2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 2

2.2 基本不等式(精练)
【题组三 基本不等式求最值】
1．(2021·浙江高一期末)已知正数a ，b 满足8ab =，则2+a b 的最小值为( ) A ．8
B ．10
C ．9
D ．6
2．(2021·上海浦东新区·华师大二附中高一月考)若0x >，则___________.
3．(2021·广东珠海市·高一期末)已知x 、y R +
∈，且24x y +=，则xy 的最大值是_________.
4．(2021·广东惠州市·高一期末)若正实数x ，y 满足21x y +=，则2xy 的最大值为______． 5．(2021·广东湛江市·高一期末)已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________． 6．(2021·吉林长春市)已知,x y 为正实数，且4xy =，则4x y +的最小值是_____．
7．(2021·全国高一课时练习)若0,0,10x y xy >>=，则25
x y
+的最小值为_____．
8．(2021·浙江湖州市·湖州中学高一月考)已知,x y 为正实数，则
162y x x x y
++的最小值为__________． 9．(2021·上海高一期末)若a ､b 都是正数，且1a b +=，则(1)(1)a b ++的最大值是_________. 10．(2021·云南丽江市·高一期末)若1x >-，则3
1
x x +
+的最小值是___________. 11．(2021·江苏盐城市·盐城中学高一期末)若0,0,x y x y xy >>+=，则2x y +的最小值为___________.
12．(2021·浙江高一期末)设m ，n 为正数，且2m n +=，则13
12n m n ++++的最小值为_____． 13．(2021·上海交大附中高一开学考试)函数9424y x x
=--，1
2x >的最小值为__________．
14．(2021·吴县中学高一月考)已知11
0,0,
121
a b a b b >>+=++，则+a b 的最小值为________.
15．(2021·安徽滁州市·高一期末)已知0,0,4a b a b >>+=，则
411
a b ++的最小值为__________. 16．(2021·合肥一六八中学高一期末)若0mn >，
14
3m n
+=，则m n +的最小值为 17．(2021·江苏南通市·高一期末)已知正数a ，b 满足21a b +=，则
12
a b
+的最小值为 18．(2021·重庆市清华中学校高一期末)已知0x >，0y >，26x y +=，则21
x y
+的最小值为__________．
19．(2021·全国高一课时练习)若1x >-，则2244
1
x x x +++的最小值为
20．(2021·浙江高一期末)已知正数,a b 满足2a b +=，则
411
a b a b +++的最大值是 21．(2020·泰州市第二中学高一月考)已知1a >，则2311
1-+-a a a 的最小值为___________.
22．(2021·全国高一课时练习)函数()()24
11
x x f x x x -+=>-的最小值为______．
【题组二 利用基本不等式求参数】
1．(2021·浙江高一期末)已知x 、y 为两个正实数，且11
m x y x y
≤++恒成立，则实数m 的取值范围是________．
2．(2021·四川雅安市·雅安中学高一期中)已知0x >，0y >，且21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是_______． 3．(2021·天津)若不等式
11014m x x +-≥-对10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成立，则实数m 的最大值为________. 4．(2021·上海市)已知正数x ，y 满足49x y xy +=且224x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是______. 5．(2020·天津一中高一期中)若两个正实数x ，y 满足4x y xy +=，且不等式234
y
x m m +-恒成立，则实数m 的取值范围是__.
6．(2020·全国高一单元测试)若对任意0x >，
2
31
x
a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是_____． 7．(2020·湖南高一月考)已知对任意(),0,x y ∈+∞，且23x y +=，11221
t x y ≤+++恒成立，则t 的取值范围
8．(2021·安徽宿州市)若对任意满足8a b +=的正数a ，b 都有14111x a b x
++≥+-成立，则实数x 的取值范围是
【题组三 利用基本不等式比较大小】
1．(2021·全国高二单元测试)若a >0，b >0与 2a b +的大小关系是_____.
2．(2021·全国高一课时练习)已知a ，b 是不相等的正数，x =，y =x ，y 的大小关系是__________.
3(2020·上海高一专题练习)若01x <<，01y <<，且x y ≠，则在22,2,x y xy x y ++个是_______.
4．(2020·福建省泰宁第一中学高一月考)若0a b <<，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例. (1)11a b b a +
<+； (2)2
211
a a a a
+
≥+； (3)22
a b a b b a
+>+.
