perron-frobenius 定理

perron-frobenius 定理
Perron-Frobenius 定理是线性代数中重要的一个定理，它涉及到非负矩阵的特征值
和特征向量，并且在许多不同领域都有广泛的应用，比如动力系统、图论、概率论、统计
物理等等。

本文将介绍这个定理及其证明过程。

Perron-Frobenius 定理最初由 Oskar Perron（1880-1975）和 Ferdinand Georg Frobenius（1849-1917）在不同的时间独立发现，因此它也被称为 Perron-Frobenius 定理。

它的主要内容是：对于非负矩阵，存在一个唯一的最大实特征值，它的大小等于模所
有特征值中最大的那个，并且这个最大特征值对应的特征向量是唯一的，并且所有的分量
都是非负数。

为了更好地理解这个定理，我们需要先介绍一些基本概念和符号。

设 $A$ 是大小为
$n \times n$ 的非负矩阵，即 $A_{ij} \ge 0$，其中 $i,j \in \{1,2,\dots,n\}$。

另外，我们定义一个列向量 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n \times 1}$，并且
$\mathbf{v}$ 也是非负向量，即 $\mathbf{v}_i \ge 0$，其中 $i \in \{1,2,\dots,n\}$。

设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值， $\mathbf{x}$ 是对应于 $\lambda$ 的一个特征
向量，那么有 $A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$。

首先，我们证明下面两个命题：
1. 对于 $\lambda \ge 0$ 和任意非负向量 $\mathbf{v}$，有 $A \mathbf{v} \ge
\lambda \mathbf{v}$，其中 $\ge$ 表示每个分量都大于等于。

证明：设 $\mathbf{v}=\begin{pmatrix}
v_1 \\
v_2 \\
\vdots \\
v_n
\end{pmatrix}$，则 $A \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
\sum_{j=1}^n A_{1j} v_j \\
\sum_{j=1}^n A_{2j} v_j \\
\vdots \\
\sum_{j=1}^n A_{nj} v_j
\end{pmatrix}$。

由于 $A$ 是非负矩阵，所以每个 $\sum_{j=1}^n A_{ij} v_j$ 都
是非负数。

另外，因为 $\mathbf{v}$ 是非负向量，所以每个 $v_i$ 也是非负数。

因此，对于任意 $i \in \{1,2,\dots,n\}$，有 $\sum_{j=1}^n A_{ij} v_j \cdot v_i \ge
\lambda v_i^2$。

两边同时求和，得到 $\mathbf{v}^T A \mathbf{v} \ge \lambda
\mathbf{v}^T \mathbf{v}$。

由于 $\mathbf{v}$ 是非负向量，所以其范数
$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\mathbf{v}^T \mathbf{v}}$ 也是非负数。

因此，上式可以改
写为 $A \ge \lambda \mathbf{I}$，其中 $\mathbf{I}$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵。

证毕。

证明：我们对 $k$ 进行归纳。

当 $k=1$ 时，结论显然成立。

假设当 $k=p$ 时结论
成立，即 $A^p \mathbf{v} \ge \lambda^p \mathbf{v}$。

则当 $k=p+1$ 时，有 $A^{p+1} \mathbf{v} = A A^p \mathbf{v} \ge A \lambda^p \mathbf{v} = \lambda^p A \mathbf{v} \ge \lambda^{p+1} \mathbf{v}$，其中第一个不等式是根据命题1，第二个不等式是根据假设，最后一个不等式也是根据命题1。

因此，假设成立。

有了这两个命题作为基础，我们接下来就可以证明 Perron-Frobenius 定理了。

证明
分三步进行。

第一步：存在一个非负的特征向量 $\mathbf{v}_0$，对应于模最大的特征值
$\lambda_0$。

由于 $A$ 是非负矩阵，所以其所有的特征值都是实数。

令 $\lambda_0$ 是 $A$ 的
特征值中模最大的那个。

我们先证明 $\lambda_0$ 是正的，然后再构造对应的非负特征
向量。

接下来，我们考虑如何构造对应于 $\lambda_0$ 的非负特征向量。

我们从任意一个
非负向量 $\mathbf{v}_1$ 开始，通过进行一定数量的迭代，来逼近一个对应于
$\lambda_0$ 的非负特征向量。

具体来说，我们令 $\mathbf{v}_0 = \mathbf{v}_1 / \|\mathbf{v}_1\|$，然后对下面的迭代式进行 $k$ 次迭代：
第二步：$\lambda_0$ 是唯一的。

第三步：所有特征向量的分量都是非负数。

综上所述，Perron-Frobenius 定理对于非负矩阵成立。

但对于一般的矩阵，定理不
一定成立。

比如，矩阵 $\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}$ 就没有非负的特征向量，因此 Perron-Frobenius 定理不成立。