2018-2019学年浙江省杭州市滨江区九年级(上)期末数学试卷

2018-2019学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）已知线段a，b，c，d满足ab＝cd，则把它改写成比例式正确的是（）A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．c：a＝d：b D．b：c＝a：d 2．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣1与坐标轴交点个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．（3分）抛物线y＝3x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
4．（3分）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们除颜色外其余都相同，随机从袋中摸出1个球，恰好是红球的概率为（）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，点F，G分别在直线AB，CE上，AE∥FG∥BC，若AB＝3FB，EG＝6，则GC长为（）
A．3B．C．2D．
6．（3分）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．135°
7．（3分）在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC ＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠a，那么钢管AB的长为（）
A．B．m•sin a C．m•cos a D．
8．（3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（）
A．45°B．60°C．72°D．90°
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，四边形DFGE和四边FBCG的面积分别是S1和S2，则S1：S2为（）
A．3：5B．4：9C．3：4D．2：3
10．（3分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点（﹣2，0），且满足9a+3b+c＜0．以下结论：①a+b＜0；②4a+c＜0；③对任何的x，都有y≥+c；④a2﹣5ab＜bc．其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）计算：sin60•tan45°＝．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，DB＝AB，E为AC 上一点，∠ADE＝∠ACB，则AE的长为．
13．（4分）⊙O的弦AB长为4cm，弦AB所对的圆心角为120°，则弦AB的弦心距为cm．
14．（4分）如图，已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y2＝mx+n（m≠0）交于点A，B，点A，B的横坐标分别是﹣2，，则不等式ax2+bx+c＜mx+n的解为．
15．（4分）如图，⊙O的半径为6，MN为直径，AB，CD为弦，且AB∥MN∥CD，与的度数和为150°，则图中两块阴影部分面积和为．
16．（4分）如图，已知△ABC和△DCE是等边三角形，连结BE，连结DA并延长交CE于点F，交BE于点G，CD＝6，EF＝2，那么EG的长为．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17．（6分）如图所示，△ABC的各顶点都在8×8的网格中的格点（即各个小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长都为1，△ABC绕点A顺时针旋转90°得后到的△AB1C1．（1）在图中画出△AB1C1．
（2）求出在△ABC旋转过程中点B经过的路线总长度．
18．（8分）小辉和小聪两人在玩转盘游戏时，把一个可以自由转动的转盘A分成3等份的扇形区域，把转盘B分成2等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），游戏规则：同时转动两个转盘，当两转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为2的倍数，则小辉获胜；若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，则小聪获胜，如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．在这个游戏中，小辉、小聪两人获胜的概率分别是多少？该游戏规则对双方公平吗？
19．（8分）某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？
20．（10分）如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m 在点B，C处分别测得气球A的仰角∠ABD为30°，∠ACD为45°．求气球A离地面的高度AD（结果保留根号）．
21．（10分）已知：如图OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，连结OD并延长交⊙O于点E，连结AE．
（1）求证：AD＝DB．
（2）若AO＝10，DE＝4，求AE的长．
22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x﹣m）（x+m+1），其中m≠0．（1）若函数y1的图象经过点（2，6），求函数y1的函数表达式．
（2）若一次函数y2＝mx+n的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数m，n满足的关系式．
（3）已知点P（x0，a）和Q（﹣1，b）在函数y1的图象上，若a＞b，求x0的取值范围．23．（12分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）若AD是∠BAC的角平分线，AD交边BC于点D，经过D点作DE⊥AB于点E（如图（1）．请求出BE的长及tan的值．
（2）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B 与AC交于点G．若BC＝CF，如图2，请证明：△ABC∽△BGC．
（3）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B 与AC交于点G．若A′F＝A′G，如图3，请求出的值（可以直接利用第（1）题求得的结论）．
2018-2019学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）已知线段a，b，c，d满足ab＝cd，则把它改写成比例式正确的是（）A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．c：a＝d：b D．b：c＝a：d
【解答】解：A、∵a：d＝c：b，∴ab＝cd，故选项正确；
B、∵a：b＝c：d，∴ad＝bc，故选项错误；
C、∵c：a＝d：b，∴bc＝ad，故选项错误；
