高考数学 专题16 解析几何解题技巧—设而不求,金蝉脱壳(解析版)

专题16解析几何解题技巧—设而不求，金蝉脱壳
一．【学习目标】
1.掌握圆锥曲线的定义；
2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法；
4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；
5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。

二．【知识点总结】
1.椭圆定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程
(1) 22
221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =
(2) 22
221,(0)x y a b b a
+=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =3．椭圆的几何性质以22
221,(0)x y a b a b
+=>>为例
(1)范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤．
(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O
(3)顶点：长轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，短轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；长轴长12||2A A a =，短轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.
(4)离心率,01,c
e e e a
=<<越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆．
(5) ,,a b c 的关系：222c a b =-. 4．双曲线的定义：
平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程
(1) 22
221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c
(2) 22
221,(0,0)x y a b b a
-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c 6．双曲线的几何性质以22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>为例
(1)范围：,x a x a ≥≤-．
(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O
(3)顶点：实轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，虚轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；实轴长12||2A A a =，虚轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.
(4)离心率,1c
e e a
=>
(5) 渐近线方程b
y x a
=±.
7．抛物线的定义：
平面内与一个定点和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫抛物线的准线.
8．抛物线的标准方程
(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：
(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. (2)离心率1e =.
三．【题型归纳】
（一）斜率的积和商中的韦达定理 （二）面积问题中的设而不求 （三）与向量综合的设而不求 （四）定值与设而不求
（五）圆锥曲线与圆综合中的设而不求 （六）定点与设而不求 四．【题型方法】
（一）斜率的积和商中的韦达定理
例1. 给定椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，称圆心在坐标原点O C 的“伴椭
圆”，若椭圆C 右焦点坐标为F ，且过点. （1）求椭圆C 的“伴椭圆”方程；
（2）在椭圆C 的“伴椭圆”上取一点P ，过该点作椭圆的两条切线1l 、2l ，证明：两线垂直；
（3）在双曲线22
13
x y -=上找一点Q 作椭圆C 的两条切线，分别交于切点M 、N 使得0QM QN ⋅=uuu r uuu r ，
求满足条件的所有点Q 的坐标.
【答案】（1）2
2
4x y +=；（2）证明见解析；（3）1)2Q 或1)2Q -或1()2
Q 或1
()2Q -.
【解析】(1)依题意可得,c =
所以2222a b c -==,①
又椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>过点,所以22161,9a b += ②
由①②可得2
2
3,1a b ==,椭圆C 的“伴椭圆”方程为:22
4x y +=.
(2)由(1)可得椭圆2
2:13
x C y +=,
设切线方程为:(1)y k x -=-,将其代入椭圆2
2:13
x C y +=,消去y 并整理得:
222(13)6))30k x k k x k +++--=,
由222[6)]4(13)3]0k k k k --+-=,
得210k +-=, 设1l ,2l 的斜率为12,k k ,则12
1k k ?-,所以两条切线垂直.
(3)当两条切线,QM QN 的斜率存在时,设经过点00(,)Q x y 与椭圆相切的直线为:00()y k x x y =-+,
则002
2
()13
y kx y kx x y =+-⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得,222
0000(13)6()3()30k x k y kx x y kx ++-+--=, 所以222
0000[6()]4(13)[3()3]0k y kx k y kx --+--=,
经过化简得到:222
0000(3)210x k x y k y -++-=,设两条切线,QM QN 的斜率分别为12,k k ,
则2
0122
13y k k x -⋅=-, 因为0QM QN ⋅=uuu r uuu r
,所以QM QN ⊥,所以12
1k k ?-,所以2
02
113y x -=--,所以22004x y +=, 当两条切线,QM QN 的斜率不存在时
,(1)Q ±也满足22
004x y +=,
所以Q 的轨迹为椭圆的”伴随圆”,其方程为:22
4x y +=,
联立2222134x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩,解得2215414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,
所以12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或1
2x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
, 所以满足条件的所有点Q 的坐标为
