上海杨思高级中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析

上海杨思高级中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数处的切线方程是
A．B． C． D．
参考答案：
2. 已知三棱锥A﹣BCD内接于球O，AB=AD=AC=BD=，∠BCD=60°，则球O的表面积为( ) A．B．2πC．3πD．
参考答案：
D
【考点】球的体积和表面积．
【专题】球．
【分析】画出图形，求出底面三角形的外接圆的半径，求出A到底面BCD的距离，然后取得外接球的半径，即可求解表面积．
【解答】解：如图：底面△BCD中，BD=，∠BCD=60°，
∴GB=r==1，
∵AB=AD=AC=BD=，A﹣BCD是圆锥，
∴AG⊥平面BCD，并且经过球的球心O，
则AG===，
设球的半径为R，OB2=OG2+GB2，即，
解得R=，
∴球O的表面积为：4πR2==．
故选：D．
【点评】本题考查的表面积的求法，几何体的外接球与几何体的关系，考查空间想象能力以及计算能力．
3. 设，，是自然对数的底数( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
参考答案：
A
略
4. 如果函数的导函数图像如右图所示，
则函数的图像最有可能是图中的 ( )
参考答案：
A
5. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，C1D1的中点，N是线段BC1的中点，若点P，M分别为线段D1B，EF上的动点，则的最小值为（）
A．1 B．C．D．
参考答案：
D
6. 下列命题错误的个数( )
①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；
②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；
③命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b2≠0，则a，b都不是0”．
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
B
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．
【分析】①根据大角对大边，正弦定理可得结论；
②根据原命题和逆否命题为等价命题，可相互转化；
③在否定中，且的否定应为或．【解答】解：①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是
在三角形ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，故逆命题为真命题；
②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则非p：x=2且y=3，非q：x+y=5，
显然非p?非q，
∴q?p，则p是q的必要不充分条件，故正确；
③命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b2≠0，则a≠=或b≠0”故错误．
故选B．
【点评】考查了命题的等价关系和或命题的否定，正弦定理的应用．属于基础题型，应熟练掌握．7. 双曲线C的左右焦点分别为，且恰好为抛物线的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）
A、 B、
C、 D、
参考答案：
B
8. 从0，2中选一个数字.从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为（）
A. 24
B. 18
C. 6
D. 12
参考答案：
D
略
9. 若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为（）
A．﹣B．﹣C．D．
参考答案：
B
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
【分析】把直线l的参数方程化为普通方程，利用斜率与倾斜角的关系、同角三角函数基本关系式即可得出．
【解答】解：由题意得，设直线l倾斜角为θ，直线l的参数方程为（t为参数），
可化为，则，
∵θ∈（0，π），
∴，
故选：B．
10. 已知△的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 复数的共轭复数是。

参考答案：
略
12. 已知A（1，－2，11
）、B（4
，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则x y
=___________。

参考答案：
—2
略
13. 下列命题中，真命题的有________.（只填写真命题的序号）
①若则“”是“”成立的充分不必要条件；②若椭圆的两个焦点为，且弦过点，则的周长为
③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；
④若命题：，，则：．
参考答案：
①③④
14. 已知等差数列{a n}的前n项和为，_____；
参考答案：
70
【分析】
设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式，结合可列出两个关于的二元一次方程，解这个二元一次方程组，求出的值，再利用等差数列的前项和公式求出的值.
【详解】设等差数列的公差为，由可得：，
【点睛】本题考查了等差数列基本量的求法，熟记公式、正确解出方程组的解，是解题的关键.本题根据等差数列的性质，可直接求解：
，.
15. 若f（cosx）=cos2x，则f（﹣）的值为．
参考答案：
【考点】二倍角的余弦．
【分析】利用二倍角的余弦公式，求得f（x）的解析式，可得f（﹣）的值．
【解答】解：∵f（cosx）=cos2x=2cos2x﹣1，∴f（x）=2x2﹣1（﹣1≤x≤1），则f（﹣）=2?﹣1=﹣，
故答案为：﹣．
16. 某城市有学校500所，其中大学10所，中学200所，小学290所.现在取50所学校作为一个样本进行一项调查，用分层抽样进行抽样,应该选取大学__________所，中学__________所，小学
__________所.
参考答案：
1 、20 、29
17. 已知函数f（x）=e x－2x+a有零点，则a的取值范围是_________.
参考答案：
（－，2ln2－2]
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知抛物线C：y2=4x与直线y=2x﹣4交于A，B两点．
（1）求弦AB的长度；
（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；两点间的距离公式．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用弦长公式即可求得弦AB的长度；
（2）设点，利用点到直线的距离公式可表示出点P到AB的距离d，
S△PAB=??d=12，解出即可；
【解答】解：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得x2﹣5x+4=0，△＞0．
由韦达定理有x1+x2=5，x1x2=4，
∴|AB|==，
所以弦AB的长度为3．
（2）设点，设点P到AB的距离为d，则，
∴S△PAB=??=12，即．
∴，解得y o=6或y o=﹣4
∴P点为（9，6）或（4，﹣4）．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查学生的计算能力，属中档题．
19. 已知函数 (a>0) ．
(1)若a=1，求在x∈(0，+∞)时的最大值；
(2)若直线是曲线的切线，求实数a的值。

参考答案：
(1)当a=1时≤，当x=1时取“=”；
(2)设切点(x0，y0)，则，
则，得∴……①
又由切线，则则：……②
由将①代入②得
若则：得解得a=2
若则：得解得a=即a=2或a=
20. 设曲线在点处的切线斜率为，且，对一切实数,不等式恒成立．
（1）求的值；
（2）求函数的表达式；
（3）求证:．
参考答案：
解：（1）由，所以（3）
要证原不等式，即证
因为
所以=
所以
本小问也可用数学归纳法求证。

证明如下：
由
当时，左边=1，右边=，左边>右边，所以，不等式成立
假设当时，不等式成立，即
当时，
左边=
由
所以
即当时，不等式也成立综上得
略
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，依次是的中点．
（1）求直线与平面所成的角(结果用反三角函数值表示)；
（2）求三棱锥的体积.
参考答案：
（1）解法一：分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别是，，，，，
∴，，
，（2分）
又∵平面，∴平面的法向量为，（4分）
设直线与平面所成的角为，则，（6分）
∴直线与平面所成的角为
. （7分）
解法二：∵平面，∴，又，∴平面，取中点，
中点，联结，则且，是平行四边形，∴即为直线与平面所成的角. （3分）
在中，，
在中，，（6分）
∴直线与平面所成的角为. （7分）（2）
解法一：由（1）解法一的建系得，，，
设平面的法向量为，点到平面的距离为，
由，得且，
取得，（9分）
∴，（11分）
又，∴，（13分）
∴. （14分）
解法二：易证即为三棱锥底面上的高，且，（11分）底面边上的高等于，且，∴（13分）
.
（14分）
解法三：依题意，平面，∴（11分）
. （14分）
22. 对于函数, 给出下列四个命题:
① 存在, 使;
② 存在, 使恒成立;
③ 存在, 使函数的图象关于坐标原点成中心对称;
④ 函数f(x)的图象关于直线对称;
⑤ 函数f(x)的图象向左平移就能得到的图象
其中正确命题的序号是. 参考答案：
③④
略。