2022-2023学年人教版中考数学复习 圆综合压轴题 专题提升训练

2022-2023学年人教版中考数学复习《圆综合压轴题》专题提升训练（附答案）
1．锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F．
（1）求的值；
（2）求证：．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CP是⊙O的切线．点P在AB的延长线上．（1）求证：∠COB＝2∠PCB；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6．求MC•MN的值．
3．如图，AC为⊙O的直径，CF切⊙O于点C，AF交⊙O于点D，点B在DF上，BC交⊙O于点E，且∠CAF＝2∠BCF，BG⊥CF于点G，连接AE．
（1）求∠AEB的度数；
（2）求证：△CBG∽△ABE；
（3）若∠F＝60°，GF＝2，求⊙O的半径长．
4．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．
（1）求证：∠CAG＝∠ABE；
（2）求证：CG＝CD；
（3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长．
5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE．（1）求证：∠AEB＝∠AFD；
（2）若AB＝10，BF＝5，求DF的长；
（3）若点G为AB的中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．
6．如图，△ABC为⊙O的内接等腰三角形，AB＝AC，CD为⊙O的直径，DF∥AC交AB、BC于点E、F．（1）求证：DE＝EF；
（2）若sin∠B＝，⊙O的半径为5，求CF的长．
7．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．
（1）求证：△ACE≌△BCD．
（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不包括端点B，C），过A，C，D三点的⊙O交AB于另一点E，连接AD，DE，CE，且CE⊥AD于点G，过点C作CF∥DE交AD于点F，连接EF．（1）求证：四边形DCFE是菱形；
（2）当tan∠AEF＝，AC＝4时，求⊙O的直径长．
9．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F，连接BE．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若AE＝4，．求：
①BE的长；
②cos∠BDF的值．
10．如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC＝AB、在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB 于点F，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F．
（1）设是x°的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是；
（2）不论D点取在半圆什么位置，图中除AB＝AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．
11．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接P A，PB，AB，已知∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．
12．如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若ED＝3，cos F＝，求⊙O的半径．
13．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）连接AE并延长与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若AB＝，CD＝9，求线段BC和EG 的长．
14．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，且交⊙O于E，C是的中点．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，请直接写出CD的长．
（3）若DC+DE＝6，求AE的长．
15．如图，AB为⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PD与⊙O相切于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO，交PO的延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若PB＝3，DB＝4，求⊙O的半径．
