【理论力学课件@北师大】8-2广义动量积分和广义能量积分

∂T2 α = 2T2 , q ∑ α α =1 ∂q
s
∂T1 α = T1 , q ∑ α α =1 ∂q
s
∂T0 α = 0 q ∑ α α =1 ∂q
s
所以
∑p
α =1
s
α
α = 2T2 + T1 q
得
H = T2 − T0 + V
∂ r 若坐标 变换 方程不显含时 间 , 即 i / ∂t = 0 ,
则 T0 = 0 , T = T2 , H = T2 + V = E , 广义能量 H 为系统的 机械 能 . 系统的 机械 能守恒是广义能量 守恒的一种特殊情况. 例题 3 质量为 m 的小环 P 被限制在一个半径 为 R 的 光滑大圆 环上 , 大圆 环 绕 过 大 环 中 心 的 铅 垂轴以 ω 的角速度均匀转动. 已知初始时小环在大 环的 最高 点 , 相 对 大 环 静止 , 然 后 无初 速 滑 下 . 试 通过存在的第一积分 建立小 环 相 对 大 环的 运 动 微分方程. 解 以 小 环 作 为研究对 象 , 它 的 自 由度为 1, 选择图中的 θ 角为广义坐标. 质点的动能用球坐标
因 ∂L / ∂x = 0 , 所以
px =
∂L − maϕ sin ϕ = C (常量） = mx ∂x
表示在水平方向杆的动量守恒. =0 , 则 =0, ϕ 根据初始条件, t = 0 时, x C = 0 . 由上式得 = aϕ sin ϕ x 又因 ∂L / ∂t = 0 , 且 T = T2 , 所以杆的机械能守恒.
T = T2 + T1 + T0
∂ r 可 看出 , i / ∂t 是 否为 零 , 直接影响到 T1 和 T0
是否存在, 进而影响到动能的构成. 如果坐标变换方程式不显含时间 t , 即
∂ri / ∂t = 0 , 则 T1 和 T0 均为零, 动能 T = T2 , 为广义
速度的齐次二次函数. 拉格朗日方程共有 s 个二阶微分方程：
展开上式并交换取和号,
n r r ∂ ∂ 1 s T = ∑ ∑ mi i ⋅ i 2 α =1 ∂qα ∂q β i =1
β =1
s
q q α β
2 1 n n ∂ri ∂ri ∂ri α + ∑ mi + ∑ ∑ mi ∂q ⋅ ∂t q 2 i =1 ∂t α =1 i =1 α
根 据 初 始 条 件 , t = 0 时 , θ 0 = 0 , θ = 0 ,
H 0 = mgR , 因此小环的运动微分方程为 Rθ 2 − Rω 2 sin 2 θ + 2 g (cos θ − 1) = 0
本 例 题 的广义能量是 相 对于与 大 环 固连 的 非
惯性系的总能量. 例题 4 长 2a , 质量为 m 的匀质直杆 AB , A 端 与 光滑水平 面接 触 , 在 重力 作 用 下 从 竖直 位置 被自由释放倒下. 求杆落地瞬间的角速度. 解 杆 的 自 由度为 2. 建立 如 图 坐标系 Oxy , 坐标 平 面 Oxy 与 杆端 点 A 和 质 心 C 共面 , A 端 在 x 轴上. 选择 A 端的坐标 x 和杆与水平轴的夹角 ϕ 为 广义坐标. 杆的动能
有 密切关 系 . 同 时 , 若广义坐标的 选取 不 同 , 则 与之相应的广义动量的物理意义也不同. 例 如 , 自 由 质点 在 重力场中运 动 , 若 选择 与 地面固连的 Oxyz , z 轴竖直向上, 并以 ( x, y, z ) 为广 义坐标, 则
L= 1 2 + y 2 + z 2 ) − mgz m( x 2
T= 1 1 c2 + y c2 ) + I cϕ 2 m( x 2 2
坐标变换方程为
xc = x + a cos ϕ y c = a sin ϕ
sin ϕ c = x − aϕ x cos ϕ c = aϕ y
2 将变换方程及 I c = ma / 3 代入, 动能写成
称为与可遗坐标 qα 对应的广义动量. 则可知: 若拉格朗日函数不显含广义坐标 qα ,
则存在与该广义坐标 qα 对应的广义动量守恒 , 即
pα = ∂L = 常量 . 称系统存在广义动量积分. α ∂q
由于势能 V
= V ( qα ) 不含广义速度,
所以
∂L ∂T = α ∂q α ∂q
广义动量可以通过动能计算.