: 1)2Q
或1)2Q -
或1()2
Q
或1
()2Q -. 练习1.已知直线12:l y x =，2:2=-l y x ，过点()20，-M 的直线l 分别与直线1l ，2l 交于,A B ，其中点A 在第三象限，点B 在第二象限，点()1
0，N ； （1）若NAB ∆的面积为16，求直线l 的方程；
（2）直线AN 交于2l 点P ，直线BN 交1l 于点Q ，若l PQ 、直线的斜率均存在，分别设为12k k ，，判断1
2
k k 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
【答案】（1）480x y ±+=（2）
12k k 为定值1
5
-，详见解析 【解析】（1）设直线方程为()2y k x =+，与直线1222l y x l y x ==-：，：，分别联立， 可得A B ，的纵坐标分别为
44,22k k k k -+，∵NAB ∆的面积为16，∴()12
16B A MN y y ⋅-= 即
144316222k
k k k ⎛⎫⨯⨯-= ⎪-+⎝⎭
，解得4k =±，∴直线l 的方程为480x y ±+=； （2）由（1）可得111111112424,,,2222k k k k A B k k k k ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭
，又10N （，），设()()22，，，-P a a Q b b ， 由A N P ，，共线，可得
1142132k a a k =--，解得11252k a k =-，即有111124,5252k k P k k ⎛⎫
- ⎪--⎝⎭
， 由B N Q ，，共线，可得1142132k b b k =---，解得11252k b k =+，即有111124,5252k Q k k k ++⎛⎫
⎪⎝⎭
， 则11
111112114452522225552
k k k k k k k k k k --
+--
+=--=
，即有12k k 为定值1
5-． （二）面积问题中的设而不求
例2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:1C mx ny +=的焦点在x
，虚轴长为2；
（1）求实数m
n 、的值: （2）设椭圆222:41C x y +=，若M N 、分别为12C C 、上的动点，且OM ON ⊥，求证：点O 到直线MN 的距离为定值
【答案】（1）2,1m n ==-（2）证明见解析
【解析】（1）由于双曲线焦点在x 轴上，故0,0m n ><
，且222
222c b c a b ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩
，解得1,a b c ===
所以双曲线方程为2
2112
x y -=，即22
21x y -=，所以2,1m n ==-.
（2）设点O 到直线MN 的距离为d .
当直线ON x ⊥
轴时，1,22
ON OM MN ==
=
，根据等面积法得1122OMN S OM ON MN d ∆=⋅⋅=⋅⋅
，解得3
d =
. 当直线ON 与x 轴不垂直时，设直线ON 的方程为y kx =（显然0k ≠），则直线OM 的方程为1
=-
y x k
，由2241y kx x y =⎧⎨+=⎩，得222
221,44N N k x y k k ==++，所以222
14k ON k +=+①.同理，由22121y x k x y ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩可求得22
2
121
k OM k +=-②.根据等面积法得1122OMN S OM ON MN d ∆=⋅⋅=⋅⋅，即222
2OM ON MN d ⋅=⋅，即 22
22
2
2
22OM ON OM ON
d MN
OM ON ⋅⋅=
=+，即222111d OM ON =+③.
将①②代入③得213,3d d ==. 综上所述，点O 到直线MN 的距离为定值.
练习1. 已知椭圆2
2
14
y x +=的左、
右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，
焦距为的双曲线，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T . （1）求曲线C 的方程；
（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，求证12x x ⋅为一定值；
（3）设△TAB 与△POB （其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且15PA PB ⋅≤u u u r u u u r
，求22
12S S -的取值
范围.
【答案】（1）22
14
y x -=；
（2）证明见解析，121x x ⋅=；（3）22
12[0,1]S S -∈. 【解析】（1）由椭圆方程可得：()1,0A -，()1,0B ，即双曲线C 中，1a =
又双曲线焦距为
c ∴=
2b ∴==∴曲线C 的方程为：2
2
14
y
x -=
（2）由题意可知，直线AP 斜率存在，则可设():1AP y k x =+
联立()22114y k x y x ⎧=+⎪⎨-
=⎪⎩
得：()()22224240k x k x k ---+=211244A k x x x k +∴⋅=-=- 212
44k x k +∴=-，
椭圆与直线联立得：(
)()
2
2
2
2
4+240k
x
k x k
+--=可得：2
22
44k x k
-=+ 22
1222
44144k k x x k k
+-∴=⋅=-+，即12x x ⋅为定值1 （3）由（2）可设()11,P x y ，211,T y x ⎛⎫
⎪⎝⎭
则()111,PA x y =---u u u r ，()111,PB x y =--u u u r 2
211115PA PB x y ∴⋅=-+≤u u u r u u u r 221116x y ∴+≤ 又点P 在双曲线22
14
y x -=上 221114y x ∴-
= 22114416x x ∴+-≤，解得：214x ≤ 又P 位于第一象限 112x ∴<≤
12212S AB y y =
⋅=Q ，21111
22
S OB y y =⋅= ()2
222
2221221112111114
4444544
S S y y x x x x ⎛⎫∴-=-
=---=-- ⎪⎝⎭ 令(]2
11,4t x =∈ 22
1245S S t t
∴-=--
4t t
+
Q 在(]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增()22
12max 5221S S ∴-=--=，()
221
2min
5410S
S -=--=2212S S ∴-的取值范围为[]0,1
（三）与向量综合的设而不求
例3. 设抛物线2
:4C y x =的焦点为F
（1）若抛物线C 与直线:1l y kx =-有且只有一个公共点.求实数k 的值:
（2）若点A P 、满足2AP FA =-u u u r u u u r
，当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程；
（3）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标:如果不存在。

请说明理由。

.
