人教A版高中数学必修一第一章2集合间的基本关系

第2讲 集合间的基本关系
一、教学目标
1．能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；
3．注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”，“不包含”；
4．注意区别“∈”与“⊆”的不同涵义。

二、知识点梳理
知识点一：韦恩图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。

例1、求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．
A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，
B ＝｛x ｜x 是菱形｝，
C ＝｛x ｜x 是矩形｝，
D ＝｛x ｜x 是正方形｝．
知识点二：集合间的基本关系
子集的概念：
对于两个集合A 与B,如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。

记作A),B B(A ⊇⊆或也可用维恩（Venn ）图（如下图）表示，这时我们就说集合A 是集合B 的子集。

推敲引申：（1）A 是B 的子集的含义是：集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，数
学表达式为：B x ∈⇒∈A x B A
（2）若集合A 中有元素不是集合B 中的元素，我们就称“A 不包含于B”（或B 不
包含A ），记作B ⊄A
（3）空集是任何集合的子集，即对于任意给定的集合A ，始终有A ⊆φ
（4）任何一个集合A 都是它本身的子集，因为对于任何一个集合A ，它的每一元
素肯定属于集合A 本身，记作A ⊆A
例2、用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：
(1)
{},,,a b c d {},a b ； (2) ∅ {}1,2,3； (3) N Q ； (4) 0 R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x << {}|0
6x x <． 例3、写出集合｛a ，b ｝的所有子集，
例4、说出下列每对集合之间的关系．
（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝．
（2）N ，N*．（3）A=}{1,1-，B=}{)1,1(),1,1(),1,1(),1,1(----
（4）A=}{6,3,2，B=}{的约数是12x x
（5）A=}{是等边三角形x x ，B=}{是等腰三角形x x
例5、设集合}{12A x x =<<，}{
B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ）
.2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤ 变式训练
若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为
如果B A ⊆且B A ≠,就说集合A 是集合B 的真子集，记作B A ≠⊂(或A B ≠
⊃) B A ≠
⊂亦可以用维恩图表示，如右图所示。

推敲引申：（1）若B A ≠
⊂，则对任意一个B a A a ∈⇒∈,且存在B,b ∈使A b ∉ （2）若A 为非空集合，则A ≠
⊂φ （3）B A ≠⊂，C A C ≠
≠⊂⇒⊂B 结论：一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n -1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

例6、选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：
(1){1,3,5} {1,2,3,4,5}； (2){2} {x| |x|=2}； (3){1} ∅．
例7、设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集
变式训练 已知集}{2230A x x x =--=，}{
10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．
B A
1、定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅
2、性质：1、空集是任何集合的子集。

2、空集是任何非空集合的真子集
例8、求方程x 2+1=0的实数根
变式训练
下列四个集合中，表示空集的是（ ）
A ．｛０｝
B ．},,|),{(22R y R x x y y x ∈∈-=
C ．},,5|||{N x Z x x x ∉∈=
D ．},0232|{2N x x x x ∈=-+
知识点五、集合相等：
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

当已知两个集合相等时，这两个集合的元素师完全相同的：（1）个数相等；（2）对于其中一个集合的任一个元素，在另一个集合中也可以找到这个元素。

例如：集合{}3,2,1A =，{}3,2,1B =，则 B A =。

推敲引申：两个集合是否相等，不能从集合的形式上看，而应先判断出这两个集合的所有元素，再根据集合相等的的定义进行判断。

证明集合相等的方法：
1、证明集合A ，B 中的元素完全相同；（具体数据）
2、分别证明A ⊆B 和B ⊆A 即可。

（抽象情况）
对于集合A ，B ，若A ⊆B 而且B ⊆A ，则A=B 。

例9、判断集合{}2A x x ==与集合{}
240B x x =-=的关系．
例10、判断集合A 与B 是否相等？
(1) A={0}，B= ∅；
(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ；
(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．
变式训练
已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．
例11、集合}{}{Z k k y y Y Z n n x x X ∈±==∈+==,14,,12，试证明X=Y
三、课堂练习
1、给出下列关系；
（1）}{1,00≠⊂；（2）)1,0(∈∅；（3）}{0≠
⊂∅；（4）}{}{00⊆ 其中正确的是（ ）
A （1）（3）
B （3）（4）
C （2）（3）
D （1）（4）
2、下列集合
（1）}{0；（2）}{∅；（3）}{m x m x <<3；（4）}{a x a x <<+2；（5）}{R x x x ∈=+,012 其中是空集的是（ ）
A.①②
B.②⑤
C.④⑤
D.③④⑤
3、集合A {}N x x x ∈<≤=且30的真子集的个数是（ ）
A.15
B.8
C.7
D.4
4、集合{}{}
N x y x y Q P ∈=+==,1,1,022则集合P,Q 间的关系是（ ）
A.P=Q
B.Q P ≠⊂
C. P Q ⊂≠
D.不确定 5、已知集合{}
R x mx x x A ∈=++=,042为空集，则实数m 的取值范围是（ ） A.{}44<<-m m B.{}44≤≤-m m C.{}22<<-m m D.{}22≤≤-m m
6、设集合{}y x M ,,1=，{}xy x x N ,,2=，且M=N ，则20172016y x +=__________
7、已知集合{}N y x y x y x A ∈=+=,,2),(，试写出A 的所有子集及真子集
8、已知集合{}52≤≤-=x x M
（1）若{}121-≤≤+=m x m x N ，M N ⊆，求实数m 的取值范围
（2）若{}126-≤≤-=m x m x N ，N M ⊆，求实数m 的取值范围
（3）若{}126-≤≤-=m x m x N ，M=N ，求实数m 的取值范围
四、课后作业
1、已知集合Ａ＝｛c b a ,,｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ｝，则集合Ｂ的真子集个数最多是（ ） Ａ．５个 Ｂ．６个 Ｃ．７个 Ｄ．８个
2、设集合Ｍ⊆｛1,2,3,4,5｝，且a ∈Ｍ时，６－a ∈Ｍ，则集合Ｍ=_______________．
3、写出满足条件｛0，1｝⊆Ｍ⊂≠｛0，１，２，３｝的集合Ｍ____________________
4、集合{3，x ，x 2－2x}中，x 应满足的条件是______．
5、集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+=∈Z y x y Z x ,16中的元素有 . 6、用符号∈ 或∉填空：
①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ．
② 2
1______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 7、若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______．
8、已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞２｝，Ｂ＝｛ｘ｜４ｘ＋ｐ＜０｝，当Ｂ⊆Ａ时，求实数ｐ的取值范围．
9、设集合A=｛04|2=+x x x ｝，Ｂ＝｛R a a x a x x ∈=-+++,01)1(2|22｝，若Ｂ⊆Ａ， 求实数a 的取值范围
10、实数集A 满足条件：1∉A ，若a ∈A ，则
A a
∈-11． (1)若2∈A ，求A ；
(2)集合A 能否为单元素集？若能，求出A ；若不能，说明理由；
(3)求证：A a ∈-
11
11、已知集合A ＝{x ｜ax 2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R
① 若A 是空集，求a 的范围；
② 若A 中只有一个元素，求a 的值；
③ 若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．
12、若集合},012ax |{x A 2R x x ∈=++=，至多有一个真子集，求a 的取值范围。

13、已知集合X 满足{
}{}X X 求所有满足条件的集合,5,4,3,2,12,1⊆⊆.
14、已知集合{},01=-=ax x A 集合{},0322=--=x x x B 若A B ，求a 的值.。