高考的立体几何压轴题精选

A
B
C
D
E F
1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为( ) A,
3827a
3
C,313a D,389a 2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之 比为( )
A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3
3．设二面角a αβ--的大小是0
60,P 是二面角内的一点,P 点到,αβ的距离分别为1cm, 2cm,则点P 到棱a 的距离是( )
A,
3
B,3cm C,23cm
D,3
4．如图,E,F 分别是正三棱锥A -BCD 的棱AB,BC
的中点,且DE ⊥EF.若BC=a ,则此正三棱锥的体积是( )
A,324a
B,324
C,
312a
3
5．棱长为的正八面体的外接球的体积是( ) A,
6π
B,27
C,3
D,3
6．若线段AB 的两端点到平面α的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面α 的位置关系是 .
7．若异面直线,a b 所原角为0
60,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为 2和平共处的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 .
8．如图(1),在直四棱柱1111A BC D ABCD -中,当底面四边形ABCD 满足条件
时,有1A C
⊥1B 1D (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
C
D
F A
B
O
C
D E
O
A
A B C D P Q
9．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ①AB 与EF 所连直线平行; ②AB 与CD 所在直线异面; ③MN 与BF 所在直线成0
60; ④MN 与CD 所在直线互相垂直.
其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)
10．如图,在ABC ∆中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC 分别交AB,AC 于D,E.将ADE ∆沿 DE 折起来使得A 到1A ,且1A DE B --为0
60的二面角,求1A 到直线BC 的最小距离.
11．如图,已知矩形ABCD 中,AB=1,BC=a (0)a >,PA ⊥平面ABCD,且PA=1.
(1)问BC 边上是否存在点Q 使得PQ ⊥QD?并说明理由;
(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQ ⊥QD,求这时二面角Q PD A --的正切.
12. 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积.
A B
C
D
A B
C D
图(1)
A B
E
N
M 图(2)
13.在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，122AB BB
==， P 为B 1C 1的中点．
（1）求直线AC 与平面ABP 所成的角；
（2）求异面直线AC 与B P 所成的角； （3）求点B 到平面APC 的距离．
14.如图,正四棱锥P-ABCD 中，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为
2
6。

（1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小 ；
（2）若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成的角的正切值 ；
（3）在侧面PAD 上寻找一点F 使EF ⊥侧面PBC
15：在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问
共线的三点组的个数是多少
16.如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1
2
PA ， 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP
⊥底面ABC ． (Ⅰ)求证OD ∥平面PAB ； (Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC 所成角的正弦． P
17. 如图1，已知ABCD 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴
OO 1折成直二面角，如图2 （Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1； （Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的余弦．
18.已知圆柱的底面半径为3，高为4，A 、B 两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB 与轴OO /
之间的距离。

19.简单选填题
1、已知错误！未找到引用源。

是平面，m ，n 是直线，给出下列命题：
①若错误！未找到引用源。

； ②若错误！未找到引用源。

； ③如果错误！未找到引用源。

相交；
图1
④若错误！未找到引用源。

其中正确命题的个数是（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2、已知三条不重合的直线m 、n 、l 两个不重合的平面错误！未找到引用源。

，有下列命题
①若错误！未找到引用源。

；
②若错误！未找到引用源。

； ③若错误！未找到引用源。

； ④若错误！未找到引用源。

； 其中正确的命题个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3、α、β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线，下列条件：①a //α、b 错误！未找到引用源。

；②a ⊥α、b 错误！未找到引用源。

；③a ⊥α、b 错误！未找到引用源。

；④a //
α、b 错误！未找到引用源。

且a 与α的距离等于b 与β的距离.其中是a ⊥b 的充分条件的有
（ ）
A ．①④
B ．①
C ．③
D ．②③
4、已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面错误！未找到引用源。

，有下列命题 ①若错误！未找到引用源。

； ②若错误！未找到引用源。

； ③若错误！未找到引用源。

； ④若错误！未找到引用源。

； 其中正确的命题个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，错误！未找到引用源。

是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
A ．若错误！未找到引用源。

∥β，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

∥n
B ．若错误！未找到引用源。

⊥β，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

⊥β
C ．若错误！未找到引用源。

⊥n ，m ⊥n ，则错误！未找到引用源。

∥m
D ．若错误！未找到引用源。

⊥错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

∥β，则错误！未找到引用源。

⊥β
6、若二面角错误！未找到引用源。

为 错误！未找到引用源。

，直线错误！未找到引用源。

，直线错误！未找到引用源。

，则直线错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

所成的角取值范围是
A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找
到引用源。

D
． 错误！未找到引用源。

7、已知直线错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

成错误！未找到引用源。

角，直线错误！未找到引用源。

，若直线错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

内的射影与直线错误！未找到引用源。

也成45°角，则错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

所成的角是
[,]
62ππ[,]
32
ππ[,]63
ππ(0,)
2π
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
8、设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中E ，F 分别是棱A 1A ，B 1B 中点，G 为BC 上一点，若C 1F ⊥EG ，则错
误！未找到引用源。