16．如图，点P是⊙O外一点，P A切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O 于点C，连接AC交OP于点D．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PD＝cm，AC＝8cm，点E是的中点，连接CE，求CE的长．
17．如图，点O是等腰△ABC的外心，AD是圆O的切线，切点为A，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，连接AD，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝12，BC＝8．求PC的长．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径为，ED＝2，延长EO交⊙O于F，连接DF、AF，求△ADF的面积．
19．如图1，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如图2，如果∠BED＝60°，PD＝，求P A的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）当OB＝2时，求BH的长．
21．如图，AB是⊙O的直径，延长BA至点P，过点P作⊙O的切线PC，切点为C，过点B向PC的延长线作垂线BE交该延长线于点E，BE交⊙O于点D，已知P A＝1，PC＝OC，
（1）求BE的长；
（2）连接DO，延长DO交⊙O于F，连接PF，
①求DE的长；
②求证：PF是⊙O的切线．
参考答案
1．（1）解：由于AD，BE，CF交于点O，
∴＝，＝，＝，
∴++＝1；
（2）证明：如图，延长AD交⊙O于M，设R为△ABC的外接圆半径，AD，BE，CF交于点O．
∵＝＝1﹣＝1﹣，
同理有：＝1﹣，＝1﹣，
代入++＝1，
得（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）＝1，
∴++＝2，
∴++＝＝．
2．（1）证明：∵CP是⊙O的切线，
∴OC⊥CP，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACO＝∠PCB，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠PCB＝∠A，
∴∠COB＝2∠A＝2∠PCB；
（2）解：如图2中，连接MA．
∵点M是弧AB的中点，
∴＝，
∴∠ACM＝∠BAM，
∵∠AMC＝∠AMN，
∴△AMC∽△NMA，
∴＝，
∴AM2＝MC•MN，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∵AM＝BM，AB＝6．
∴2AM2＝62，
∴AM2＝18，
∴MC•MN＝18．
3．解：（1）如图，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠AEB＝90°．
（2）如图∵CF与⊙O相切，
∴∠ACF＝90°．
∴∠BCF＝90°﹣∠ACE＝∠CAE．
∵∠CAF＝2∠BCF．
∴∠CAF＝2∠CAE．
∴∠CAE＝∠BAE．
∴∠BCF＝∠BAE．
∵BG⊥BF，AE⊥BC，
∴∠CGB＝∠AEB＝90°．
∵∠BCF＝∠BAE，∠CGB＝∠AEB，
∴△CBG∽△ABE．
（3）连接BD，如图2所示．
∵∠DAE＝∠DCE，∠DAE＝∠BCF，
∴∠DCE＝∠BCF．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°．
∴CD⊥AF．
∵∠DCB＝∠BCF，CD⊥AF，BGCBF，
∴BD＝BG．
∵∠F＝60°，GF＝2，∠BGF＝90°，
∴tan∠F＝＝BG＝tan60°＝，
∵BG＝2，
∴BD＝BG＝2．
∵∠AFC＝60°，∠ACF＝90°，
∴∠CAF＝30°．
∵∠ADC＝90°，∠CAF＝30°，
∴AC＝2CD．
∵∠CAE＝∠BAE，∠AEC＝∠AEB，
∴∠ACE＝∠ABE．
∴AB＝AC．
设⊙O的半径为r，则AC＝AB＝2r，CD＝r．
∵∠ADC＝90°，
∴AD＝r．
∴DB＝AB﹣AD＝2r﹣r＝（2﹣）r＝2．∴r＝4+6．
∴⊙O的半径长为4+6．
4．（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAG+∠BAG＝90°，
∵AD⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BAG+∠ABE＝90°，
∴∠CAG＝∠ABE；
（2）证明：∵∠CGD＝∠CAG+∠ACG，∠ABC＝∠ABE+∠CBE，由（1）知，∠CAG＝∠ABE，
∵∠CBE＝∠ACG，
∴∠CGD＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠D，
∴∠DGC＝∠D，
∴CG＝CD；
（3）解：连接AE、CE，
∵BC是直径，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AGE＝∠BEC，
