 上的动点. (1) 求四棱锥P ABCD -的体积;
(2) 是否不论点E 在何位置,都有BD AE ⊥证明你的结论; (3) 若点E 为PC 的中点,求二面角D AE B --的大小.
18、如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形, 2AD DE AB ==,F 为CD 的中点.
(1) 求证://AF 平面BCE ;
(2) 求证:平面BCE ⊥平面CDE ; (3) 求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值.
19、如图,四棱锥P —ABCD 中,底面四边形ABCD 是正方形,侧面PDC 是
边长为
a 的正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD ,E 为PC 的中点。
(I )求异面直线PA 与DE 所成的角; (II )求点D 到面PAB 的距离.
12
1
121A
B
C
D P
E
A
B
C
D
E
F
20.如图,在三棱锥A -BCD 中,侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且AD =3,BD =CD =1,另一个侧面是正三角形 (1)求证:AD ︿BC
(2)在直线AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD 成30角若存在确定E 的位置;若不存在,说明理由。
立体几何参考答案
1. 证明:(Ⅰ)F E , 分别是棱11,DD BB 中点11//BE D F BE D F ∴=且∴四边形1BED F 为平行四边形
BF E D //1∴又111,D E AD E BF AD E ⊂⊄平面平面
//BF ∴平面E AD 1……………3分
又G 是棱DA 的中点1//AD GF ∴ 又111AD AD E GF AD E ⊂⊄平面,平面
//GF ∴平面E AD 1……………5分
又BF GF F =∴平面E AD 1//平面BGF ……………6分
(Ⅱ)
12AA = ∴2211115AD A A A D =
+=同理1
2,3AE D E =∴22211AD D E AE =+∴1D E AE ⊥……………9分
1,AC BD AC D D ⊥⊥∴AC ⊥面1BD 又11D E BD ⊂平面,∴1AC D E ⊥
又AC
AE A =,AC ⊂面AEC ,AE ⊂面AEC ∴1D E ⊥面AEC ………12分
2. (1)连接BD ,由已知有ABCD D D 平面⊥1、得D D AC 1⊥
又由ABCD 是正方形,得:BD AC ⊥、 ∵D D 1与BD 相交,∴1BDD AC 平面⊥ (2)∵CBE AE A ∆≅∆1 ∴51=
=CE E A 又∵321=C A ∴ 点E 到C A 1的距离
F
E
A
B
D
C
G 1
C 1
A 1
B 1
D
235=-=d ,有:62
1
11
=⋅=
d C A S EC
A 12111=⋅=A A E
B S EB A ,
又由EB A C EC A B V V 11--= , 设点B 到平面EC A 1的距离为h , 则CB S h S EB A EC A ⋅=⋅1
1
3
13
1 , 有26=⋅h ,36=
h , 所以点B 到平面EC A 1的距离为3
6
3. 【解】在Rt ABC ∆中,2AB =,1BC =,∴AC =1AA =11ACC A 为正方形.
1
11
111
111
111113
322
A A
B
C A A B C ABC A B C V V V ---===⨯= ----6分
(Ⅱ)当点E 为棱AB 的中点时,DE 平面11AB C ------8分
证明如下:
如图,取1BB 的中点F ,连EF 、FD 、DE ,
∵D 、E 、F 分别为1CC 、AB 、1BB 的中点, ∴1EF
AB .
∵1AB ⊂平面11AB C ,EF ⊄平面11AB C , ∴EF
平面11AB C . ------10分
同理可证FD 平面11AB C .∵EF
FD F =,
∴平面EFD
平面11AB C .∵DE ⊂平面EFD ,∴DE
平面11AB C . ------12分
4. (1)证明:∵BF ⊥平面AEC ,而AO ⊂平面SEC ∴BF ⊥AO ………2分 ∵AE AB =,AB AC = ∴AE AC =,而BCFE 为菱形,则O 为EC 中点, ∴AO ⊥EC , 且BF EC O ⋂=∴AO ⊥平面BCFE .………6分 (2)
DA ∥BE ,BE BCFE ⊆ ∴DA ∥平面BCFE
∴点D 、A 到面BCFE 的距离相等 ………8分
B DEF D BEF A BEF V V V ---== ∵AE AB = ,AO=AO
∴∆AOE ≌∆AOB ,得OE=OB ,即EC=FB ,而BCFE 为菱形,则BCFE 是正方形,
计算得,EFB ∆的面积等于正方形BCFE 的一半2=, ……………12分
A 1
A
因此 1222233
B DEF V -=
⋅=……………14分 5. 解:(Ⅰ)证明:连结1AC ,
侧棱1AA ⊥底面ABC ,
1AA AB ∴⊥又
AB AC ⊥.AB ∴⊥平面11A ACC .
