平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示+课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

归纳小结
问题7 通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学 思想、经验等方面谈谈． 答案： （1）内容：正交分解，平面向量的坐标表示． ➢ 类比重力在斜坡的分解，理解向量的正交分解． ➢ 对给定的向量，写出其坐标表示． ➢ 向量的坐标表示与点的坐标的区别与联系． （2）思想方法：以数的运算处理形的思想方法．
（1）用a，b表示 CD，EF ；
（2）如果∠A=60º，AB＝2AC，CD，
EF有什么关系？用向量方法证明你的 结论．
答案：（1）CD
＝
1 4
a
b，EF
＝
1 2
a
．
知识应用
练习1
如图，在△ABC中，AD＝
1 4
AB，点E，F分别是AC，
BC的中点．设 AB＝a，AC ＝b．
（1）用a，b表示 CD，EF ；
e2
a
e2
a
e1
e1
e2
a
e1
e2
a
e1
课堂探究
问题2 阅读教科书6.3.2节第一、第二段，回答问题： （1）什么是正交分解？ （2）举一个正交分解的例子．
正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量．
重力G可以分解为两个分力： 平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1 垂直于斜面的压力F2
课堂探究
问题3 在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数 （即它的坐标）表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个 向量呢？
则
e1
2 1
2 1
e2
．
即λ1=μ1，λ2=μ2．
由此可得e1，e2共线，
与已知e1，e2不共线矛盾．
课堂探究
平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a=λ1e1+λ2e2．
如果e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底（base）．
如图，在△ABC中，AD＝
1 4
AB，点E，F分别是AC，
BC的中点．设 AB＝a，AC ＝b．
（1）用a，b表示 CD，EF ；
（2）如果∠A=60º，AB＝2AC，CD，
EF有什么关系？用向量方法证明你的 结论．
知识应用
练习1
如图，在△ABC中，AD＝
1 4
AB，点E，F分别是AC，
BC的中点．设 AB＝a，AC ＝b．
知识应用
例2 如图，CD是△ABC的中线，且CD＝ 1 AB，用向量方法
证明△ABC是直角三角形．
2
C
分析：由平面向量基本定理可知，
任一向量都可由同一个基底表示．
A
B
D
可选 {CD, DA} 为基底，表示 CA ，CB．
证明 CACB 0，从而证得△ABC是直角三角形．
知识应用
例2 如图，CD是△ABC的中线，且CD＝ 1 AB，用向量方法
平面向量基本定理及坐标表示
环节一 平面向量基本定理
引入新课
问题1 已知向量e1，e2（如图），求作向量3e1；－2.5e2；e1+e2．
e1 3e1
e1 + e2
e1 e2
－2.5e2 e2
e1
e2
课堂探究
问题2 已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分 解为两个力．类似地，我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为 两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？
i =（1，0） j =（0，1） 0 =（0，0）
课堂探究
问题4 向量的坐标与点的坐标有何区别与联系？ 以原点O为起点作 OA ＝a，OA ＝xi+yj． 向量 OA 的坐标（x，y）就是终点A的坐标； 终点A的坐标（x，y）也就是向量 OA 的坐标． 若向量a的起点不是原点， 则终点A的坐标（x，y）就不是向量a的坐标．
追问2 实数对“（2，3）”表示什么意思？ 点A（2，3） 区间（2，3） 向量a＝（2，3）
知识应用
例3 如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，你能求出它们 的坐标吗？
解：a＝ AA1 ＋ AA2 ＝2i＋3j， 所以a＝（2，3）． 同理，b＝－2i＋3j＝（－2，3），
c＝－2i－3j＝（－2，－3）， d＝2i－3j＝（2，－3）．
MC
e1
a
A e1 a
向量a可以分解 为两个向量的和
e2
O N e2 B
移到同一起点；作平行四边形
课堂探究
一般地，对给定不共线的向量e1，e2，任意一个向量a都 可以表示成λ1e1+λ2e2的形式．
追问1 当a是与e1或e2共线的非零向量时，a也可以表示成 λ1e1+λ2e2的形式吗？ 答案：可以， 此时λ2=0或λ1=0 追问2 当a是零向量时，a可以表示成λ1e1+λ2e2的形式吗？ 为什么？ 答案：可以， 此时λ1=λ2=0
（2）如果∠A=60º，AB＝2AC，CD，
EF有什么关系？用向量方法证明你的 结论．
答案：（2）EF
CD
1 2
a
1 4
a
b
1 2
1 4
a2
a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
，
所以CD⊥EF．
归纳小结
问题 通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学 思想、经验等方面谈谈．
答案：1．任何一个平面向量都可以唯一地表示成两个不平行向量的 线性组合，即a=λ1e1+λ2e2．
课堂探究
问题3 平面内任何一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式，
这种表示形式是唯一的吗？
表示形式是唯一的
理由：
假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，
若a=μ1e1+μ2e2，则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2． 不妨假设λ1－μ1≠0，
得（λ1－μ1）e1+（λ2－μ2）e2=0． 则λ1－μ1，λ2－μ2全为0，
知识应用
例1 如图，OA， OB 不共线，且 AP＝t AB（t∈R），用 OA， OB 表示 OP．
解：因为 AP t AB ， 所以 OP OA AP OA t AB
OA t(OB OA)
OA tOB tOA
(1 t)OA tOB ．
A，B，P三点共线， 则系数和等于1．
证明△ABC是直角三角形．
2
C
证明：如图，设 CD ＝a，DA＝b，
则CA ＝a＋b，CB＝a－b．
A
B
CACB (a b) (a b) a2 b2 ．
D
因为CD＝ 1 AB，所以CD＝DA．因为a2＝CD2，b2＝DA2，
2
所以 CACB 0．因此CA⊥CB．结论成立．
知识应用
练习1
取{i，j}作为基底，则有且只有一对实数 x，y，使得
a＝xi+yj
课堂探究
➢ 向量的坐标表示 平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对
（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a＝（x，y）． ①
其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做 向量a的坐标表示． 追问1 你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？
2．了解基底{e1，e2}的含义与特点； 3．根据实际问题选择基底，将平面向量用所给基底表示． 4．利用平面向量基本定理，借助向量运算，解决有关几何问题．
平面向量基本定理及坐标表示
环节二 平面向量的正交分解及坐标表示
引入新课
问题1 （1）什么是平面向量基本定理？ （2）已知向量e1，e2，作出向量a在e1，e2方向上的分解．