∴AD∥CE，
∵∠CAE＝∠EBC，
∠ACG＝∠EBC，
∴∠CAE＝∠ACG，
∴AE∥CG，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AF＝AC，
∵AC2＝BC2﹣AB2，
∴AC2＝﹣42，
∴AC＝6，
∴AF＝×6＝3，
∵BF2＝AF2+AB2，
∴BF2＝32+42，
∴BF＝5，
∵∠ABG＝∠ABF，∠AGB＝∠BAF，∴△BAG∽△BF A，
∴BA：BF＝BG：BA，
∴4：5＝BG：4，
∴BG＝，
∵FG＝BF﹣BG，
∴FG＝5﹣＝．
5．（1）证明：∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADF＝90°，
∴∠AFD+∠F AD＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠F AD，
∴∠AEB＝∠AFD；
（2）解：如图1，过点F作BM⊥AB于点M．则∠AMF＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，
∴∠BFE＝∠AEB，
∴BF＝BE＝5，
∵∠ABE＝∠AMF＝90°，∠BAE＝∠MAF，
∴△AMF∽△ABE，
∴，
即，
设MF＝x，则AM＝2x，
∴BM＝10﹣2x，
∵BM2+MF2＝BF2，
∴（10﹣2x）2+x2＝52，
解得x＝3，
即MF＝3，
∵AE平分∠ABD，AD⊥BC，
∴DF＝MF＝3；
（3）解：∵∠ADB＝90°，G为AB的中点，∴AG＝DG＝BG，OG⊥AB，
∴∠BGD＝∠AGD＝90°，
∴△ADG为等腰直角三角形，
∴∠GAD＝45°，
∴∠ABD＝45°，
过点F作FH⊥AB于点H，如图2，
∵AF平分∠BAD，
∴FD＝FH，
∵∠ABD＝45°，
∴BF＝FH＝FD，
∵∠AFD＝∠AEB，∠AEB＝∠C，
∴∠AFD＝∠C，
∴AF＝AC，
又∵AD⊥BC，
∴FD＝DC，
设FD＝DC＝x，则BF＝x，
∴．
6．（1）证明：如图，连接DB，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵DF∥AC，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠DFB，
∴EB＝EF，
∵∠DBF＝90°，
∴∠DBE+∠EBF＝∠EDB+∠EFB，
∴∠DBE＝∠EDB，
∴DE＝EB，
∴DE＝EF；
（2）解：如图，连接AO，EO，延长AO交BC于点G，
∵AB＝AC，
∴AG⊥BC，
∵OC＝OD，DE＝EF，
∴OE∥FC，FC＝2OE，
∴∠AEO＝∠B，
∵OE⊥OA，
在Rt△AEO中，sin∠AEO＝，
∵sin∠B＝，⊙O的半径为5，
∴＝，
∴AE＝，
∴OE＝＝＝．∴CF＝2OE＝．
7．解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（ASA）；
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴CE＝CD，AE＝BD，
∵CE⊥CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∵CD＝2，BD＝3,
∴DE＝2，AE＝3，
∴AD＝5，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝2，
∴⊙O的半径为．
8．解：（1）证明：∵CE⊥AD，
∴EG＝CG，
∵CF∥DE，
∴∠DEG＝∠FCG，
∵∠FGC＝∠DGE，
∴△DEG≌△FCG（ASA），
∴ED＝FC，
∴四边形DCFE为平行四边形，
又∵CE⊥DF，
∴四边形DCFE是菱形；
（2）∵AG⊥EC，EG＝CG，
∴AE＝AC＝4，
∵四边形AEDC内接于⊙O，
∴∠BED＝∠BCA＝90°，
∵四边形DCFE是菱形，
∴EF∥DC，DE＝DC，
∴∠AEF＝∠ABC，
∴tan∠ABC＝tan∠AEF＝，
在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，∴DC＝3a，BD＝＝5a，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，
解得a＝或a＝0（舍去），
∴DE＝DC＝2，
∴AD＝＝＝2．即⊙O的直径长为2．
9．解：（1）证明：连接OD，BE，
∵OD⊥AC，且DH是⊙O的切线，
∴∠ODH＝∠DHA＝90°，
∴OD∥CA，
∴∠C＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠C，
∵∠OBD＝∠DEC，
∴∠C＝∠DEC，
∴DC＝DE；
（2）①由（1）可知：OD∥AC，
∴∠AEF＝∠ODF，
∴∠AFE＝∠OFD，
∴△AFE∽△OFD，
∴，
∵AE＝4，
∴OD＝6，
∵AB为⊙O的直径，
∴；
∴BE的长为8；
②在Rt△AEB中，，
∵∠BDF＝∠BAE，
∴．
10．解：（1）0＜x＜90，