又
1CA ⊂平面11A ACC ,
1AB CA ∴⊥ . ………(3分)
11AC AA ==, ∴四边形11A ACC 为正方形,
11AC CA ∴⊥.
1AC AB A ⋂=, 1CA ∴⊥平面1AC B . …………………………(5分)
又1C P ⊂平面1AC B ,11CA C P ∴⊥. …………………………………(6分) (Ⅱ)设在线段AB 上存在一点P ,使1116
P AB C V -=
. 1111
1112
ABC A B C V AB -=⨯⨯⨯=, 2AB ∴= . ………………………(7分)
又
1,AC AB AA AC ⊥⊥且11C A ⊥平面11,ABB A BB AB ⊥,
由111116
P AB C C PAB V V --==
, 知11111111111332326
PAB S C A PA BB PA ⋅=⨯⋅=⨯⨯⨯=, 解得1PA =,∴存在AB 的中点P ,使111
6
P AB C V -= . ……………(12分)
6. 解:(1)证明:因为主视图和侧视图均为矩形,所以该三棱柱为直三棱
柱……1分
又∵俯视图中A 1C 1=3,B 1C 1=4,A 1B 1=5 ∴A 1C 12
+B 1C 12
=A 1B 1
2
∴∠A 1C 1B 1=∠ACB=90°
∴AC ⊥BC 又∵AC ⊥CC 1,CC 1∩BC=C ∴AC ⊥平面BCC 1B 1 又∵BC 1⊂平面BCC 1B 1
∴AC ⊥BC 1 ………………………………4分 (2)证明:设CB 1与C 1B 的交点为E ,连结DE
∵D 是AB 的中点,E 是BC 1的中点 ∴DE ∥AC 1 又∵DE ⊂平面CDB 1,AC 1⊄平面CDB 1 ∴AC 1∥平面CDB 1 ……………………………………………………………8分 (3)∵DE ∥AC 1 ∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角
在ΔCED 中 ED=
12AC 1=52,CD=12AB=52 CE=1
2
CB 1=22∴cos ∠CED=8225
222
=
⨯
∴异面直线AC 1与B 1C
所成角的余弦值为
5。
……………………12分 7. ⑴ABCD AC ABCD PA 面面⊂⊥,
∴AC PA ⊥ 又PAB AB PAB PA A AC PA AC AB 面面⊂⊂=⋂⊥,,, ∴PAB AC 面⊥ PAB PB 面⊥ ∴PB AC ⊥
(2)连结BD 交AC 于点O ,并连结EO 四边形ABCD 为平行四边形 ∴O 为BD 的中点 又E 为PD 的中点 ∴在PDB ∆中EO 为中位线,PB EO //
AEC EO AEC PB 面面⊂⊄, ∴AEC PB 面// …………………12 8. 解:(1) ABCD PA 平面⊥, 6
31312
1313
1=⨯⨯⨯⨯=⋅==∴∆--PA S V V ABE ABE P PAB E
(2)当点E 为BC 的中点时,PAC EF 平面||。
理由如下: 点F E ,分别为CD 、PD 的中点,
∴PC EF ||。
PAC PC 平面⊂,PAC EF 平面⊄PAC EF 平面||∴
(3) ABCD PA 平面⊥,ABCD CD 平面⊂ PA CD ⊥∴
是矩矩形ABCD ,AD CD ⊥∴ A AD PA =⋂ ,PAD CD 平面⊥∴ PAD AF 平面⊂ DC AF ⊥∴ AD PA = ,点F 是PD 的中点
PD AF ⊥∴
又D PD CD = PDC AF 平面⊥∴ PDC ,PE 平面⊂
AF PE ⊥∴
9. 解(1)证法1:如图,取AD 的中点H ,连接,GH FH ………1分 ∵,E F 分别为,PC PD 的中点,∴EF CD ………2分 ∵,G H 分别为,BC AD 的中点,∴GH CD .
