单元教学设计《导数及其应用》

单元教学设计《导数及其应用》
课题名称：《导数及其应用》单元教学设计
设计者姓名：XXX
设计者单位：XXX
联系（未提供）
一、教学要素分析
1、数学分析
1）该单元在整个高中数学中的地位和作用
导数是大学数学微积分的核心概念之一，也是中学数学中特别重要的内容。

它在中学数学与高等数学之间起着承前启后的衔接作用。

导数以不同的形式渗透到高中数学的许多方面，与高中数学的许多内容都有密切的联系。

导数可用于研究函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率、证明不等式等，为解决中学数学问题提供了新的视野。

在中学数学中的应用涉及到函数、三角、数列、不等式、向量、解析几何、立体几何等方面。

应用导数可以十分方便地处理中学数学问题。

同时，导数也是解决一些物理、化学问题等其他实际问题的有力工具。

2）导数在实际生活中的应用
导数在物理、化学、生物、天文、地理、经济等领域都有着十分广泛和主要的应用。

为了突出导数概念的实际背景，教材选用了两个物理问题作为典型实例，从平均变化率到瞬时变化率的过程，引出导数概念，揭示导数的本质——导数就是瞬时变化率。

现实生活中经常遇到求利润最大、用料最省和效率最高等优化问题，这些问题常转化为数学中求函数的最值问题，而导数是求函数最值的强有力工具，因此我们利用导数解决生活中的优化问题就自然而然地用到导数了。

研究了导数及其应用以后，学生可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：s=s(t)，算出物体的瞬时速度、瞬时加速度；对非稳恒电流，就可以算出其瞬时电流强度；化学中的反应速度、冷却速度等也可以通过微积分的方法来解决。

3）该单元蕴含的基本数学思想和方法，以及数学文化价
值
在知识传授上，采用从特殊到一般，从猜想到探究，由感性上升到理性的思路，让学生充分感受数学知识产生过程，学会进行数学推理和探究方法。

同时，借助函数图象的直观性，即函数的平均变化率就是曲线割线所在直线的斜率，再利用无限逼近的数学思想得到曲线的切线和导数的关系——导数的几何意义，充分体现了数形结合思想和“无限逼近”的极限思想。

现实生活中的优化问题都转化为数学中求函数的最值问题，进一步体现了等价转化思想。

微积分的创立是数学发展中的重要里程碑，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段，开创了向近代数学过渡的新时期。

教材在多处介绍了微积分的发展史，例如，在引言中介绍了与微积分紧密相关的“四大问题”，阐述了微积分在人类科学发展史上的地位，对微积分的意义和作用也作了介绍。

通过拓展性栏目，给学生介绍牛顿法，展示导数在科学研究中的作用；通过实作业，让学生收集微积分创立和发展的有关材料，让学生体会微积分在数学和科学思想史上的价值，关注微积分的文化价值，领略数学文化，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。

普通高中数学课程标准（实验）》将《导数及其应用》这部分内容安排在选修1－1的第三章和选修2－2的第一章。

虽然是选修内容，但它仍然是高中数学中相当重要的一块内容。

在选修2－2中还增加了定积分与微积分基本定理的内容，对运算的要求也略有提高，主要原因是文科要求较低，理科对数学的要求更高。

教材注重导数概念和几何意义的教学，让学生从平均变化率开始，通过瞬时变化率引入导数的概念，强化了对导数本质的认识，同时增强学生对导数几何意义的认识和理解。

运算方面要求略有降低，主要包括利用导数定义求常见的6个函数的导数、研究函数的单调性、求不超过三次的多项式函数的单调区间和极值等。

教材强化了应用图像研究函数的方法，通过图象理解导数概念，强化了函数图象的作用，以图像为主体设计了“思考”、“探究”、“观察”、例题和练，让学生体验到导数研究函数的优越性。

同时，教材突出了导数的实际应用，让学生了解导数在物理、经济等领域中的应用，增强学生对微积分的实用性认识。

导数是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

在《标准》中，对导数的运用有较高的要求。

从导数概念的引入，到导数的应用举例都用到了大量的实例。

这些实例让学生理解从“平均变化到瞬时变化”、从“有限到无限”的思想，认识和理解这种特殊的极限，提高学生的思维能力。

利用导数可以解决很多实际问题，例如利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，以及运动速度、物种繁殖、绿化面积增长率等实际问题。

在定积分部分，还可以方便地求解曲边梯形的面积和做功等问题。

要求师生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流，以体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

在教材比较分析中，材为人教A版选修2-2，与旧版相比，材在导数的背景、变化率与导数、导数的计算、导数在研究函数中的应用、函数的最大值与最小值等方面进行了调整和改进。

在教学中，导数概念的研究起点是极限，即从平均速度、平均变化率、平均变化流程数列的极限，到函数的极限，再到导数的变化趋势，即平均变化率趋近于比较导数。

这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解。

通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），可以更好地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），学生更易于理解。