【答案】（1）0或-1；（2）2
84y x =-；（3）15,04⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【解析】（1）联立直线l ：y ＝kx ﹣1与抛物线C ：y 2＝4x ，得2
440ky y --=
当k ＝0时，1y =-满足条件
当k ≠0时，161601k k ∆=+=⇒=-，满足条件；故0k =或1- （2）设A （m ，n ），P （x ，y ），且F （1，0），
点A 、P 满足2AP FA =-u u u r u u u r
可得（x ﹣m ，y ﹣n ）＝﹣2（m ﹣1，n ），可得x ﹣m ＝﹣2m +2，y ﹣n ＝﹣2n ， 即x ＝﹣m +2，y ＝﹣n ，即m ＝2﹣x ，n ＝﹣y ，由n 2＝4m ，则y 2＝4（2﹣x ）， 可得P 的轨迹方程为y 2＝8﹣4x ；
（3）x 轴上假设存在点Q ，使得点Q 关于直线y ＝2x 的对称点在抛物线C 上， 设Q （t ，0），对称点设为（s ，u ），可得12u s t =--，2u =2•2t s +，解得s 35=-t ，u 4
5
=t ， 即有（
45t ）2＝4•（35-t ），可得t 15
4
=-， 可得存在点Q （15
4
-，0），使得点Q 关于直线y ＝2x 的对称点在抛物线C 上．
练习1。

如图，已知抛物线2
:2C y px =经过点(1,2)P ，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A 、B .
（1）求直线l 的斜率的取值范围；
（2）设O 为原点，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ，OQ MQ λ=u u u r u u u u r ，OQ NQ μ=u u u r u u u r
，求证：λμ+为定值.
【答案】（1）(,0)(0,1)-∞U ；（2）证明见解析.
【解析】（1）抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，代入计算得到2p =，即24y x =
易知：当斜率不存在时，0k =时，不成立；
设直线l 为：1y kx =+ 联立方程得到24(0)1
y x
k y kx ⎧=≠⎨
=+⎩ 即22(24)10k x k x +-+= 22(24)416160k k k ∆=--=->解得1k <
综上所述：(,0)(0,1)k ∈-∞U 直线l 的斜率的取值范围为(,0)(0,1)-∞U
（2）证明：设点()0,m M y ，()0,n N y ，则()0,1m QM y =-u u u u r ，(0,1)QO =-u u u r
，
因为QM QO λ=u u u u r u u u r
，所以1m y λ-=-，故1m y λ=-，同理1n y μ=-，
设()11,A x y ，()22,B x y
直线PA 的方程为
112111
224
2(1)(1)(1)
1214
y y y x x x y x y ---=
-=-=--+-
， 令0x =，得1122m y y y =
+①，同理可得2
2
22n y y y =+②，
因为
1
1
1111m n
y y λ
μ
+
=
+--③，将①②代入③可得， ()()()()()()
()2
1212121212
2
1212121212821821122821
1
2222111k x x kx kx kx kx y y y y y y y y kx kx kx kx k x x λμ-+++-++++-+=+===--------+ 又由（1）中根与系数的关系：12242k x x k -+=
，122
1
x x k
= 所以42428211421124242112k k
k k k k k k
λμ-⎛⎫
--⨯++-⨯ ⎪⎝⎭+=
==---+- ， 所以
1
1
λ
μ
+
为定值.