D、∵b：c＝a：d，∴ac＝bd，故选项错误．
故选：A．
2．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣1与坐标轴交点个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣1，
则与y轴的交点坐标为（0，﹣1）；
当y＝0时，x2﹣2x﹣1＝0，
△＝8＞0．
则与x轴有两个交点；
综上所述，抛物线y＝x2﹣2x﹣1与坐标轴一共有3个交点．
故选：D．
3．（3分）抛物线y＝3x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，2），
可得新抛物线的解析式为：y＝3（x+1）2+2，
故选：C．
4．（3分）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们除颜色外其余都相同，随机
从袋中摸出1个球，恰好是红球的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：从袋中摸出一个球是红球的概率＝＝；
故选：B．
5．（3分）如图，点F，G分别在直线AB，CE上，AE∥FG∥BC，若AB＝3FB，EG＝6，则GC长为（）
A．3B．C．2D．
【解答】解：∵AB＝3FB，AB＝AF+FB，
∴AF＝2FB．
∵AE∥FG∥BC，
∴＝＝2，
∴GC＝EG，
∵EG＝6，
∴GC＝3．
故选：A．
6．（3分）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．135°
【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：2，
而∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝×180°＝90°．
故选：C．
7．（3分）在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC ＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠a，那么钢管AB的长为（）
A．B．m•sin a C．m•cos a D．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∴sin∠ABC＝，
∴AB＝，
故选：D．
8．（3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（）
A．45°B．60°C．72°D．90°
【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角＜AOB的度数为＝72°，
∴劣弧AB的度数是72°，
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，四边形DFGE和四边FBCG的面积分别是S1和S2，则S1：S2为（）
A．3：5B．4：9C．3：4D．2：3
【解答】解：∵点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，
∴DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，设△ADE的面积为m．
∴＝（）2＝，
∴S△AFG＝4m，同法可得：S△ABC＝9m，
∴S1＝3m，S2＝5m，
∴S1：S2＝3：5，
故选：A．
10．（3分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点（﹣2，0），且满足9a+3b+c＜0．以下结论：①a+b＜0；②4a+c＜0；③对任何的x，都有y≥+c；④a2﹣5ab＜bc．其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【解答】解：点（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c得到b＝2a+c，c＝2b﹣4a，
①∵9a+3b+c＜0，
∴当x＝3时，y＜0，
∴对称轴x＝﹣＞，
∴＜0，
∵a＞0，
∴a+b＜0；
①正确；
②4a+c＝4a+2b﹣4a＝2b＜0，
②正确；
③当x＝时，y＝++c，
∵对称轴x＞，
③不正确；
④a2﹣5ab﹣bc＝a2﹣5ab﹣b（2b﹣4a）＝a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b），
∵a+b＜0，b＜0，
∴（a﹣2b）（a+b）＜0，
∴a2﹣5ab＜bc；
④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）计算：sin60•tan45°＝．
【解答】解：∵sin60°＝，tan45°＝1，
∴sin60°•tan45°＝×1＝．
故答案为．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，DB＝AB，E为AC 上一点，∠ADE＝∠ACB，则AE的长为．
【解答】解：∵AB＝12，DB＝AB，
∴AD＝AB＝8，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
故答案为：．
13．（4分）⊙O的弦AB长为4cm，弦AB所对的圆心角为120°，则弦AB的弦心距为2cm．
【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，
∴AC＝BC＝AB＝2cm，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
而∠AOB＝120°，
∴∠A＝30°，
∴OC＝AC＝×2＝2，
即AB的弦心距为2cm．
故答案为：2．
14．（4分）如图，已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y2＝mx+n（m≠0）交于点A，B，点A，B的横坐标分别是﹣2，，则不等式ax2+bx+c＜mx+n的解为﹣2＜x＜．
【解答】解：由图象可知ax2+bx+c＜mx+n的解即为直线在抛物线上方时，
∴﹣2＜x＜；
故答案为﹣2＜x＜；
15．（4分）如图，⊙O的半径为6，MN为直径，AB，CD为弦，且AB∥MN∥CD，与的度数和为150°，则图中两块阴影部分面积和为15π．
【解答】解：如图，连接OA，OB，OD，OC．设∠AOB＝α，∠DOC＝β．
∵AB∥MN∥CD，
∴S△ODC＝S△CDN，S△AOB＝S△ABN，
∴S阴＝S扇形OAB+S扇形ODC＝+＝（α+β）＝×150＝15π，故答案为15π．
16．（4分）如图，已知△ABC和△DCE是等边三角形，连结BE，连结DA并延长交CE于点F，交BE于点G，CD＝6，EF＝2，那么EG的长为．
【解答】解：连接CG，过点E作EM⊥CG，交CG延长线于点M，
∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC，EC＝CD＝6，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠BAE＝∠ACD，且BC＝AC，EC＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠CEB＝∠CDA，