在教学中，还需要了解导数概念的某些实际背景，例如通过函数图像直观地理解导数的几何意义，以及掌握函数在一点
处的导数的定义和导数的几何意义。

此外，还需要理解导函数的概念，能根据导数定义，求函数y=c,y=x,y=x^2等的导数。

④函数单调性与导数的关系，极值点的必要条件和充分条件，以及求解实际问题中的最大值和最小值。

2）教学难点：
①导数的几何意义和思想的理解；
②复合函数的求导方法；
③函数单调性与导数的关系的深入探究；
④实际问题中最大值和最小值的求解。

6、教学方法
本课程的教学方法可以采用讲授、演示、探究、练和应用等多种方式相结合。

通过讲解导数的概念、性质和应用，让学生了解导数的重要性和作用，并通过演示和探究，让学生深入理解导数的几何意义和思想。

在练环节中，可以设计一些练题来巩固学生的知识和技能，同时通过应用题目，让学生了解导数在实际问题中的应用。

7、教学步骤
1）导入
通过一个简单的例子引入导数的概念，如一个物体在某一时刻的瞬时速度就是它在该时刻的导数。

2）讲授与演示
讲解四种常见函数的导数公式及应用，基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导方法，并通过演示例题来帮助学生理解和掌握。

3）探究
通过一些探究性的问题，引导学生深入理解导数的几何意义和思想。

4）练
设计一些练题，让学生巩固所学的知识和技能。

5）应用
通过一些应用题目，让学生了解导数在实际问题中的应用。

6）总结
对本节课的重点内容进行总结，强调学生需要掌握的知识和技能。

8、教学手段
黑板、彩色粉笔、投影仪、计算器等。

9、教学资源
教材、题集、课件、视频等。

10、教学评价
通过课堂练、考试、作业等多种方式对学生的研究情况进行评价，及时发现和解决学生的问题，确保教学效果。

同时，还可以通过学生的反馈和评价，不断改进和完善教学内容和方法。

3)通过函数图象直观地理解导数的几何意义，帮助学生理解导数的概念及其内涵；
4)通过讲解导数的定义和公式，引导学生掌握求导数的方法；
5)通过实例分析，帮助学生掌握利用导数研究函数的单调性、求函数极值、解决优化问题的基本方法；
6)通过讲解定积分和微积分基本定理，帮助学生初步了解
定积分和微积分的概念和含义；
7)采用讲解、演示、练等多种教学方法，提高学生的研究
兴趣和研究效果．
其中，第四段可以改写为：“通过实例分析，帮助学生掌
握根据实际问题建立适当的函数关系的方法，以及利用导数解决优化问题的基本方法。

”
第五段可以改写为：“通过几何直观和实例分析，帮助学
生了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，并掌握利用导数求不超过三次的多项式函数的极值和最值的方法。

”
学情，重点在于让学生理解导数的概念和掌握用定义求导数的方法。

难点：导数概念建立在极限基础之上，对学生的抽象思维能力有较高的要求，难点在于让学生领悟极限思想和函数思想，提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。

同时，还需要培养学生正确的数学观和实事求是的科学态度。

教学过程：
第一部分：曲线的切线
1.引入：通过展示一条曲线及其切线的图像，让学生了解
曲线的切线是什么，并引出导数的概念。

2.讲解：介绍曲线的切线的定义和求法，让学生掌握切线
的斜率和切点的求法。

3.练：让学生通过练题目，掌握曲线的切线的求法和应用。

第二部分：瞬时速度
1.引入：通过展示一辆车的速度变化图像，让学生了解瞬
时速度是什么，并引出导数的概念。

2.讲解：介绍瞬时速度的定义和求法，让学生掌握瞬时速
度的求法和应用。

3.练：让学生通过练题目，掌握瞬时速度的求法和应用。

第三部分：导数的概念
1.引入：通过前两部分的引入，让学生了解导数的概念是
什么。

2.讲解：介绍导数的定义和求法，让学生掌握用定义求导
数的方法。

3.练：让学生通过练题目，巩固用定义求导数的方法。

第四部分：导数的几何意义
1.引入：通过展示一条函数图像及其导数的图像，让学生
了解导数的几何意义是什么。

2.讲解：介绍导数的几何意义，让学生掌握导数与函数的
单调性、极值和拐点的关系。

3.练：让学生通过练题目，巩固导数的几何意义的应用。

实作业和小结：让学生通过实作业和小结，巩固所学知识，并对研究过程进行反思和总结。

导数是微积分中的重要概念，它表示函数在某一点的变化率。

求导数的方法有多种，其中最常用的是用导数的定义求导数。

难点在于理解导数的概念，但可以通过从瞬时速度、切线的斜率两个具体模型出发，由特殊到一般、从具体到抽象，利用类比归纳的方法研究导数概念。

为了帮助学生理解导数概念，可以把新知的核心“可导”和“导数”两个问题结合起来，利用转化的思想，将问题化归为考察一个关于自变量Δx的函数F(Δx) = [f(x+Δx) - f(x)]/Δx，当
Δx趋近于0时极限是否存在以及极限是什么的问题。

