大学物理 牛顿运动定律及其应用 习题及答案

第2章 牛顿运动定律及其应用 习题解答

1．质量为10kg 的质点在xOy 平面内运动，其运动规律为:

543x con t =+(m),5sin 45y t =-(m).求t 时刻质点所受的力．

解:本题属于第一类问题

54320sin 480cos 4x x x x con t dx

v t dt dv

a t

dt

=+=

=-==- 5sin 4520cos 480sin 4y y y t v t a t

=-==- 12

800cos 4()800sin 4()()800()

x x y y x y F ma t N F ma t N F F F N ==-==-=+= 2．质量为m 的质点沿x 轴正向运动，设质点通过坐标x 位置时其速率为kx （k 为比例系数），求：

（1）此时作用于质点的力；

（2）质点由1x x =处出发，运动到2x x =处所需要的时间。 解:(1) 2()dv dx F m

mk mk x N dt dt

=== (2) 2

2

11

2

111ln ln x

x x x x dx

dx v kx t x dt

kx k k x ==⇒===⎰ 3．质量为m 的质点在合力0F F kt(N )=-（0F ,k 均为常量）的作用下作直线运动，求： （1）质点的加速度；

（2）质点的速度和位置（设质点开始静止于坐标原点处）. 解:由牛顿第二运动定律

2002

1000

232

0000

12111262v t x t F kt dv

m

F kt a (ms )dt m

F t kt F kt dv dt v (ms )m m F t kt F t kt dx dt x (m )m m ---=-⇒=--=⇒=⎰⎰--

=⇒=⎰⎰

4．质量为m 的质点最初静止在0x 处，在力2F k /x =-(N)（k 是常量）的作用下沿X 轴运动，求质点在x 处的速度。

解: 由牛顿第二运动定律

02120v x x dv dv dx dv F k /x m

m mv dt dx dt dx

k vdv dx v ms )mx -=-====-⇒=

⎰⎰ 5．已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质

点离原点的距离x 的平方成反比，即2/x k f -=(N)，k 是比例常数．设质点在 x =A 时的速度为

零，求质点在x =A /4处的速度的大小． 解: 由牛顿第二运动定律

02120v x x dv dv dx dv F k /x m

m mv dt dx dt dx

k vdv dx v ms )mx -=-====-⇒=

==⎰⎰ 6．质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数)作用，t =0时质点的速度为

0v ，证明

(1) t 时刻的速度为v ＝t m

k

e

v )(0-；

(2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝(k

mv 0

)［1-t m k

e )(-］；

(3)停止运动前经过的距离为)(0k

m v ；

(4)当k m t =时速度减至0v 的e

1，式中m 为质点的质量． 证明: (1) t 时刻的速度为v ＝t m

k e

v )(0-

000ln v

t

k t m

v dv F kv m

dt

dv k v k

dt t v v e v m v m -=-==-⇒=-⇒=⎰⎰

(2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝(k

mv 0

)［1-t m k

e )(-］

00

00

(1)

k t m

x

t

k k t t m

m

dx

v v e dt

mv dx v e

dt x e k

---===⇒=

-⎰⎰

(3)停止运动前经过的距离为)(0k

m v

在x 的表达式中令t=0得到: 停止运动前经过的距离为)(0k

m v (4)当k m t =时速度减至0v 的

e

1

，式中m 为质点的质量． 在v 的表达式中令k m t =得到:

01v v e

= 7．质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：

(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；

(2) 子弹进入沙土的最大深度． 解: 由牛顿第二运动定律

(1) dv dv k m

kv dt dt v m

=-⇒=- 考虑初始条件,对上式两边积分:

000

v

t

k

t m

v dv k dt v v e v m -=-⇒=⎰⎰ (2)

max

00max 0

x k

t m mv dx

v e dt x dt k ∞

-=-⇒=⎰

⎰ 8．质量为m 的雨滴下降时，因受空气阻力，在落地前已是匀速运动，其速率为v = 5.0 m/s ．设

空气阻力大小与雨滴速率的平方成正比，问：当雨滴下降速率为v = 4.0 m/s 时，其加速度a 多大？(取29.8/g m s =)

解: 由牛顿第二运动定律

雨滴下降未达到极限速度前运动方程为 2mg kv ma -= （1）

雨滴下降达到极限速度后运动方程为