∴EF
GH .∴,,,E F H G 四点共面 ………4分
∵,F H 分别为,DP DA 的中点,∴PA FH .
∵PA ⊄平面EFG ,FH ⊂平面EFG ,∴PA 平面EFG ………6分.
F
E
A D
B
C
P
(2)解:∵PD ⊥平面ABCD ,GC ⊂平面ABCD ,∴GC PD ⊥. ∵ABCD 为正方形,∴GC CD ⊥ ∵PD CD D =,∴GC ⊥平面PCD . ………10分
(3)∵112PF PD ==,112EF CD ==,∴1122PEF S EF PF ∆=⨯=.∵1
12
GC BC ==, ∴1111
13326
P EFG
G PEF PEF V V S GC --∆==⋅=⨯⨯=………14分
10. 解:(1)∵ PA ⊥平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD , ∴ PA ⊥AB .
∵ AB ⊥AD ,PA AD A =,∴ AB ⊥平面PAD , ∵ PD ⊂平面PAD ,∴ AB ⊥PD . (2)取线段PB 的中点E ,PC 的中点F ,连结DF EF AE ,,,
则EF 是△PBC 中位线.∴EF ∥BC ,BC EF 2
1
=
∵ BC AD //,BC AD 2
1
=,∴EF AD EF AD =,//.
∴ 四边形EFDA 是平行四边形, ……10分
∴ DF AE //.∵ AE ⊄平面PCD ,DF ⊂平面PCD , ∴ AE ∥平面PCD .∴ 线段PB 的中点E 是符合题意要求的点. 11. 解:
分
平面平面平面平面又中在四棱锥且的中点分别是中在等腰直角证明6......................................................................... '' ' ','',' ,',' // ,,, :
)1(C A EF EC A C A EC
A EF EC A EC EC A E A E EC E A EC EF E A EF BCEF A AC
EF AC BC BC EF AB AC F E ABC '⊥∴⊂⊥∴⊂⊂=⊥⊥-∴⊥∴⊥∴∆ 4
,2222'','' ')1( // :)2(2222==+=+=∆⊥∴⊥'⊥∴BC EC E A C A CB A Rt EC
E A BCE
F E A C A BC EF
BC 中在平面由已知得得由解
分
的距离为到平面所以点分得由的距离为到平面设点分14 (222)
422421' '3
131 9................,8. (244222)
1'21 '''''BC A F S E A S d E A S d S V V d BC A F BC C A S BC A FBC FBC BC A FBC A BC A F BC A '=⨯⨯⨯=⋅=∴⋅⋅=⋅⋅='=⨯⨯=⋅⋅=
∴∆∆∆∆--∆ 12.解:(I )由几何体的三视图可知,低面ABCD 是边长为4的正方形,
//PA ABCD PA EB ⊥面,,且42,22,4PA BE AB AD CD CB ======,
116424244333
P ABCD ABCD V PA S -∴=⋅=⨯⨯= (Ⅱ)连BP , 2EB BA AB PA
==, 90EBA BAP ∠=∠=° ,PBA BEA ∴∠=∠90PBA BAE BEA BAE ∴∠+∠=∠+∠=°
PB AE ∴⊥………………10分
又BC APEB BC AE ⊥∴⊥平面,,AE PBG ∴⊥平面
AE PG ∴⊥
13. 解:(Ⅰ)证明:由AD ⊥平面ABE 及//AD BC 得BC ⊥平面ABE ,则AE BC ⊥
而BF ⊥平面ACE ,则BF AE ⊥,又BC
BF B =,则AE ⊥平面BCE , 又BE ⊂平面BCE ,故AE BE ⊥。
(Ⅱ)在ABE ∆中,过点E 作EH AB ⊥于点H ,则EH ⊥平面ACD . 由已知及(Ⅰ)得12,222
ADC EH AB S ∆===故1422233D AEC E ADC V V --==⨯= (Ⅲ)在ABE ∆中过点M 作//MG AE 交BE 于点G ,在BEC ∆中过点G 作//GN BC 交BC 于点N ,连接MN ,则由13CN BG MB CE BE AB ===得13
CN CE = 由平面,ADE AE ⊂平面ADE ,则//MG 平面ADE
再由//,//GN BC BC AD 得//GN 平面ADE ,又MN ⊂平面MGN ,则//MN 平面ADE . 故当点N 为线段CE 上靠近点C 的一个三等分点时,//MN 平面ADE .