（2）连接BD，可证△BDF∽△ADB，得＝，∵∠DBE＝∠DAC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°﹣∠ADE，
∴△BDE∽△ADC，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝BF．
11．（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，AC＝4，
∵OP∥BC，
∴∠C＝∠BOP，
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴＝，
即＝，
∴BC＝2．
12．（1）证明：连CB、OC，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴DB⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∵E为BD的中点，
∴CE＝BE，
∴∠BCE＝∠CBE，
而∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：CE＝BE＝DE＝3，
在Rt△BFE中，cos F＝，tan F＝＝，∴BF＝4，
∴EF＝＝5，
∴CF＝CE+EF＝8，
在Rt△OCF中，tan F＝＝，
∴OC＝6，
即⊙O的半径为6．
13．（1）证明：如图1，连接OE，OC；
∵CB＝CE，OB＝OE，OC＝OC
∴△OEC≌△OBC（SSS）
∴∠OBC＝∠OEC
又∵DE与⊙O相切于点E
∴∠OEC＝90°
∴∠OBC＝90°
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：如图2，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B
∴DA＝DE，CE＝CB，
在Rt△DFC中，CF＝＝1，
设AD＝DE＝BF＝x，
则x+x+1＝9，
x＝4，
∵AD∥BG，
∴∠DAE＝∠EGC，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠AED；
∵AD∥BG，
∵∠AED＝∠CEG，
∴∠EGC＝∠CEG，
∴CG＝CE＝CB＝5，
∴BG＝10，
在Rt△ABG中，AG＝＝6，∵AD∥CG，
∴＝＝，
∴EG＝×6＝．
14．（1）证明：连接OC．
∵C是的中点，
∴AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴DA∥OC，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥DC，
∵OC为半径，
∴DC为⊙O的切线．
（2）解：
∵AB是⊙O的直径，
∴AB＝10，∠ACB＝90°＝∠ADC，
∴BC＝＝6，
又∵∠DAC＝∠OAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：CD＝4.8．
（3）如图，连接EC，作CF⊥AB于F．
∵CA平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，∴CD＝CF，
∵＝，
∴CE＝BC，
∴Rt△CDE≌Rt△CFB，
∴DE＝BF，
∴CF+BF＝CD+DE＝6，设BF＝x，则CF＝6﹣x，由△ACF∽△CBF，
可得CF2＝AF•BF，
∴（6﹣x）2＝（10﹣x）•x，
解得x＝2或9（舍弃），
∴BF＝DE＝2，CD＝CF＝4，易证AF＝AD＝8，∴AE＝AD﹣DE＝6．
15．（1）证明：∵∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB，∴∠DEO＝∠PBO，
∵DE⊥PE，
∴∠DEO＝90°，
∴∠PBO＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）由（1）知，PB是⊙O的切线，
∴∠PBD＝90°，
∵PB＝3，DB＝4，
∴PD＝5，
∵PC和PB都是⊙O的切线，
∴PC＝PB＝3，∠OCD＝90°，
∴CD＝2，
设⊙O的半径为x，则OC＝x，OD＝4﹣x，
则22+x2＝（4﹣x）2，
解得，x＝，
即⊙O的半径是．
16．（1）证明：如图，连接OC，
∵P A切⊙O于A．
∴OA⊥P A，
∴∠P AO＝90°，
∵OP∥BC，
∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOP＝∠COP，
在△P AO和△PCO中
，
∴△P AO≌△PCO（SAS），
∴∠P AO＝∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接EA、EB，作BH⊥CE于H，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠AEB＝90°，
∵OP∥BC，
∴PO⊥AC，
∴AD＝CD＝AC＝4，
在Rt△P AD中，P A＝＝＝，
∵∠APO＝∠DP A，
∴Rt△P AD∽Rt△POA，
∴P A：PO＝PD：P A，即：PO＝：，解得PO＝，∴OD＝PO﹣PD＝3，