（四）定值与设而不求
例4. 已如椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角
形.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设动直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k ，k ＇.若2
2b kk a
'
=-，求证△OPQ
的面积为定值，并求此定值.
【答案】（1）22
184
x y +=；
（2）△OPQ
的面积为定值，且此定值为
【解析】（1）设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2.依题查，有1224F F c b c ⎧==⎨
=⎩，，
得2b c ==，则28a =，
所以椭圆C 的标准方程为22184
x y +=.
（2）证明：①当直线1与x 轴垂直时，设直线l
的方程为(x t =∈-，
()()00,0P t y y >，()0,Q t y -. 由2
262212y b kk t a '
-==-=-，且22
184
t y +=
，解得P
，(2,Q
或(P -
，(2,Q -，
所以1
22
OPQ S =
⨯⨯=V ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y mx n =+，()11,P x y ，()22,Q x y .
联立直线l 和椭圆C 的方程，得22184y mx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()222
124280m x mnx n +++-=.
(
)
22
848m n ∆=+-，122412mn x x m +=-+，2122
28
12n x x m
-=+. 由2212b kk a '
=-=-，则121212y y x x =-，即()()1212
12mx n mx n x x ++=-，
所以()(
)2
21212
21220mn x x m
x x
n ++++=，
即()
22222
428212201212mn n mn m n m m -⎛⎫⋅-++⋅+= ⎪++⎝⎭
，整理得2242n m =+，则280n ∆=>. 又
||PQ =
=，
点O 到直线PQ 的距离为
d =
，所以1
||2
OPQ S PQ d =
⋅
=V 综上，△OPQ 的面积为定值，且此定值为.
练习1. 如图，已知定圆()2
234C x y +：﹣＝，定直线360m x y ++：＝，
过()10A ﹣，的一条动直线l 与直线相交于N ，与圆C 相交于P Q ，两点，M 是PQ 中点．
（1）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ； （2）当2
PQ =3时，求直线l 的方程；
（3）设t =AM AN u u u u r u u u r g ，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）1x =-或4340x y -+=（3）t 的值为定值，且5t =-，详见解析 【解析】（1）当l 与m 垂直时, 1
3l m
k k =-=,又过点()10A -，， 所以直线方程为3(1)y x =+，
圆心为(0,3)C ，显然直线l 经过圆心. ()1
0A -， （2）当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意： 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线():1l y k x =+，由于2
3PQ =1CM =
由2311
k CM k -+=
=+，解得4
3
k =
, 故直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=
（3）当l 与x 轴垂直时，易得()51,3,1,3M N ⎛
⎫--- ⎪⎝
⎭
又()1,0A -，则()50,3,0,3AM AN ⎛⎫
==- ⎪⎝
⎭u u u u r u u u r ，故5AM AN ⋅=-u u u u r u u u r ，即5t =-
当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+ 代入圆的方程得(
)()2
2
2
2126650k
x k
k x k k ++-+-+=
则22321P Q
M x x k k x k +-+=
=+，()22
311M M k k
y k x k
+=+=+
即
22
22
33
,
11
k k k
k
M
k k
⎛⎫
-++
⎪
++
⎝⎭
则
2
22
313
,
11
k k k
AM
k k
⎛⎫
++
= ⎪
++
⎝⎭
u u u u r
,
由
(1)
360
y k x
x y
=+
⎧
⎨
++
⎩＝，
得：
365
,
1313
k k
N
k k
---
⎛⎫
⎪
++
⎝⎭
，
则
55
,
1313
k
AN
k k
--
⎛⎫
= ⎪
++
⎝⎭
u u u r
，
故()()
()
()()
2
22
53
155
113113
k k k
k
t AM AN
k k k k
-+
--
=⋅=+
++++
u u u u r u u u r()()
()()
2
2
5131
5
131
k k
k k
-++
==-
++
综上，t的值为定值，且5
t=-
解法二：如图：连结CA并延长交直线m于点B，连结,
CM CN,
由AC m
⊥，又CM l
⊥，
所以四点,,,
M C N B都在以CN为直径的圆上，
由相交弦定理得||
t AM AN AM AN AC AB
=⋅=-⋅=-⋅
u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r
，
因为()
10
A-，，(0,3)
C，
所以直线AC方程为3(1)
y x
=+，
由
3(1)
360
y x
x y
=+
⎧
⎨
++
⎩＝
，解得：
3
2
3
2
x
y
⎧
-
⎪⎪
⎨
⎪-
⎪⎩
＝
＝
，即
33
,
22
()
B--,
所以22
(1)310
AC=-+=
u u u r
22
3310
(1)(0)
222
AB=-+++=
u u u r
，
所以
10
105
2
t AC AB
=-⋅==
u u u r u u u r
.
