高考数学复习第九章平面解析几何9.6双曲线理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

4/65
2.双曲线标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
图形
ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
5/65
范围 _x_≥__a_或__x_≤__－__a_，__y_∈__R__ _x_∈__R_，__y_≤__－__a_或__y_≥__a__
对称性 性
顶点 质
渐近线
1＋ba2＝2.
28/65
(2)(·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：
ax22＝－1by22(a>0，b>0)渐近
线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB垂心
3 为C2焦点，则C1离心率为____. 2
答案 解析
29/65
思维升华
双曲线几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)中，离心率e与双曲线渐近线斜率k＝ 满足±关ba 系式e2＝1＋ k2.
§9.6 双曲线
1/65
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
2/65
基础知识 自主学习
3/65
知识梳理
1.双曲线定义
平面内到两个定点F1，F2 距离差绝对值
迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做
做
双曲线. 焦距
等于常数(小于F1F2正数)点轨 双曲线焦，点两焦点间距离叫
集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当 2a<F1F2 时，P点轨迹是双曲线； (2)当 2a＝F1F2 时，P点轨迹是两条射线； (3)当 2a>F1F2 时，P点不存在.
19/65
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
解答
∵双曲线经过点M(0,12)，
∴M(0,12)为双曲线一个顶点，
故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，
∴c＝13，
∴b2＝c2－a2＝25. ∴双曲线标准方程为
1y424－2x52 ＝1.
20/65
(3)经过两点P(－3,2 7)和Q(－6 2 ，－7). 解答 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
那么双曲线离心率为____3_.
答案 解析
，
1 ±3x
依据题意，设双曲线方程为 ax22－＝by221， 则ba＝13，所以ac＝ 1＋ba2＝ 310，
即双曲线离心率为 3.10
13/65
4.(·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线 x72－＝y321焦距是_____2. 10
答案 解析
由已知，a2＝7，b2＝3， 则c2＝7＋3＝10， 故焦距为2c＝2 10 .
错解展示 现场纠错 纠错心得
(1)“点差法”处理直线与圆锥曲线交点问题，要考虑变形条件. (2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点通用方法.
40/65
课时作业
32/65
题型三 直线与双曲线综合问题 例5 (·苏州模拟)已知椭圆C1方程为 ＋y2＝x412 ，双曲线C2左，右焦点分别 是C1左，右顶点，而C2左，右顶点分别是C1左，右焦点.
(1)求双曲线C2方程；
解答
设双曲线C2方程为 ax22－＝by22 1(a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
ax22－by22
8/65
思索辨析
判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差绝对值等于8点轨迹是双曲
线.( ) ×
(2)方程 xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在x轴上双曲线.( ×) (3)双曲线方程 mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)渐近线方程是 ＝0mx.(±ny ) √
实虚轴 B1B2叫做双曲线虚轴，它长B1B2＝2b ；a叫做双
质
曲线 实半轴长
，b叫做双曲线虚_半__轴__长____
• a、b、c关系
c2＝ a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
7/65
知识拓展
巧设双曲线方程
(1)与双曲线 ax22－by22 ＝1(a>0，b>0)有共同渐近线方程可表示为 ＝t(t≠0). (2)过已知两个点双曲线方程可设为 xm2＋＝yn21(mn<0).
14/65
5.双曲线
x2 4
2 －y2＝1顶点到其渐近线距离等于_____.
5
5
答案 解析
双曲线一个顶点坐标为(2,0)，
一条渐近线方程是y＝ 12x，即x－2y＝0， 则顶点到渐近线距离 d＝|2－50|＝255.
15/65
题型分类 深度剖析
16/65
题型一 双曲线定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹方程 例1 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与 圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M轨迹方程为___x_2_－__y8_2_＝__1_(_x_≤__－__1.)
线标准方程形式，然后再依据a，b，c，e及渐近线之间关系，求出a，b
值，假如已知双曲线渐近线方程，求双曲线标准方程，可设有公共渐近
线双曲线方程为
＝λa(xλ22≠－by022)，再由条件求出λ值即可.
25/65
跟踪训练1 (1)已知F1，F2为双曲线 x52－y42 ＝1左，右焦点，P(3,1)为双 曲线内一点，点A在双曲线上，则AP＋AF2最小值为_______3_7_－_.2 5
→→ PF1·PF2
＝0”，则△F1PF2面
积是多少？
解答
不妨设点P在双曲线右支上，则PF1－PF2＝2a＝ 2 ，2 由于P→F1·P→F2＝0，所以P→F1⊥P→F2， 所以在△F1PF2 中，有 PF21＋PF22＝F1F22，
即 PF21＋PF22＝16，所以 PF1·PF2＝4，
所以 S△F1PF2 ＝12PF1·PF2＝2.
故 e＝ac＝
a2＋b2 a2 ＝
ba2＋1
432＋1＝53.
27/65
题型二 双曲线几何性质
例4 (1)(·盐城三模)若圆x2＋y2＝r2过双曲线
ax22＝－1by22右焦点F，且圆与双
曲线渐近线在第一、四象限交点分别为A，B，当四边形OAFB为菱形时，
双曲线离心率为____.
2
答案 解析
若四边形OAFB为菱形，且点A在圆x2＋y2＝r2上， 则点A坐标为(2c， 23c)，此时r＝c. 又点A在渐近线上，所以 23c＝ba·2c ，即ba＝ 3，所以 e＝
mx22－n＝y22 0，即
9/65
(4)等轴双曲线渐近线相互垂直，离心率等于 .(2 √) (5)若双曲线 ax22－by22 ＝1(a>0，b>0)与 bx22－ay22 ＝1(a>0，b>0)离心率分别是 e1，e2，则 e121＋＝e122 1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √)
10/65
考点自测
1.(教材改编)若双曲线 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)焦点到其渐近线距离等于 实轴长，则该双曲线离心率为____. 5
答案 解析
由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2. ∴e2＝ac22＝5，∴e＝ 5.