∵AO＝BO，OD∥BC，
∴BC＝2OD＝6，
在Rt△ACB中，AB＝＝10，
∵点E是的中点，
∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝45°，
∴AE＝BE，
∴△BCH和△ABE都是等腰直角三角形，
∴CH＝BH＝BC＝3，BE＝AB＝5，
在Rt△BEH中，EH＝＝4，∴CE＝CH+EH＝3+4＝7．
17．解：（1）直线PC与圆O相切，理由为：
过C点作直径CE，连接EB，如图，
∵CE为直径，
∴∠EBC＝90°，即∠E+∠BCE＝90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD．
∴∠E＝∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°，
∴CE⊥PC，
∴PC与圆O相切；
（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝4，
∴AC＝AB＝12，
在Rt△AMC中，AM＝＝8，
设圆O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝8﹣r，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即42+（8﹣r）2＝r2，解得：r＝，
∴CE＝2r＝＝9，OM＝8﹣＝，
∴BE＝2OM＝7，
∵∠E＝∠MCP，
∴Rt△PCM∽Rt△CEB，
∴＝，
即＝
∴PC＝．
18．解：（1）证明：连接OD，
∵OE∥AB，
∴∠COE＝∠CAD，∠EOD＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠COE＝∠DOE，
在△COE和△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE＝∠OCE＝90°，
∴ED⊥OD，
∴ED是圆O的切线；
（2）连接CD，交OE于M，
在Rt△ODE中，
∵OD＝，DE＝2，
∴OE＝＝＝，
∵OE∥AB，
∴△COE∽△CAB，
∴＝，
∴AB＝5，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴cos∠BAC＝＝＝，
∴AD＝，
∴CD＝＝，
∵EF∥AB，
∴，
∴CM＝DM＝CD＝，
∴EF＝OE+OF＝4，BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，
∴S△ADF＝S梯形ABEF﹣S梯形DBEF＝（AB+EF）•DM﹣（BD+EF）•DM＝×（5+4）×﹣×（+4）×＝．
∴△ADF的面积为．
19．解：（1）直线PD是否为⊙O的切线．理由如下：连接OD，如图1，
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠OBD，
∵∠PDA＝∠PBD，
∴∠1＝∠PDA，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即∠2+∠1＝90°，
∴∠PDA+∠2＝90°，即∠PDO＝90°，
∴OD⊥PD，
∴PD为⊙O的切线；
（2）如图2，连接OD，
∵ED和EB为⊙O的切线，
∴ED＝EB，
而∠BED＝60°，
∴△EDB为等边三角形，
∴∠EBD＝60°，
∴∠PBD＝30°，
∴∠PDA＝30°，
而∠ADB＝90°，
∴∠P＝30°，
在Rt△OAD中，OD＝PD＝×＝1，
OP＝2OD＝2，
∴P A＝PO﹣OA＝2﹣1＝1．
20．证明：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OB，CD＝AC，
∴OC是△ABD是中位线，
∴OC∥BD，
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥BD，
∵点B在⊙O上，
∴BD是⊙O的切线；
解：（2）由（1）知，OC∥BD，
∴△OCE∽△BFE，
∴，
∵OB＝2，
∴OC＝OB＝2，AB＝4，，
∴，
∴BF＝3，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，
∴AB•BF＝AF•BH，
∴4×3＝5BH，
∴BH＝．
21．解：（1）设圆的半径是r，则OP＝P A+r＝1+r，OC＝r，PC＝r．∵PC是圆的切线，
∴∠PCO＝90°，
∴在直角△PCO中，PC2+OC2＝OP2，即（r）2+r2＝（1+r）2，解得：r＝1或r＝﹣（舍去负值）．
在直角△OPC中，cos∠POC＝＝，
∴∠POC＝60°，
∵∠PCO＝90°，BE⊥BC，
∴BE∥OC，
∴△OPC∽△BPE，∠B＝∠POC＝60°，
∴＝＝，
∴BE＝OC＝；
（2）①在△OBD中，OB＝OD，∠B＝60°，
∴△OBD是等边三角形，BD＝OB＝1，∠BOD＝60°．
∴DE＝BE﹣BD＝﹣1＝；
②∵在△OPC和△OPF中，，
∴△OPC≌△OPF（SAS），
∴∠OFP＝∠OCP＝90°，
∴PF是⊙O的切线．。