第07讲 离散型随机变量及其分布列和数字特征 (精练)(含答案解析)

第07讲离散型随机变量及其分布列和数字特征
(精练）
第07讲
离散型随机变量及其分布列和数字特征
(精练）
A 夯实基础
B 能力提升
C 综合素养
A 夯实基础一、单选题
（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）
1．下表是离散型随机变量X 的概率分布，则常数a 的值是（）
X 345
6P
2
a 16
a +12
16
A ．
16
B ．
112
C ．
19
D ．1
2
（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（理））2．已知随机变量X 的分布列为()24
k
P X k ==，2,4,5,6,7k =，则()15P X <≤等于（）
A ．
11
24
B ．
712
C ．
23
D ．
1324
（2022·江苏淮安·高二期末）
3．已知随机变量X 满足()224E X -=，()224D X -=，下列说法正确的是（）
A ．()()1,1E X D X =-=-
B ．()()1,1E X D X ==
C ．()()1,4
E X D X =-=D ．()()1,1
E X D X =-=（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）
4．某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为()01p p <<，实验次数为随机变量X ，若X 的数学期望() 1.39E X >，则p 的取值范围是（
）
A ．()0,0.6
B ．()0,0.7
C ．()
0.6,1D ．()
0.7,1（2022·安徽滁州·高二期末）5．已知随机变量X 的分布列为：X
12
P
a
b
则随机变量X 的方差()D X 的最大值为（
）A ．
14
B ．1
2
C ．1
D ．2
（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））
6．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c （[,,0,1)a b c ∈），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为（）
A ．
1
3
B ．
112
C ．1
2
D ．
16
（2022·山东东营·高二期末）
7．设01m <<，随机变量的分布列为：
ξ
0m
1
P
3
a 13
213
a -则当m 在()0,1上增大时（
）A ．()D ξ单调递增，最大值为1
2B ．()D ξ先增后减，最大值为13
C ．()
D ξ单调递减，最小值为29
D ．()D ξ先减后增，最小值为16
（2022·全国·高二课时练习）
8．设0a >，若随机变量ζ的分布列如下表：
ζ
－102P
a
2a
3a
则下列方差中最大的是（
）A ．()
D ζB ．()
D ζC ．()
21D ζ-D ．()
21D ζ-二、多选题
（2022·全国·高二课时练习）
9．设离散型随机变量X 的概率分布列为
X
1-0123P
1101511015
25
则下列各式正确的是（）A ．()1.50
P X ==B ．()11
P X >-=C ．()2245
P X <<=
D ．()3010
P X <=
（2022·全国·高二课时练习）
10．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X 为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（）
A ．X 的可能取值为0，1，2，3
B ．()103
P X ==C ．()35
E X =D ．()3275
D X =
三、填空题
（2022·安徽·歙县教研室高二期末）
11．随机变量ξ的分布列如下表，则()5()D X E X +=___________.
X
012p
0.4
0.2
a
（2022·广东佛山·二模）
12．冬季两项起源于挪威，与冬季狩猎活动有关，是一种滑雪加射击的比赛，北京冬奥会上，冬季两项比赛场地设在张家口赛区的国家冬季两项中心，其中男女混合46⨯公里
接力赛项目非常具有观赏性，最终挪威队惊险逆转夺冠，中国队获得第15名.该项目每队由4人组成（2男2女），每人随身携带枪支和16发子弹（其中6发是备用弹），如
果备用弹用完后仍有未打中的残存目标，就按残存目标个数加罚滑行圈数（每圈150米），以接力队的最后一名队员到达终点的时间为该队接力的总成绩.根据赛前成绩统计分析
某参赛队在一次比赛中，射击结束后，残存目标个数X的分布列如下：
X0123456>6
P0.150.10.250.20.150.10.050
则在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为___________米.
四、解答题
（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）
13．某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在A
处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在A处投一球，以后都在B处投，已知甲同学在A处投
篮的命中率为1
4，在B处投篮的命中率为
4
5，求他初赛结束后所得总分X的分布列．
（2022·福建省福州第二中学高二期末）
14．甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得1 分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及期望.
B能力提升
（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）
15．某大型名胜度假区集旅游景点、酒店餐饮、休闲娱乐于一体，极大带动了当地的经济发展，为了完善度假区的服务工作，进一步提升景区品质，现从某天的游客中随机抽取了500人，按他们的消费金额（元）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值；
(2)估计该度假区2000名㵀客中，消费金额低于1000元的人数；
(3)为了刺激消费，回馈游客，该度假区制定了两种抽奖赠送代金券（单位：元）的方案（如下表），
方案A
代金券金额50100
概率1
3
2
3
方案B
代金券金额0100
概率1
2
1
2
抽奖规则如下：①消费金额低于1000元的游客按方案A抽奖一次；②消费金额不低于1000元的游客按方案B抽奖两次.记X为所有游客中的任意一人抽奖时获赠的代金券金额，用样本的频率代替概率，求X的分布列和数学期望()
E X.