14. (本小题主要考查空间中线面关系,空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力)
(1)(参考右下图——图略);…………(3分)
162ABCD V S AA =⋅=…………(6分) (2)作//EF AD 交1A D 于F ,连CF ,则BCFE 共面
//EB 平面1A CD ,//BE CF ∴,又//EF BC ,BCFE ∴为平行四边形.
12
EF BC AD ∴==,E ∴为1AA 的中点. ……………(10分) 在矩形11AA B B 中,2AB =,2AE =
1AE AB AB BB ∴=,1AB B ABE ∴∆∆,1AB B ABE ∴∠=∠, 1BE AB ∴⊥
又1AD AA ⊥,AD AB ⊥,1
AA AB A = AD ∴⊥平面11AA B B ,BE ⊂平面11AA B B
AD BE ∴⊥, 1AB AD A = BE ⊥平面11AB C D . ……………(14分)
15. 解:(Ⅰ)证明:因为平面ABEF ∥平面CDHG ,
且平面EFGH 分别交平面ABFE 、平面CDHG 于
直线EF 、GH ,所以EF ∥GH . 同理,FG ∥EH .
因此,四边形EFGH 为平行四边形.(1)
因为BD AC ⊥,而AC 为EG 在底面ABCD 上的射影,所以EG BD ⊥.…………4分
因为BF DH =,所以FH ∥BD .因此,FH EG ⊥.(2)
由(1)、(2)可知:四边形EFGH 是菱形;………………6分
(II )因为DA ⊥平面ABFE ,HD ∥AE ,所以H 到平面ABF 的距离为DA a =.
于是,由等体积法得所求体积211113326
F ABH H ABF ABF V V S DA ab a a b --∆==⋅⋅=⨯⨯=…12分 16. (1)证明:∵A ’D ⊥A ’E ,A ’D ⊥ A ’F, ,∴.A ’D ⊥平面A ’EF .∴ A ’D ⊥EF ………5 (2 J 解:∵A ’D ⊥平面A ’EF .∴A ’D 是三棱锥D-A ’EF 的高………………7 .
又由BE=1,BF=1
2推出EF=5
2,可得A'EF 54
S
A'-EFD A'EF A'EF 11..A'D=33D V V S -===12 17、解:(1) 由三视图可知,四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形,侧棱PC ⊥底面ABCD ,且2PC =. ∴211212333P ABCD ABCD V S PC -=⋅=⨯⨯=正方形,即四棱锥P ABCD -的体积为23
.……4分 (2) 不论点E 在何位置,都有BD AE ⊥. ………5分
证明如下:连结AC ,∵ABCD 是正方形,∴BD AC ⊥.…………6分
∵PC ⊥底面ABCD ,且BD ⊂平面ABCD ,∴BD PC ⊥.…………7分
又∵AC PC C =,∴BD ⊥平面PAC .…………8分
∵不论点E 在何位置,都有AE ⊂平面PAC . ∴不论点E 在何位置,都有BD AE ⊥.……9分
(3) 解:在平面DAE 内过点D 作DF AE ⊥于F ,连结BF .
∵1AD AB ==
,DE BE ===
AE AE == ∴Rt △ADE ≌Rt △ABE ,从而△ADF ≌△ABF ,∴BF AE ⊥.
∴DFB ∠为二面角D AE B --的平面角.………12分
在Rt △ADE
中,AD DE DF BF AE ⋅===,
又BD =DFB 中,由余弦定理得
22222213cos 22223
DF BF BD DFB DF BF ⨯-+-∠===-⋅⨯,…………13分
∴120DGB ∠=︒,即二面角D AE B --的大小为120︒.………14分
18、
(1) 证法一:取CE 的中点G ,连FG BG 、.