∴点C，点D，点E，点G四点共圆，
∴∠CED＝∠CGD＝60°，∠EGD＝∠ECD＝60°，
∴∠EGM＝60°，∠EGD＝∠CGD，
∴GD平分∠EGC，∴，
∵EC＝6，EF＝2，
∴FC＝4，
∴，
∴设GE＝x，GC＝2x，
∵∠EGM＝60°，EM⊥CG，
∴MG＝，EM x，
在Rt△EMC中，CE2＝CM2+ME2，
∴36＝x2+x2，
∴x＝
∴GE＝
故答案为：
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17．（6分）如图所示，△ABC的各顶点都在8×8的网格中的格点（即各个小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长都为1，△ABC绕点A顺时针旋转90°得后到的△AB1C1．（1）在图中画出△AB1C1．
（2）求出在△ABC旋转过程中点B经过的路线总长度．
【解答】解：（1）△AB1C1即为所求．
（2）∵AB＝＝
∴点B经过的路线总长度＝＝π．
18．（8分）小辉和小聪两人在玩转盘游戏时，把一个可以自由转动的转盘A分成3等份的扇形区域，把转盘B分成2等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），游戏规则：同时转动两个转盘，当两转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为2的倍数，则小辉获胜；若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，则小聪获胜，如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．在这个游戏中，小辉、小聪两人获胜的概率分别是多少？该游戏规则对双方公平吗？
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中小辉获胜的概率＝＝，小聪两人获胜的概率＝＝，因为＞，
所以该游戏规则对双方不公平．
19．（8分）某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？
【解答】解：（1）根据题意得，y＝x（60﹣x）＝﹣x2+15x，
自变量的取值范围为：0＜x≤40；
（2）∵y＝﹣x2+15x＝﹣（x﹣30）2+225，
∴当x＝30时，三间饲养室占地总面积最大，最大为225（m2）．
20．（10分）如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m 在点B，C处分别测得气球A的仰角∠ABD为30°，∠ACD为45°．求气球A离地面的高度AD（结果保留根号）．
【解答】解：设AD＝x，
∵AD⊥CD，∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝x，
∵AD⊥BD，∠ABD＝30°，
∴BD＝AD＝x，
∵BC＝BD﹣CD＝20，
∴x﹣x＝20，
解得：x＝10+10；
答：气球A离地面的高度AD为（10+10）m．
21．（10分）已知：如图OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，连结OD并延长交⊙O于点E，连结AE．
（1）求证：AD＝DB．
（2）若AO＝10，DE＝4，求AE的长．
【解答】解：（1）在⊙C中，∵OA是直径，
∴∠ADO＝90°，即OD⊥AB，
在⊙O中，由OD⊥AB知AD＝BD；
（2）∵AO＝EO＝10，DE＝4，且∠ADO＝90°，
∴OD＝6，AD＝8，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝4．
22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x﹣m）（x+m+1），其中m≠0．（1）若函数y1的图象经过点（2，6），求函数y1的函数表达式．
（2）若一次函数y2＝mx+n的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数m，n满足的关系式．
（3）已知点P（x0，a）和Q（﹣1，b）在函数y1的图象上，若a＞b，求x0的取值范围．【解答】解：（1）由函数y1的图象经过点（2，6），得：
（2﹣m）（3+m）＝6，
解得：m＝0或m＝﹣1，
又m≠0，
∴m＝﹣1，
则函数y1的函数表达式为y＝（x+1）x＝x2+x；
（2）当y＝0时，（x﹣m）（x+m+1）＝0，
解得：x1＝m，x2＝﹣m﹣1，
∴y1的图象与x轴的交点为（m，0），（﹣m﹣1，0），
当y2＝mx+n的图象过点（m，0）时，m2+n＝0，即n＝﹣m2；
当y2＝mx+n的图象过点（﹣m﹣1，0）时，﹣m2﹣m+n＝0，即n＝m2+m；
综上，n＝﹣m2或n＝m2+m；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣，
∴点Q（﹣1，b）关于对称轴的对称点为（0，b），
当点P在对称轴左侧时，由a＞b知x0＜﹣1；
当点P在对称轴右侧时，由a＞b知x0＞0；
综上，若a＞b，则x0的取值范围是x0＜﹣1或x0＞0．
23．（12分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）若AD是∠BAC的角平分线，AD交边BC于点D，经过D点作DE⊥AB于点E（如图（1）．请求出BE的长及tan的值．
（2）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B 与AC交于点G．若BC＝CF，如图2，请证明：△ABC∽△BGC．
（3）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B 与AC交于点G．若A′F＝A′G，如图3，请求出的值（可以直接利用第（1）题求得的结论）．
【解答】解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵AD是角平分线，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（AAS），
∴CD＝DE，AE＝AC＝8，
∴BE＝AB﹣AE＝2，设CD＝DE＝x，则BD＝6﹣x，∵∠DEB＝90°，
∴（6﹣x）2＝22+x2，
∴x＝，
∴tan＝tan∠DAC＝＝＝．
（2）如图2中，
∵BC＝CF，∠C＝90°，
∴∠BFC＝∠CBF＝45°，
∴∠A+∠ABF＝∠BFC＝∠CBF＝∠FBG+∠GBC，
由对称的性质可知：∠ABF＝∠GBF，
∴∠GBC＝∠A，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BGC．
（3）如图3中，作A′H⊥AC于H．
∵A′F＝A′G，A′H⊥FG，
∴FH＝GH，∠HA′G＝∠F A′G＝∠A＝∠DAC，
∴tan∠HA′G＝tan∠DAC＝，
∵∠HA′G＝∠C＝90°，又∵∠HGA′＝∠CGB，
∴△HGA′∽△CGB，
∴∠CBG＝∠GA′H＝∠A，且＝，tan∠CBG＝tan∠A＝，∵BC＝6，∠C＝90°，
∴CG＝2，AG＝6，设FH＝GH＝x，
∵tan∠HA′G＝，
∴A′H＝3x，AF＝A′G＝x，
∴x+2x＝6，
∴x＝﹣2，
∴HG＝FH＝﹣2，BG＝2
∴A′G＝A′B﹣BG＝AB﹣BG＝10﹣2，
∴＝＝．。