二阶线性偏微分方程的分类与小结

第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结
一 两个自变量的二阶线性方程
1 方程变换与特征方程
两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成
f
cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①
它关于未知函数
u
及其一、二阶偏导数都是线性的，其中
f
u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量
y x ,的已知函数，假设它们的
一阶偏 导数在某平面区域
D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。

设
),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。

取自
变量变换
),(y x ξξ=,),(y x ηη=
其中它们具有二连续偏导数，而且在
0M 处的雅可比行列式。

=
∂∂),(),(y x ηξy
x y
x ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在
0M 领域内存在逆变换,
),(ηξx x =,),(ηξy y =
因为
x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=
xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222
xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(
将代入①使其变为
F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112
经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以
221211,,A A A 不全为0。

并可验证
222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-
这表明，在可逆变换下2
22
11212
A A A -与
22112
12a a a -保持相同的正负号。

定理 在
M 的领域内，不为常数的函数
),(y x ϕ是偏微分方程
022*******=++y y x x a a a ϕϕϕϕ之解的充分必要条件是：C y x ≡),(ϕ是常微
分方程的
0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a
通解。

2 方程的类型及其标准形式
根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。

为此将特征方程分解成两个方程：
11
22
11
2
12
12
a
a
a a a dx dy -+=，11
22
11
2
12
12
a
a
a a a dz dy --=
(1) 若在
M 的邻域内
22
11
212
>-a a a 时，方程可以化为
=-ββααu u _
_
_
2_
1F u C u B u B +++βα，该式称为双曲线方程的标准形
式，其中
_
__2_1,,,F C B B 是自变量βα、的已知函数。

(2)
若
M 的邻域内
22
11
212
=-a a a 时，可将方程简化成
F Cu u B u B u A =+++ηξηη2122，该式称为抛物型方程的标准形式，其
中
F C B B A ,,,,2122是自变量ηξ、的已知函数。

(3)
若
M 的邻域内
22
11
212
<-a a a 时，可将方程简化成
F Cu u B u B u u A =++++ηξηηξξ2111)(，该式称为椭圆型方程的标
准形式，其中
F C B B A ,,,,2111是自变量ηξ、的已知函数。

总之，根据
22
11
212
a
a a -的正负号能将
yy xy xx u a u a u a 2212112++
f
cu u b u b y x =+++21简化成三种标准形式。

定义 若在区域D 中),(000y x M 点处满足022112
12
>-a a a (或是=0，或是<0)，则称方程
yy xy xx u a u a u a 2212112++f
cu u b u b y x =+++21在该点
0M 处
是双曲线的(或是抛物型的，或是椭圆型的)。

二
n 个自变量的二阶线性方程
1 方程的分类
n 个自变量的二阶线性偏微分方程一般可以表示成
f
cu u b u u a n
i x i
n j i x x ij
i
j
i
=++∑∑==1
1
, ①
其中ij a ，i b ，c ，f 都是自变量n x x ,...,1的已知函数，假设它们在n 维空间中某一区域
Ω内连续，而且不全为0。

在区域
Ω内某点),...,(0010n x x M 处，由二阶导数项的系数可构成相应的二次型
),...,(1n q λλ=∑=n
j i x x ij j
i
a 1
,λλ=λλ)(ij T a ②
其中
T
n
)
,...,(1
λλλ=，而
)(ij a 是n 阶对称矩阵。

定义2 如果在点
0M 的二次型②为非退化且是不定的，即它恰有n 个非零特征值，而且
特征值的符号不全相同，则称方程①在点
0M 是双曲线型。

如果其中1-n 个非零特征值
同号，只有一个非零特征值与它们异号，则称方程在点0M 是狭义双曲线型的。

如果其中
不只一个非零特征值是异号的，则称方程在点0M 是超双曲线型的。

定义3 如果在点0M 的二次型②为非退化的，即它至少有一个零特征值，则称方程①在
点0M 是抛物型。

如果只有一个零特征值，而另外1-n 个非零特征值同号，则称方程在点
0M 是狭义抛物型的。

如果是其它有零特征值的情形，则称方程在点0M 是广义抛物型
的。

定义4 如果在点0M 的二次型②为正定或负定的，即它恰有n 个同号的非零特征值，则
称方程在
0M 点是椭圆型的。

2 方程的简化
当方程①中二阶偏导数项的系数
ij a 全是常数时，相应的二次型②是常系数实二次型。

根据线性代数的理论，运用配方法或者正交变换法，总可找到一个可逆线性变换
μλ)(ij
p =，即
∑==n
i k
ik
p 1
μ
λ n i , (1)
其中
)(ij p 是可逆矩阵，将二次型),...,(1n q λλ化成标准形),...,(1n Q μμ，即
),...,(1n q λλ=λλ)(ij T a =μμ))(()(ij ij T ij T p a p =
=
2
2
1
1
...n
n
u εμε++=),...,(1
n
Q μμ
其中))(()(ij ij T
ij p a p =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n εε . 1，而且i
ε=1或-1或0。

可取转置矩阵T ij p )(构造自变量可逆线性变换x p T
ij )(=ξ，即
∑==n
k k
ki
i
x
p 1
ξ，n i , (1)
就能将在区域
Ω内方程①简化为
∑∑==+n
i i
n i i
i
i
i B 1
1
ξεξμμε+F Cu =。

三 小结
前面各章的各种定解问题具有的一个共同的特点――偏微分方程与定解条件关于未知函数及其导数都是线性的，称这些业解问题都是线性问题。

线性问题普遍成立有叠加原理。

叠加原理是前面各章介绍的各种方法的基础。

另一方面，二阶偏微分方程可以分成双曲线型、抛物型和椭圆型，由于它们描述了物理与工程技术中不同的自然现象，所以，它们不仅在二阶偏导数项系数的代数方面有差异，而且在定解条件与性态方程有本质区别。

常系数齐次波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程分别是三类方程的典型代表。

为了使定解问题能反映实际现象的客观规律，而且符合数学上适定性的要求，对于不同类型的偏 微分方程，需要给予足够、恰当的定解条件。

另外，定解条件是否保证定解问题是适定的，还与解的含义有关。