教法可
以采用引导发现式教学法和学法类比探究式研究法，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学。

在教学手段方面，可以利用电子白板、几何画板、GGB
等多媒体辅助教学，增强教学效果的直观性，帮助学生更好地理解无限逼近思想，揭示导数本质。

在教学内容方面，可以通过回顾具体问题情景，如运动员从10米高台跳水和曲线C的
图象，引入瞬时速度和切线的斜率两个问题，让学生探索解决方法上的共同之处，从而形成导数概念。

在师生活动环节中，可以设计针对新概念的相应问题情景，让学生从概念的现实原型，体验、感受直观背景和概念间的关系，为学生主动建构新知提供自然的生长点。

同时，可以创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念，让学生充分经历、体验数学知识再发现的过程，从中获取知识，发展思维，感受探索的乐趣。

剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落，然后再小幅度的改写每段话。

求导是高中数学中的一个重要概念，它是微积分的基础，也是后续研究的必备知识点。

在研究求导的过程中，我们需要了解导数的定义、求导的方法和应用等方面的知识。

导数的定义是函数在某一点处的变化率，也就是函数在该点处的瞬时斜率。

我们可以通过求导来获得函数在某一点处的导数，从而得到函数在该点处的瞬时变化率。

求导的方法有很多种，包括使用极限、使用导数的基本公式和使用微分等方法。

不同的方法适用于不同的情况，我们需要根据具体的问题选择合适的方法进行求导。

求导的应用十分广泛，包括在物理、经济学和工程学等领域中的应用。

例如，在物理学中，我们可以通过求导来计算物体的瞬时速度和加速度；在经济学中，我们可以通过求导来计算边际成本和边际收益等；在工程学中，我们可以通过求导来计算电路中的电流和电压等。

总之，求导是高中数学中的重要内容，它不仅是微积分的基础，还有着广泛的应用价值。

我们需要认真研究求导的相关
知识，掌握求导的方法和应用，为日后的研究和工作打下坚实的基础。

数的导数的概念的引导后，引导学生探究求导数的方法。

首先，通过求函数的增量和平均变化率，再取极限得到导数的方法步骤。

然后，利用例题让学生动手解答，并强化符号语言的规范使用。

接着，通过问题的层层展开，引申拓展出函数的导函数的概念，并让学生探讨如何求解析式。

最后，通过例题练，巩固重点知识。

这样设计的活动旨在让学生在掌握导数概念的基础上，进一步提高自主研究能力，感受数学文化的熏陶，了解导数的文化价值、科学价值和应用价值。

题进度，又能帮助学生
理解两者的区别和联系.
本次课程主要讲解了开区间内的导函数的两次拓展，让学生辨清函数数的解析式，以及函数在某一点处的导数和导函数的区别和联系。

通过练巩固求导方法，提高学生的模式识别能力，让他们体验数学在生活中的应用。

在课堂结束前，引导学生从知识、方法、思想和应用四个层面进行小结，理清知识结构，提炼数学方法和领悟数学思想，培养应用意识。

下节课将继续研究导数的几何意义，帮助学生深入理解可导与连续不存在的关系。

为了照顾到各种层次的学生，我们设计了分层必做
题和补充的必做题，既不影响主题进度，又能帮助学生更好地掌握知识和技能。

已知曲线C是函数f(x)=2x^2+1的图像。

1) 求点A(1,3)处的切线的斜率。

2) 求函数在x=1处的导数，进一步探究其发展意义。

选做题：
1.有条件的同学可以上网查阅有关微积分产生的历史背景
和意义的资料，并进行交流讨论，拓展研究方式。

2.函数f(x)=|x|在x=0处是否可导？
3.探究函数y=f(x)在x=x处可导的充分不必要条件、必要
不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件的价值和意义。

教学设计反思：
1.本单元的教学设计充分考虑了高中和大学数学的联系，贯彻了课程标准理念，并结合实际情况进行操作。

2.选择现实生活中的事件作为教学资源，尊重学生实际，按照学生的研究水平和表现进行设计，调动学生研究的积极性和主动性。

3.以学生为主体，教师作为引导者，通过探究、实践、总结、归纳、应用等多种方式进行研究，体现自主性要求。

4.突出数学思想方法在数学教学与研究中的作用，遵循特殊到一般的方法，体现“数形结合”和“等价转化”等思想。

同时将数学文化渗透于教学之始终，体现数学文化的价值。

5.发挥教材的作用，挖掘教材隐含的课程资源，重视归纳整理与总结，学会归纳和整合教材中的同类问题。