5．(2021·全国高一课时练习)已知,a b ∈R ，求证：(1)2
()4a b ab +；(2)()222
2()a b a b ++．
【题组四 基本不等式的综合运用】
1．(2021·滨海县八滩中学高一期末)(多选)设正实数m 、n 满足2m n +=，则下列说法正确的是( ) A ．
2
n m n
+的最小值为3 B ．mn 的最大值为1
C
的最小值为2 D ．22m n +的最小值为2
2．(2021·重庆市杨家坪中学高一月考)(多选)下列说法正确的是( ) A ．若2x >，则函数1
1
y x x =+-的最小值为3 B ．若31
0,05x y x y
>>+
=，，则34x y +的最小值为5 C ．若0x >，则
21
x x +的最大值为1
2
D ．若0,0,3x y x y xy >>++=，则xy 的最小值为1
3．(2021·东莞市光明中学高一开学考试)(多选)下列结论正确的是( ) A ．当0x >
2≥ B ．当2x >时，1
x x
+
的最小值是2 C ．当54x <时，1
4245
x x -+-的最小值是5
D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则
14x y +的最小值是9
2
4．(2021·福建龙岩市·高一期末)(多选)已知0a >，0b >，且
11
1a b
+=，则( ) A ．
11
4a b ≥+ B ．14411
a b +≥-- C ．
29
8
b a b +<+ D ．
114
b a ab ⎛⎫- ⎪⎝⎭
>
5．(2021·江苏宿迁市·高二期末)(多选)已知0a b >>，且1a b +=，则以下结论正确的有( ) A ．14
ab <
B ．
11
4a b
+> C ．22
12
a b +≥
D
1<
6．(2021·全国高三专题练习)(多选)设0,0a b >>，则下面不等式中恒成立的是( ) A ．221a b a b ++>+
B
C
．2
1
1a b
≤+D ．
114a b a b
+≤+ 7．(2021·江苏南通市·高一开学考试)(多选)若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式成立的是( )
A 2≤
B ．228a b +≥
C ．
111a b
+≥ D ．1104
ab <
≤ 8．(2021·江苏高一)(多选)下列不等式正确的是( )
A ．若0x <，则1
2x
x
+≤-
B ．若x ∈R 22≥
C ．若x ∈R ，则
21
11
x <+ D ．若0x >，则()1114⎛⎫
++
≥ ⎪⎝
⎭
x x 9．(2021·福建省福州格致中学高一期末)(多选)已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是( ) A ．4ab ≤
B ．
111a b
+≥ C ．2216a b +≥ D ．228a b +≥
10．(2020·江苏南京市·南京一中高一月考)(多选)已知0,0a b >>，则下列不等式一定成立的是( )
A ．
11
4a b
+≥ B ．11()()4a b a b
++≥
C 22
a b
≥+ D ．
2≥+ab
a b
11．(2021·广州市)(多选)若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式中恒成立的是( )
A ．1ab ≤
B ≤
C ．222a b +≥
D ．
11
2a b +≥ 12．(2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考)(多选)下列不等式中恒成立的是( ) A ．2
2
2(1)a b
a b +--
B ．
111a b ab + C 4(5)
x >-
D ．
2ab ab a b
+
13．(2021·浙江高一期末)(多选)已知0a >，0b >.若41a b +=，则( ) A ．
11
4a b
+的最小值为9 B ．
11
a b
+的最小值为9 C ．()()411a b ++的最大值为
9
4
D ．()()11a b ++的最大值为
94
【题组五 实际生活中的基本不等式】
1．(2021·全国单元测试)若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2．
2．(2021·浙江高一期末)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则x 的值是_________，y 的最小值是________．
3．(2021·全国高一课时练习)工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.则工厂和仓库之间的距离为___________千米时，运费与仓储费之和最小.
4(2021·浙江高一期末)某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头10km 处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元.那么两项费用之和的最小值是___________万元.
5．(2021·全国高一单元测试)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站___________km 处
6．(2021·江苏南通市·高一开学考试)某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙(足够长)边画出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建花圃，规定ABCD 的每条边长不超过20米.如图所示，要求矩形区域
EFGH 用来种花，且点A ，B ，E ，F 四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域.设AB x =米，种花区
域 EFGH 的面积为 S 平方米.
(1)将S 表示为
x 的函数； (2)求 S 的最大值.
7．(2020·江苏省江浦高级中学高一月考)某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本y 万元与年产量x 吨之间的关系可近似地表示为2
130400010
y x x =-+.求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨的最低成本.。