n ∂r ∂T pα = = ∑ mi vi ⋅ i α i =1 α ∂q ∂q
r 因为 i = ri (qα , t )
∂ri 而 ∂q α
∂ri α , 所以 , ∂t 不含 q
∂ri ∂ri = r q + ∑ α i ∂t α =1 ∂qα
二广义能量和广义能量积分个质点组成的完整系坐标变换方程为将上式对时间求导得到各个质点的速度的函数所以上式将上式等式右边3项顺序写成它们分别为广义速度的二次齐次项广义速度的一次齐次项和广义速度的零次项
§8-2 广义动量积分和广义能量积分
拉格朗日方程一定条件下存在两种第一积分, 一个是广义动量积分, 一个是广义能量积分. 拉格朗日方程降为一阶方程, 简化求解 当第一积分有明确的物理意义时 , 有利于我 们对物理过程的认识和研究. 一、广义动量和广义动量积分 将拉格朗日方程写成
表示,
T= 1 2 + r 2 sin 2 θϕ 2) 2 + r 2θ m( r 2
约束方程 r=R
ϕ = ωt + ϕ 0
1 T = mR 2 (θ 2 + ω 2 sin 2 θ ) 2 以 大 环 中 心作 为 重力 势能 零点 , 小 环的势能
为 V = mgR cos θ 拉格朗日函数为
因 只 有 ϕ 是可遗坐标 , 所以 只 存在一个广义动量 积分
pϕ = ∂L = 常量 = mr 2 sin 2 θϕ ∂ϕ
此积分的意义是质点对 z 轴的角动量守恒.
二、广义能量和广义能量积分 由 n 个质点组成的完整系, 坐标变换方程为
ri = ri (q1 , q 2 ,..., q s , t ),
α = ∑ ∑ pα q
α =1 s
∂T α q ∂ q α =1 α
s
将 T = T2 + T1 + T0 代入, 得
s s ∂T0 ∂T2 ∂T1 α p q = q + q + q ∑ ∑ ∑ ∑ α α α α α α α α =1 α =1 ∂q α =1 ∂q α =1 ∂q s s
d ∂L ∂L − =0 α ∂qα dt ∂q
s
α = 1, 2,⋅ ⋅ ⋅, s
α 乘方程两边后, 将 s 个方程相加, 得 用q
s d ∂L ∂L α = 0 − q q ∑ ∑ α dt ∂q α α =1 α =1 ∂qα
将等式左边第一项写成
s d ∂L d ∂L s ∂L α = ∑ α α −∑ q q q ∑ dt ∂q α α α =1 ∂q α α =1 α =1 dt ∂q s
d ∂L ∂L = α ∂q dt ∂q
α = 1,2, … , s
如果拉格朗日函数 L 不显含某个广义坐标 qα , 即
∂L ∂qα = 0 , 则这个广义坐标 qα 称为可遗坐标或循
环坐标.
d ∂L =0 α dt Hale Waihona Puke q∂L = 常量 ∂qα
定义
pα = ∂L α ∂q
∂L 即 ∂q = 0 , α
交换 ∑
s
α =1
d 和 dt
, 得
s s d s ∂L ∂L ∂L α = 0 q − q − q ∑ ∑ ∑ α α α α dt α =1 ∂q α =1 ∂qα α =1 ∂q
因
s s dL ∂L ∂L ∂L α + ∑ α + =∑ q q α dt α =1 ∂qα ∂t α =1 ∂q
α =1 s
则
dH ∂L =− ∂t dt
α − L pα q 为力学系统的广义能量. 上 定义的 H = ∑ α =1
s
式表明: 若 L 不显含时间, ∂L / ∂t = 0 , 则 H = 常量 . 它 是拉格朗日方程的 另 一个第一积分 , 称为 广义能量积分. 广义能量 具 有能量的量 纲 , 但 不一定 就 是 相 对惯性系的机械能.