11/65
2.等轴双曲线C中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x准线交于 A，B两点，AB＝ ，4 则3C实轴长为____. 4
解答
不妨设点P在双曲线右支上，则PF1－PF2＝2a＝ 2 ，2 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝PF21＋2PPFF1·22P－F2F1F22＝12， 所以PF1·PF2＝8，所以 S△F1PF2 ＝12PF1·PF2·sin 60°＝2 3.
23/65
2.本例中，若将条件“PF1＝2PF2”改为“
离心率
对称轴：坐标轴 对称中心：_原__点__
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
__y_＝__±_ba_x_
__y_＝__±_ab_x_
e＝ac ，e∈_(1_，__＋__∞__)_，其中c＝__a_2_＋__b_2
6/65
性
• 线段A1A2叫做双曲线实轴，它长A1A2＝2a ；线段
∵由双曲线定义有PF1－PF2＝PF2＝2a＝ 2 ，2
∴PF1＝2PF2＝4 2 ， 则 cos∠F1PF2＝PF21＋2PPFF1·22P－F2F1F22＝4 22×24＋22×222－2 42＝34.
22/65
引申探究 1. 本 例 中 ， 若 将 条 件 “PF1 ＝ 2PF2” 改 为 “∠F1PF2 ＝ 60°” ， 则 △F1PF2面积是多少？
24/65
思维升华
(1)利用双曲线定义判定平面内动点与两定点轨迹是否为双曲线，进而依
据要求可求出双曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－ PF2|＝2a，利用平方方法，建立与PF1·PF2联络. (3)待定系数法求双曲线方程详细过程中先定形，再定量，即先确定双曲
∴97m2m－－284n9＝ n＝11，，
解得mn＝＝－－271155.， ∴双曲线标准方程为
2y52 －7x52 ＝1.
21/65
命题点3 利用定义处理焦点三角形问题 例3 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2左，右焦点，点P在C上，
3 PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2＝_4__.
答案 解析 几何画板展示
答案 解析 几何画板展示
17/65
命题点2 利用待定系数法求双曲线方程
例2 依据以下条件，求双曲线标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为
5； 4
解答
设双曲线标准方程为 ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1(a>0，b>0). 由题意知，2b＝12，e＝ ac＝54 . ∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴双曲线标准方程为 6x42 －3y62 ＝1 或6y42 －3x62 ＝1.
37/65
跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x42－y32＝1.设过点 M(0,1)直线l与双曲线C交于A，B两点．若 A→M＝2M→，B则直线l斜率
1 为_±_2_． 答案 解析
38/65
现场纠错系列10 直线与圆锥曲线交点 典例 已知双曲线x2－y2 ＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交 2 于A，B两点，且点P是线段AB中点？
答案 解析
由题设C： ax22－ay22 ＝1. ∵抛物线y2＝16x准线为x＝－4， 联立ax22－ay22＝1 和 x＝－4，得 A(－4， 16－a2)，B(－4，－ 16－a2)， ∴AB＝2 16－a2＝4 3，∴a＝2，∴2a＝4. ∴C实轴长为4.
12/65
3.(·无锡一模)已知焦点在x轴上双曲线渐近线方程为y＝ 10
31/65
跟踪训练2 (·全国甲卷改编)已知F1，F2是双曲线E：
ax22＝－1by左22 ，右焦
点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝ ，则E离13 心率为_____.
2
答案 解析
离心率e＝
F1F2 MF2－MF1
，
22
由正弦定理得 e＝MFF2－1FM2 F1＝sin∠MsFin1F∠2－F1sMinF∠2 MF2F1＝1－3 13＝ 2.
存在一点P使得PF1＋PF2＝3b，PF1·PF2＝94ab
5
，则该双曲线离心率为_3 __.
答案 解析
不妨设P为双曲线右支上一点，PF1＝r1，PF2＝r2.
依据双曲线定义，得r1－r2＝2a，
3b＋2a
3b－2a
又r1＋r2＝3b，故 r1＝ 2 ，r2＝ 2 .
又 r1·r2＝94ab，所以3b＋2 2a·3b－2 2a＝94ab，解得ba＝43(负值舍去)，
答案 解析 几何画板展示
由题意知，AP＋AF2＝AP＋AF1－2a，要求AP＋AF2最小值，只需求 AP＋AF1最小值， 当A，P，F1三点共线时，取得最小值，
则 AP＋AF1＝PF1＝ [3－－3]2＋1－02＝ 37，
∴AP＋AF2最小值为AP＋AF1－2a＝ 37－2 . 5
26/65
(2)设F1，F2分别为双曲线 ax22－by22 ＝1(a>0，b>0)左，右焦点，双曲线上
故C2方程为
－x2y2＝1. 3
33/65
(2)若直线l：y＝kx＋
2
与双曲线C2恒有两个不一样交点A和B，且
→→ OA·OB
>2(其中O为原点)，求k取值范围.
解答
34/65
思维升华
(1)研究直线与双曲线位置关系问题通法：将直线方程代入双曲线方程， 消元，得关于x或y一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲 线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不 等于0时，用判别式Δ来判定. (2)用“点差法”能够处理弦中点和弦斜率关系问题，但需要检验.