（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））
16．2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概
率为0.003P =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．
(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）C 综合素养
（2022·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）
17．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为3
4
；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为
45和5
8，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p 和32
p -，其中3
04
p <<
.(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为29
72
，求p 的值，在此基础上，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
参考答案：
1．C
【分析】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a .【详解】由111
12626
a a ++++=，解得19
a =
.故选：C.2．A
【分析】根据分布列的概率求解方式即可得出答案.【详解】解：由题意得：
()()()()24511
152452424
P X P X P X P X ++<≤==+=+==
=．故选:A 3．D
【分析】根据方差和期望的性质即可求解.【详解】根据方差和期望的性质可得：
()()()222241E X E X E X -=-+=⇒=-,()()()22441D X D X D X -==⇒=,
故选：D 4．B
【分析】先得到X 的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X 的数学期望，得到不等式后求解即可.
【详解】由题意得，X 的所有可能取值为1,2,3，
()()()()()()2
21,3111,1P p X p P P X p p p X p p ====---==-=-，所以()()(
)
2
21213133E X p p p p p p =⨯+⨯-+⨯-=-+，
令()2
33 1.39E X p p =-+>，
解得0.7p <或 2.3p >，又因为01p <<，所以00.7p <<，即p 的取值范围是()0,0.7.故选：B 5．A
【分析】由随机变量X 的分布列，求出()D X 的值，并根据二次函数的性质求出最大值．【详解】解：由题意可得1a b +=，()21E X a b b =+=+，
则()()()222
11]21]D X b a b b b b ⎡⎡=-+⨯+-+⨯=-+⎣⎣，
当12b =
，()D X 有最大值为1
4
．故选：A ．6．B
【分析】根据期望公式可得31a b +=，利用基本不等式求乘积的最大值即可.
【详解】解：由题意，比赛一局得分的数学期望为3101a b c ⨯+⨯+⨯=，故31a b +=，
又[,,0,1)a b c ∈，故3a b +≥，解得1
12
ab ≤，当且仅当3a b =，即11,62a b ==时等号成
立.故选：B.7．D
【分析】根据方差公式，结合二次函数性质可得.【详解】由题知121
1333
a a -++=，解得1a =，所以11()0333
m m E ξ+=++=所以()222111111(
)()(1)333333
m m m D m ξ+++=⨯+-⨯+-⨯222213
(1)[()]9924
m m m =-+=-+由二次函数性质可知，()D ξ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，
所以当1
2
m =时，()D ξ有最小值16.
故选：D 8．C
【分析】利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可.【详解】由题意，得231a a a ++=，则1
6
a =
，所以1115()1026326E ζ=-⨯+⨯+⨯=，()1117
1026326
E ζ=⨯+⨯+⨯=，
所以222
15151553
()10266362636D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
()2
2
2
17171729
10266362636
D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()5353214()4369D D ζζ-==⨯=，()()29
2149
D D ζζ-==，即()21D ζ-最大，故选：C.9．AC
【分析】由分布列中的概率逐一判断即可.
【详解】由概率分布列可得()1.50P X ==，故A 正确；()19
111010
P X >-=-
=，故B 错误；()()2
2435
P X P X <<===
，故C 正确；()()110P X P X <0==-1=，故D 错误．
故选：AC 10．BD
【分析】由题知X 的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，进而求分布列，计算期望方差即可判断.
【详解】解：根据题意，X 的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，
所以，()0246210C C 10C 3P X ===，()11
46
210C C 2481C 4515
P X ===
=，()2046210C C 622C 4515P X ====所以，X 的概率分布列为：
X
12
P
138
15
215
所以，()8412415155E X +===，()222
41484232
0125351551575D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，所以，BD 选项正确，AC 选项错误.故选：BD ．
11．20
【分析】由概率和为1求出a ，先求出()E X 和()D X ，进而求出()51D X +.【详解】由0.40.21,0.4a a ++==得，所以()10.220.41E X =⨯+⨯=，
()210.240.4 1.8E X =⨯+⨯=，
()22()()(())0.8,5125()250.820
D X
E X E X D X D X =-=+==⨯=故答案为：2012．390
【分析】先求出()E X ，再用2.6150⨯，即可求出答案.
【详解】()0.10.50.60.60.50.3 2.6E X =+++++=，则2.6150390⨯=故答案为：390.13．分布列见解析.
【分析】判断随机变量的可能取值，根据题意求出分布列即可.
【详解】设甲同学在A 处投中的事件为A ，投不中的事件为A ，在B 处投中为事件B ，投不中为事件B ，由已知得()14P A =
，()4
5P B =，则()
34P A =，()
15
P B =，X 的可能取值为：0，2，3，
4.