∂L = 0, ∂x
∂L =0 ∂y
由于
存在与 x, y 对应的两个广义动量积分:
px =
py =
∂L = 常量 = mx ∂x
∂L = 常量 = my ∂y
它们表示质点沿 x 轴和 y 轴的动量分量守恒. 如果选择球坐标 (r ,θ , ϕ ) 为广义坐标,
1 2 + r 2θ 2 + r 2 sin 2 θϕ 2 ) − mgr cos θ L = m( r 2
s
i = 1,2,..., n
将上式对时间求导, 得到各个质点的速度,
∂ ∂ r r i = α + i r q ∑ i ∂t α =1 ∂qα
i = 1,2,..., n
将这 n 个式子代入动能定义式中, 得
1 n T = ∑ mi vi ⋅ vi 2 i =1
s ∂ ∂ 1 n s ∂ri ∂ri r r i ∑ i q ⋅ + = ∑ mi q + ∑ α β ∂t 2 i =1 ∂t β =1 ∂qβ α =1 ∂qα
故
d s ∂L ∂L q − L = − ∑ α dt ∂ q ∂t α =1 α
α = pα 代入上式, 得 将 ∂L / ∂q
d s ∂L ∑ pα qα −L = − dt α =1 ∂t
令
α − L H = ∑ pα q
s
∂r ∂ r i = i α ∂qα ∂q
于是
∂ri pα = ∑ mi vi ⋅ ∂qα i =1
n
上式的量纲式为
[ pα ] = [动量][长度]
[广义坐标]
由此可知广义动量的量纲…… 系统有 多少 个可遗坐标 , 就会 有 多少 个广义 动量积分 . 可遗坐标的 多少 , 与广义坐标的 选取
由于 T2 和 T1 分别是广义速度的二次、 一次齐次函 数, 根据数学中的齐次函数欧拉定理:
如果函数 f ( x, y, z ) 是 x, y, z 的 n 次齐次函数, 根
n 据定义 f (λx, λy, λz ) = λ f ( x, y, z ) , 则对于这种函数,
∂f ∂f ∂f +y +z = nf 必有 ∂x .(对定义式的 λ 求微商,并令 λ = 1 ,即可证.) ∂y ∂z x
H = E = T + V = 常量
= 0 , ϕ = π / 2 , 杆 的 机械 = 0, ϕ 由于 t = 0 时 , x
能为 E = mga , 所以
1 2 2 − 2ax ϕ sin ϕ ) + ma 2ϕ 2 + mga sin ϕ = mga m( x 2 3
T=
1 1 2 + a 2ϕ 2 − 2 ax ϕ sin ϕ ) + ma 2ϕ 2 m( x 2 6
以原点 O 为重力势能零点, 杆的势能为 V = mga sin ϕ , 拉格朗日函数为
L = T −V = 1 2 2 − 2ax ϕ sin ϕ ) + ma 2ϕ 2 − mga sin ϕ m( x 2 3
因为 ∂ri / ∂qα 和 ∂ri / ∂t 仅 是 qα 和 t 的函数 , 所以上 式
α . 中的 3 个括号都不显含 q 将上式等式右边 3 项顺序写成 T2 , T1 , T0 , 它们分 别为广义速度的二次齐次项、 广义速度的一次齐 次项 和广义速度的 零次项 . 系统的动能 T 的 表示 式为
L = T −V = 1 mR 2 (θ 2 + ω 2 sin 2 θ ) − mgR cosθ 2
因 L 显含θ , 因此不存在广义动量积分. 但 ∂L / ∂t = 0 , 所以小环的广义能量守恒,
H = T2 − T0 + V = 常量
将 T2 和 T0 代入上式, 得
H= 1 1 mR 2θ 2 − mR 2ω 2 sin 2 θ + mgR cosθ = 常量 2 2