（五）圆锥曲线与圆综合中的设而不求
例5. 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12，且圆22230x y x y +--=的圆心在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线y mx n =+与椭圆C 只有一个公共点M ，且与直线4x =交于点N ，问x 轴上是否存在点P ，使得以MN 为直径的圆恒过点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）见解析 【解析】（1）由12
e =（其中e 为椭圆C
12=，即2234a b
=， 圆22230x y x y +--=的圆心为3
(1,)2，由3(1,)2在椭圆C 上，得
22
1914a b +=， 联立22
223419
1
4a b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆C 的标准方程为22
143x y +=． （2）联立2214
3y mx n x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得222(34)84120m x mnx n +++-=，
因为直线y mx n =+与椭圆C 只有一个公共点M ，所以2222644(34)(412)0m n m n ∆=-+-=，即2234n m =+，
设点M 的坐标为(,)M M x y ，则2
443,34M M M mn m x y mx n m n n =-
=-=+=+，即43
(,)m M n n
-， 假设x 轴上存在点P (,0)t ，使得以MN 为直径的圆恒过点P ，
因为(4,4)N m n +，所以43
(,)m PM t n n
=--u u u u r ，(4,4)PN t m n =-+u u u r ， 则43()(4)(4)m PM PN t t m n n n ⋅=---++u u u u r u u u r =2443(1)0m
t t t n
-++-=恒成立， 所以2
1430
t t t =⎧⎨
-+=⎩，所以1
2y x t =+， 即在x 轴上存在点P (1,0)，使得以MN 为直径的圆恒过点P ．
练习1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，该椭圆经过点(0,2)B
. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设M 是圆2
2
12x y +=上任意一点，由M 引椭圆C 的两条切线MA ，MB ，当两条切线的斜率都存
在时，证明：两条切线斜率的积为定值.
【答案】(1)
22
1
84
x y
+=.(2)见解析
.
【解析】1）由题意得222
2
2
2
c
a
a b c
b
⎧
=
⎪
⎪⎪
=+
⎨
⎪=
⎪
⎪⎩
，解得28
a=，24
b=.
∴椭圆C的标准方程为
22
1
84
x y
+=.
（2）设00
(,)
M x y，且22
00
12
x y
+=.
由题意知，过点M引椭圆C的切线方程可设为()
00
y y k x x
-=-，
联立
()
00
22
1
84
y y k x x
x y
⎧-=-
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
化简得()()()2
22
0000
124280
k x k y kx x y kx
++-+--=.
∵直线与椭圆相切，
∴()()()
22
2
0000
4412280
k y kx k y kx
⎡⎤
∆=--+--=
⎡⎤
⎣⎦⎣⎦，
化简得()
222
0000
8240
x k x y k y
--+-=.
∴
22
00
1222
00
44
8128
y y
k k
x y
--
⋅==
---
2
2
4
1
4
y
y
-
==-
-
.
∴两条切线斜率的积为定值.
练习2. ．如图，C，D是离心率为
1
2
的椭圆的左、右顶点，1F，2F是该椭圆的左、右焦点，A，B是直线4
x=-上两个动点，连接AD和BD，它们分别与椭圆交于点E，F两点，且线段EF恰好过椭圆的左焦点1F.当EF CD
⊥时，点E恰为线段AD的中点.
（1）求椭圆的方程；
（Ⅱ）判断以AB 为直径的圆与直线EF 位置关系，并加以证明.
【答案】（Ⅰ）22
143
x y +=（Ⅱ）以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切
【解析】Ⅰ）Q 当EF CD ⊥时，点E 恰为线段AD 的中点，
4a c c ∴+=-，又1
2
c e a =
=，联立解得：1c =，2a =
，b = ∴椭圆的方程为22
143
x y +=.
