高中空间向量练习题及讲解讲解

高中空间向量练习题及讲解讲解
### 高中空间向量练习题及讲解
#### 练习题一：空间向量的坐标运算
题目：
设空间向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)的坐标分别为\( (1, 2, 3) \)和\( (4, -1, 2) \)，求向量\( \vec{a} + \vec{b} \)的坐标。

解答：
向量加法遵循坐标的分量相加原则。

对于向量\( \vec{a} \)和
\( \vec{b} \)，其坐标分别为\( (a_1, a_2, a_3) \)和\( (b_1,
b_2, b_3) \)，向量和的坐标为\( (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 +
b_3) \)。

将给定的向量坐标代入公式，得到：
\[ \vec{a} + \vec{b} = (1 + 4, 2 - 1, 3 + 2) = (5, 1, 5) \]
#### 练习题二：空间向量的模长
题目：
已知空间向量\( \vec{c} \)的坐标为\( (2, 3, -1) \)，求向量
\( \vec{c} \)的模长。

解答：
空间向量的模长可以通过以下公式计算：
\[ |\vec{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2} \]
将向量\( \vec{c} \)的坐标代入公式，得到：
\[ |\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]
#### 练习题三：空间向量的夹角
题目：
设空间向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的坐标分别为\( (1, 2, 1) \)和\( (2, 1, 3) \)，求向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的夹角。

解答：
空间向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的夹角可以通过向量的点积
来求得，公式为：
\[ \cos \theta = \frac{\vec{d} \cdot \vec{e}}{|\vec{d}|
|\vec{e}|} \]
首先计算点积：
\[ \vec{d} \cdot \vec{e} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 1 \times 3 = 2 + 2 + 3 = 7 \]
然后计算模长：
\[ |\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6} \]
\[ |\vec{e}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{14} \]
代入公式计算夹角的余弦值：
\[ \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{6} \times \sqrt{14}} \]
最后，通过反余弦函数求得夹角\( \theta \)。

#### 练习题四：空间向量的投影
题目：
已知空间向量\( \vec{f} \)的坐标为\( (3, -1, 2) \)，向量
\( \vec{g} \)的坐标为\( (1, 0, 1) \)，求向量\( \vec{f} \)在向量\( \vec{g} \)上的投影。

解答：
向量\( \vec{f} \)在向量\( \vec{g} \)上的投影可以通过以下公式计算：
\[ \text{proj}_{\vec{g}} \vec{f} = \frac{\vec{f} \cdot。