所以()31130455100P X ==⨯⨯=，()3413146
245545525
P X ==⨯⨯+⨯⨯=，
()1
34P X ==
，()34412445525
P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：
X
23
4
P
31006
25
14
1225
14．(1)分布列见解析(2)分布列见解析，()0.2
E Y =【分析】（1）依题意可得X 的可能取值为1-，0，1，利用相互独立事件的概率公式求出所
对应的概率，即可得到分布列；
（2）依题意可得Y 的可能取值为2-，1-，0，1，2，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列及数学期望；
【详解】（1）解：依题意可得X 的可能取值为1-，0，1，所以(1)(10.6)0.50.2P X =-=-⨯=，
(0)0.60.5(10.6)(10.5)0.5P X ==⨯+-⨯-=，(1)0.6(10.5)0.3P X ==⨯-=，
所以X 的分布列为
X
1
-01
P
0.2
0.50.3
（2）解：依题意可得Y 的可能取值为2-，1-，0，1，2，所以2(2)(1)(1)0.20.04P Y P X P X =-==-⨯=-==，
(1)(1)(0)220.20.50.2P Y P X P X =-==-⨯=⨯=⨯⨯=，
2(0)(1)(1)2(0)(0)20.30.20.50.37P Y P X P X P X P X ===-⨯=⨯+=⨯==⨯⨯+=，
(1)(0)(1)20.30.520.3P Y P X P X ===⨯=⨯=⨯⨯=，
2(2)(1)(1)0.30.09P Y P X P X ===⨯===，
所以Y 的分布列为
Y
2-1-012P
0.040.2
0.37
0.3
0.09
所以()20.0410.200.3710.320.090.2E Y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=．15．(1)0.00075a =(2)1200人
(3)分布列答案见解析，()90
E X =【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得a 的值；
（2）利用频率分布直方图计算出消费金额低于1000元的频率，再乘以2000可得结果；
（3）分析可知随机变量X 的可能取值为0、50、100、200，计算出X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进一步可求得()E X 的值.
【详解】（1）解：由题意可得()2000.0002520.00050.00120.001251a ⨯⨯++⨯++=，解得0.00075a =.
（2）解：由频率分布直方图可知，消费金额低于1000元的频率为()2000.000250.00050.0010.001250.3⨯+++=，
于是估计该度假区2000名游客中消费金额低于1000元的人数为20000.61200⨯=人.
（3）解：由（2）可知，对于该度假区的任意一位游客，消费金额低于1000元的概率为35
，
不低于1000元的概率为
2
5
，获赠的代金券金额X 的可能取值为0、50、100、200，则()2
211
05210
P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()31150535P X ==⨯=，
()2
1232213
100C =53525P X ⎛⎫==⨯+⋅ ⎪⎝⎭
，()2
2112005210P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：
X
50100200
P
110153
5
110
所以，()1131
05010020090105510
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=.16．(1)方案一：分布列见解析，数学期望为1.300；方案二：分布列见解析，数学期望为1.192；(2)选择方案一，理由见解析
【分析】（1）方案一中每组的化验次数为1、11，则概率为100.997、1010.997-；方案二中每组的化验次数为1、9，则概率为80.997、810.997-.根据定义列分布列，求期望即可.（2）先求对应方案的组数，用“总化验次数=组数⨯期望”评估即可（1）
设方案一中每组的化验次数为ξ，则ξ的取值为1，11，
∴10(1)0.9970.970P ξ===，10(11)10.9970.030P ξ==-=，∴ξ的分布列为：
ξ
111P
0.970
0.030
()10.970110.030 1.300E ξ=⨯+⨯=．
设方案二中每组的化验次数为η，则η的取值为1，9，
8(1)0.9970.976P η===，8(9)10.9970.024P η==-=，
∴η的分布列为：
η
19P
0.976
0.024
∴()10.97690.024 1.192E η=⨯+⨯=．（2）
根据方案一，该社区化验分组数为200，
方案一的化验总次数的期望值为：200()200 1.3260E X =⨯=次．根据方案二，该社区化验分组数为250，
方案二的化验总次数的期望为250()250 1.192298E η=⨯=次．∵260298<，∴方案一工作量更少．故选择方案一．17．(1)甲；(2)23
p =
，ξ的分布列见解析，()233144E ξ=.
【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较概率的大小即可；（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为
29
72
，列方程求解；先确定进入决赛的人数ξ的取值，依次求出每个ξ值所对应的概率，列出分布列，进而利用数学期望公式求解.
（1）
甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：13394416
P =
⨯=，乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：2451582
P =
⨯=，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：2
33322P p p p p ⎛⎫=⨯-=-+ ⎪⎝⎭
，
304301
2p p ⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
，1324p ∴<<，
2
3139941616P p P ⎛
⎫∴=--+<= ⎪⎝⎭
，
12P P >，∴甲进入决赛的可能性最大；
（2）
由（1）知，1916P =
，212P =，2
332
P p p =-+，若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛，则甲和乙、甲和丙、乙和丙进入决赛，()()()12312312329
11172
P P P P P P P P P P ∴=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=
，22291391391329
11116221622162272
p p p p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴
⨯⨯--++⨯-⨯-++-⨯⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得21827100p p -+=，解得23p =
或56p =，又13
24p << ，∴23
p =；
则丙在初赛的两轮中均获胜的概率为2
32325
3239
P ⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭，
设进入决赛的人数为ξ，则ξ可能的取值为0，1，2，3，
()91570111162972P ξ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫∴==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
()91591591511
111111116291629162932
P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
()29272
P ξ==
，()91553162932
P ξ==
⨯⨯=，∴ξ的分布列如下：
ξ
123
P
772
1132
2972532
()711295233012372327232144
E ξ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯=.。