∵F 为CD 的中点,∴//GF DE 且12
GF DE =. …………1分 ∵AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,∴//AB DE ,∴//GF AB .…2分 又12
AB DE =,∴GF AB =. ∴四边形GFAB 为平行四边形,则//AF BG .……4分 ∵AF ⊄平面BCE ,BG ⊂平面BCE ,∴//AF 平面BCE . ………5分
证法二:取DE 的中点M ,连AM FM 、.
∵F 为CD 的中点,∴//FM CE .…………1分
∵AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,∴//DE AB .…………2分
又12AB DE ME ==, ∴四边形ABEM 为平行四边形,则//AM BE . …………3分
A B C D P
E F
A B C D F H G
∵FM AM ⊄、平面BCE ,CE BE ⊂、平面BCE ,
∴//FM 平面BCE ,//AM 平面BCE .
又FM AM M =,∴平面//AFM 平面BCE .…………4分
∵AF ⊂平面AFM ,∴//AF 平面BCE . ………5分
(2) 证:∵ACD ∆为等边三角形,F 为CD 的中点,∴AF CD ⊥.…………6分
∵DE ⊥平面ACD ,AF ⊂平面ACD ,∴DE AF ⊥.…………7分
又CD DE D =,故AF ⊥平面CDE .∵//BG AF ,∴BG ⊥平面CDE . ………9分 ∵BG ⊂平面BCE ,∴平面BCE ⊥平面CDE . ………10分(3)
解:在平面CDE 内,过F 作FH CE ⊥于H ,连BH . ∵平面BCE ⊥平面CDE , ∴FH ⊥平面BCE .
∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角.…………12分
设22AD DE AB a ===,则2sin 45FH CF a =︒=, 2222(3)2BF AB AF a a a =+=+=,
R t △FHB 中,2sin FH FBH BF ∠=
=.∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为2.……14分
19、【解】(1)解法一:连结AC ,BD 交于点O ,连结EO.∵四边形ABCD 为正方形,∴AO=CO,又∵PE=EC,∴PA∥EO,
∴∠DEO 为异面直线PA 与DE 所成的角……………………3分
∵面PCD⊥面ABCD ,AD⊥CD,∴AD⊥面PCD ,∴AD⊥PD.在Rt△PAD 中,PD=AD=a ,则a PA 2=, ,22,23,2221a DO a DE a PA EO ====∴ 又,462
2232212143cos 222=⨯⨯-+=∠∴a a a a a DEO ∴异面直线PA 与DE 的夹角为.4
6arccos ……………………6分 (2)取DC 的中点M ,AB 的中点N ,连PM 、MN 、PN. ,//,
,//PAB DC PAB DC AB DC 面面∴⊄ ∴D 到面PAB 的距离等于点M 到面PAB 的距离.……7分
过M 作MH⊥PN 于H ,∵面PDC⊥面ABCD ,PM⊥DC,
∴PM⊥面ABCD ,∴PM⊥AB,又∵AB⊥MN,PM∩MN=M,
∴AB⊥面PMN. ∴面PAB⊥面PMN ,∴MH⊥面PAB ,
则MH 就是点D 到面PAB 的距离.……10分 在,2
7)23(,2
3,,22a a a PN a PM a MN PMN Rt =+=∴==∆中 .7212
723a a a a PN PM MN MH =⋅=⋅=∴………12分
20、【解】 (1):作AH ⊥面BCD 于H ,连.DH 取BC 的中点O ,连AO 、DO , 则有,.AO BC DO BC ⊥⊥ ,.BC AOD BC AD ∴⊥∴⊥面……………6分
(2)设E 为所求的点,作EF CH ⊥于F ,连FD .则EF ∥AH ………7分 ∴,EF BCD EDF ⊥∠面就是ED 与面BCD 所成的角,则30EDF ∠=︒.……8分
设EF x =,易
得1,,AH HC CF x FD ====
则tan EF EDF FD ∴∠==………10分
解得 1.2x CE ===则
故线段AC 上存在E 点,且1CE =时,ED 与面BCD 成30︒角.……12分。