为（ ）
A ．60°
B ．90°
C ．120°
D ．150°
9、已知三棱锥错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

，点E 、F 分别在AC 、AD 上，使面错误！未找到引用源。

，则平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的正弦值为 （ ） A 错误！未找到引用源。

B 错误！未找到引用源。

C 错误！
未找到引用源。

D 错误！未找到引用源。

10、从P 点出发三条射线PA ，PB ，PC 两两成60°，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点，若球的体积为4π3
，则OP 的距离为（ ）
A ． 2
B ． 3
C ．3
2
D ．2 11、直线错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

成45°角，若直线错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

内的射影与错误！未找到引用源。

内的直线错误！未找到引用源。

成45°角，则错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

所成的角是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ． 60°
D ．90°
12、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 （ ）
A ．8错误！未找到引用源。

B ．6错误！未找到引用源。

C ．4错误！未找到
引用源。

D ．错误！未找到引用源。

13、已知线段AB 在平面错误！未找到引用源。

外，AB 两点到平面错误！未找到引用源。

的距离分别是1和3，则线段AB 中点到平面错误！未找到引用源。

的距离是__________. 14、正三棱锥P －ABC 的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为23，则正三棱锥的底面边长是____________.
15、(江苏省启东中学高三综合测试三)三棱锥P －ABC 的四个顶点点在同一球面上，若PA ⊥底面ABC ，底面ABC 是直角三角形，PA=2, AC=BC=1，则此球的表面积为 。