（Ⅱ）由题意可知直线EF 不可能平行于x 轴，
设EF 的方程为：1x my =-，()11,E x y 、()22,F x y ，
22
14
31x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
联立得： 22
(34)690m y my +--=， ()22
(6)36340m m ∴∆=-++>，122122634934m y y m y y m ⎧
+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩
（*）
又设()4,A A y -，由A 、E 、D 三点共线得11
116623
A y y y x my --=
=--， 同理可得2
263
B y y my -=
-.
()()121212
2121212236663339A B my y y y y y y y my my m y y m y y ⎛⎫-+--+=+=- ⎪ ⎪---++⎝⎭
2222
2962334346696393434m m m m m m m m m m -⎛⎫
- ⎪++=-= ⎪- ⎪-+++⎝⎭
()1212
212121266183339A B y y y y y y my my m y y m y y ⎛⎫----=-= ⎪ ⎪---++⎝⎭
∴
2
2
218393434m m m m ==-+ ⎪++ ⎪⎝⎭
设AB 中点为M ，则M 坐标为4,
2
A B
y y +⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
即(4,3)m -， ∴点M 到直线EF
的距离11
22
A B d y y AB =
==
-=. 故以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切.
（六）定点与设而不求
例6. 已知抛物线22(0)y px p =>上一点3,2M m ⎛⎫
⎪⎝⎭
到它的准线的距离为52．
（1）求p 的值；
（2）在直线l 上任意一点(),2P a -作曲线C 的切线，切点分别为,M N ，求证：直线MN 过定点． 【答案】（1）2；（2）证明见解析.
【解析】（1）抛物线2
20y px p =（＞）的准线为2
p
x =-
, 由已知得32M m ，⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离为
52∴35
222
p +=∴2p = （2）证明：由已知可设112222l x m y l x m y =+=+：，：
由,2142y x x m y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
化简得2
1480y m y --= 设1122A
x y C x y （，），（，） ，则1214y y m += ∴12M y m =，又2
122M x m =+，即()211222M m m +，
同理可得：()
222222N m m +， ∴()()()211222
12
2122102222MN m m k m m m m m m -=
=+≠++-+∴()211121222MN y m x m m m -=--+： 即()1212122y x m m m m =
-++∵12l l ， 的斜率之积为-2∴1211
2m m ⋅=-即1212
m m =-
∴()12
1
3MN y x m m ：=
-+即直线MN 过定点30（，）
当120m m +=时，不妨设1200m m ＞，＜
则12m m =
=直线MN 也过点()30， 综上，即直线MN 过定点()30，
． 练习1.已知2
2
120C x y Dx Ey +++-=⊙：关于直线240x y +-=对称，且圆心在y 轴上.
（1）求C e 的标准方程；
（2）已知动点M 在直线10y =上，过点M 引C e 的两条切线MA 、MB ，切点分别为,A B . ①记四边形MACB 的面积为S ，求S 的最小值； ②证明直线AB 恒过定点.
【答案】（1）()2
2216x y +-=（2）①min =163S ②证明见解析 【解析】（1）由题意知， 圆心,2
2D E C ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭在直线240x y +-=上，即402D E ---=， 又因为圆心C 在y 轴上，所以02
D
-
=，由以上两式得：0D =，4E =-， 所以22
4120x y y +--=.故C e 的标准方程为()2
2216x y +-=.
（2）①如图，C e 的圆心为()0,2，半径4r =，
因为MA 、MB 是C e 的两条切线，所以CA MA ⊥，CB MB ⊥， 故2
2216MA MB MC r MC ==
-=
-2
24416ACM S S MA MC ∆===，
根据平面几何知识，要使S 最小，只要MC 最小即可.易知，当点M 坐标为()0,10时，
min 8MC =.此时min 46416163S =-=②设点M 的坐标为(),10a ，
因为90MAC MBC ∠=∠=︒，所以M 、A 、C 、B 四点共圆.
其圆心为线段MC 的中点,62a C ⎛⎫' ⎪⎝⎭
，264MC a =+MACB 所在的圆为C '⊙， 所以C '⊙的方程为：()2
2261624a a x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝
⎭，化简得：22
12200x y ax y +--+=，
因为AB 是C e 和C '⊙的公共弦，
所以2222
4120
12200
x y y x y ax y ⎧+--=⎨+--+=⎩，两式相减得8320ax y +-=， 故AB 方程为：8320ax y +-=，
当0x =时，4y =， 所以直线AB 恒过定点()0,4.。