16、四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为错误！未找到引用源。

，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。

答案：1．过顶点A,V 与高作一截面交BC 于点M,点O 为正四面体的中心,1O 为底面ABC 的中
心,
设正四面体VABC 的棱长为m ,则=VM,1O M =13AM , 667
7
4231
1233O A AM m =
=,13VO m ==,得113
OO VO VO m a =-=-
在1Rt AOO ∆中,22211AO OO AO =+,即2
22(
)()33a m a m =-+,得3
m a =.
则1VO =
43a ,有203
111(sin 60)32V ABC V m VO -=⋅⋅⋅⋅=.选B. 温馨提示:正四面体外接球的半径VO :内切球的半径1OO =1
:
3:13
a a =. 2． 32
2
12341::():(2):(2)2:3:13
3
V V V R R R R R πππ=⋅⋅⋅=,选B.
3．设PA ⊥棱a 于点A,PM ⊥平面α于点M,PN ⊥平面β于点N,PA=t ,PAM θ∠=,则
sin 1sin(60)2
t t αα=⎧⎨-=⎩,5sin αα=,有sin α=(舍去),
所以1sin 3
t α=
=cm ,选B. 4．由DE ⊥EF,EF//AC,有DE ⊥AC,又AC ⊥BD,DE
BD=D,得AC ⊥平面ABD.
由对称性得0
90BAC CAD BAD ∠=∠=∠=,于是AB AC AD ===
.
3
11()3222224
B ACD V a a -=⋅⋅⋅⋅=,选B.
5．可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有2r =
得2
r =
,
外接球的体积3433
V r π=
=,选D. 6．当2AB <时,AB//α;当2AB =时,AB//α或AB ⊥α;当2AB >时,AB//α或与α斜
交.
7．由EF EA AB BF =++,得222
2
2cos EF EA AB BF EA BF θ=+++⋅⋅
(1)当0
60θ=时,有2
1
9412212
AB =+++⋅⋅⋅
,得2AB =; (2)当0
120θ=时,有
219412212
AB =++-⋅⋅⋅,得6AB =8． AC ⊥BD.(或ABCD 是正方形或菱形等)
9．将展开的平面图形还原为正方体NACF EMBD -,可得只②,④正确. 10．解:设ABC ∆的高AO 交DE 于点1O ,令1AO x =, 由
12=,有112OO x =-,
在11AOO ∆中,01160AOO ∠=,有2220
11111112cos60AO AO OO AO OO =+-⋅⋅⋅
得1
AO =当6x =时,1A 到直线BC 的最小距离为6.
11．解:(1)(如图)以A 为原点建立空间直角坐标系,设BQ x =,则 Q (1,,0)x ,P(0,0,1),D (0,,0)a 得(1,,1)PQ x =-,(1,,0)QD a x =-- 由PQ QD ⊥,有(1,,1)(1,,0)0x a x -⋅--=,得2
10x ax -+= ① 若方程①有解,必为正数解,且小于a .由2()40a ∆=--≥,0a >,得2a ≥. (i)当2a ≥时,BC 上存在点Q,使PQ ⊥QD;
(ii)当02a <<时, BC 上不存在点Q,使PQ ⊥QD.
(2)要使BC 边上有且只有一个点Q,使PQ ⊥QD,则方程①有两个相等的实根, 这时,2()40a ∆=--=,得2a =,有1x =.
又平面APD 的法向量1(1,0,0)n =,设平面PQD 的法向量为2(,,)n x y z = 而(1,1,0)QD =-,(0,2,0)(0,0,1)(0,2,1)PD =-=-,
由2200
n QD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得(,,)(1,1,0)0(,,)(0,2,1)0x y z x y z ⋅-=⎧⎨⋅-=⎩,解得,2x y z y ==有2(1,1,2)n =,则
121212cos ,n n n n n n ⋅<>=
==
⋅,
则12tan ,n n <>=所以二面角Q PD A --
12. 根据向量积的定义, 可知三角形ABC 的面积
→→→→
||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆.
由于→
AB =(2, 2, 2), →
AC =(1, 2, 4), 因此
→
→
4
21222k
j i =⨯AC AB =4i -6j +2k .
D
A
C
于是
142)6(42
1|264|21222=+-+=+-=∆k j i ABC S .
13. （1）∵AB ⊥平面BC 1，PC ⊂平面BC 1，∴AB ⊥PC
在矩形BCC 1B 1 中，BC=2，BB 1=1，P 为B 1C 1的中点，∴PC ⊥PB
∴PC ⊥平面ABP ，∴∠CAP 为直线AC 与平面ABP 所成的角 ∵PC=2，AC=22，∴在Rt △APC 中，∠CAP=30
∴直线AC 与平面ABP 所成的角为300
（2）取A 1D 1中点Q ，连结AQ 、CQ ，在正四棱柱中，有AQ ∥BP ，
∴∠CAQ 为异面直线AC 与BP 所成的角
在△ACQ 中，22112,22, 6.AQ AC CQ CC C Q =
==+=
∴∠CAQ=600
∴异面直线AC 与BP 所成的角为600
（也可用向量法） （3）过点B 作BH ⊥AP 于H ， 由题（1） PC ⊥平面ABP ，∴PC ⊥BH
∴BH ⊥平面APC
∴BH 的长即为点B 到平面APC 的距离 在Rt △ABP 中，AB=2，23
2,.3
BP BH =
∴=
14、方法一：（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）解：取VD 的中点E ，连结AE ，BE
∵VAD 是正三角形
∴AE ⊥VD ，AF=
3
2
AD ∵AB ⊥平面VAD ∴AB ⊥AE 又由三垂线定理知BE ⊥VD
因此，AEB ∠是所求二面角的平面角
于是，23
tan 3
AB AEB AE ∠=
=
即得所求二面角的大小为23
arctan
3
15解答：两端点都为顶点的共线三点组共有
87
282
⨯=个；两端点都为面的中心共线三点组共
有6132⨯=个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有123
182⨯=个，且没有别的类型的共线三点组，所以总共有2831849++=个
AB AD
AB AB ABCD AD VAD ABCD ⊥⎫⎪⊥⎪
⇒⊥⎬⊂⎪⎪=⋂⎭
平面VAD 平面ABCD
平面VAD
平面平面平面
16.解答OP ABC OA OC AB BC ⊥== 平面，，，
.
OA OB OA OP OB OP
∴⊥⊥⊥ ，
，
()O OP z O xyz -以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，
,0,0,,0,,0,0AB a A B C ⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
设，则 ()0,0,.OP h P h =设，则 ()
D PC 为的中点，Ⅰ212,0,,,0,2OD a h PA a h ⎛⎫
⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
又1
...
2
OD PA OD PA OD PAB ∴=-∴∴
平面∥∥
()
2,PA a = Ⅱ,h ∴=
,OD ⎛⎫
∴=- ⎪ ⎪⎝⎭
,PBC n ⎛=- ⎝可求得平面的法向量210cos ,OD n OD n OD n ⋅∴〈〉==⋅ OD PBC
θ设与平面所成的角为，210
sin cos ,OD n θ=〈〉=则 OD PBC ∴ 与平面所成的角为．
17.解答（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1．所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB ． 故可以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A （3，0，0），B （0，3，0），C （0，1，3）
O 1（0，0，3）．
从而.0333),3,3,0(),3,1,3(11=⋅+-=⋅-=-=BO BO 所以AC ⊥BO 1．
（II ）解：因为,03331=⋅+-=⋅BO 所以BO 1⊥OC ，由（I ）AC ⊥BO 1，所以BO 1
⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量．设),,(z y x =是0平面O 1AC 的一个法向量，由,3.0,033001=⎩⎨⎧==++-⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=⋅=⋅z y z y x O 取得)3,
0,1(=． 设二面角O —AC —O 1
的大小为θ，由、1BO 的方向可知=<θ，1BO >，所以COS <=cos θ，
标准实用
文案大全 1BO .43|
|||11=⋅BO n 即二面角O —AC —O 1的大小是.43arccos 18. 在圆柱底面上AO ⊥OO /，BO /⊥OO /，又OO /是圆柱的高，AB=5，所以d=2
33。

即异面直线AB 与轴OO /之间的距离为2
33。

19. 答案 1~5 CBCBD 6~12 CCBBBCC 13、 1或2 14、3 15、6
16、错误！未找到引用源。