笛卡尔例题
小学数学 数学故事 笛卡尔和海盗船的故事 素材
笛卡尔和海盗船的故事新的数学思想当时还没有到达能够把他们作为数学或者哲学论文的形式记载下来的程度。
只是在1637年，笛卡尔致力于自己的大作<<更好地指导推理和寻求真理的方法论>>的著述，他在著作中还附加了一篇题为<<几何>>的附录，这时新的数学思想才得以实现。
但是<<几何>>所包含的根本思想，早在还是一名年轻的志愿兵的笛卡尔在布莱达时就产生了。
笛卡尔所参加的军队无所事事。
他对荷兰的地方已经相当熟悉了。
特别是笛卡尔开场能听懂荷兰话，而且还会说。
这位年轻的水兵借口到天主教的军队里服役，决定动身到德国去。
当时，欧洲已经爆发三十年战争。
他去德国，不得不绕道经过哥本哈根，革但斯克，波兰和匈牙利。
笛卡尔到了德国之后，就报名参加了马克西米利安。
巴伐利斯基公爵的军队。
军队实际上是为了保护德国皇帝费迪南二世的利益而集结起来的。
但是这种思想对他只是个比拟小的诱惑。
笛卡尔确实有一个全然不同的目的，就是扩大自己在科学界的交往，而做到这一点最好是多和皇宫的人接触。
关于笛卡尔参加战斗的情况的可靠报道保存下来的很少。
可能他赶上参加了布拉格附近的白山战役，这是三十年战争的主要战役之一。
我们现在只知道这次战役以后发生的事情。
他所厌烦的军队已经被他离弃，整个战争的变化已经成为过去，离开德国之后，他可以回家了。
这位士兵学者和他的仆人一起克制了战争所造成的许多困难，终于勉强地走到了弗利斯兰，乘坐一艘不大的商船驶往法国，船费是中等价钱。
小商船仅仅适合于沿岸航行。
全体船员除了船长和他的副手之外，还有几个水手，他们的职责就是照看两根不高的桅杆上的船帆，擦洗已经破裂的甲板，船尾的一个不大的客舱分配给旅客。
一天夜里，笛卡尔躺在狭窄的，不通风的客舱里的木板床上，翻来覆去睡不着，心里很烦，就走上了甲板，凭靠在围绕甲板的栏杆绳子上，津津有味地陶醉于北海之夜的魅力之中。
皎洁的月亮在黑黝黝的水中显出闪耀夺目的缕缕波纹，光波和着波浪的节拍有节奏地摇晃着，好似是用来呼唤招引着什么面目不清，神秘莫测，而又永恒无穷的东西。
第二章第三曲面的切平面和法线计算例题
第二章 曲面的表示与曲面论第三节 曲面的切平面和法线、 光滑曲面1、 平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 0),(=y x F ,),(0y x P 是其上一定点。
在该点的切线斜率为),(),()(00000y x F y x F x y y x ''-='. 从而曲线过点),(000y x P 的切线方程为)(),(),(000000x x y x F y x F y y y x -''-=-,即0(,)()(,)()0xyF x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为(,)()(,)()0yxF x y x x F x y y y ''---=，(2)例1、 求笛卡尔叶形线09)(233=-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线.解 xy y x y x F 9)(2),(33-+=, y x F x 962-=',x y F y962-='. 12)1,2(,15)1,2(-='='yx F F , 得到切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示.图(1)2、 空间曲线的切线与法平面设空间曲线L 的方程为)(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0, )(),(),(0t z z t y y t x x ===,动点L z z y y x x P z y x P ∈∆+∆+∆+=),,(),,(0. 动割线P P 0的方程为tz z z t y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000,当0→∆t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0的极限位置l : 0()()()x x y y z z x t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0P 的切线.其方向向量为 0{(),(),()}x t y t z t τ'''=r。
离散数学集合的笛卡儿积与二元关系
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关系的基本运算定义（续）
定义 设F、G为任意的关系，A为集合，则
逆与合成 F1 = {<y,x> | <x,y>F} F∘G = |<x, y> | z (<x, z> G < z, y > F) }
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(2)(AB)(C D)=(AC)(B D) 解：不成立，若A=D= B=C= {1} 则有： (AB)(C D)= B C={<1,1>}
(3)(A-B)(C-D)=(AC)-(BD)
解：不成立， A=B={1} C={2} D={3}
(A-B)(C-D)= (AC)-(BD) = {<1,2>} {<1,3>}={<1,2>}
不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B) 对于并或交运算满足分配律
A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) 若A或B中有一个为空集，则AB就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn
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合成运算的图示方法
利用图示（不是关系图）方法求合成 R∘S={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>} S∘R ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}
2020年中考物理复习专题01 物理学史问题(解析版)
专题01 物理学史问题了解物理学史，可以激发学生的学习热情，通过对科学家探究规律的过程，掌握获取知识的方法，对今后探索未知领域的知识提供思路，对培养创新人才都是好的途径。
通过对涉及物理学史问题的考法与解法的研究，可以开阔思路，进一步巩固知识与方法，培养情感态度与价值观具有十分重要的意义。
初中阶段，学过的力热电光磁知识体系中涉及的物理学史很多。
知道历史上物理学家的国籍、发现的规律对于深入学习意义重大。
这些知识内容是培养学生科学态度和责任担当不可或缺的养料。
是培养学生核心素养十分难得的素材。
现把初中物理学史做以总结归纳，是学生解决中考试卷里物理学史试题的重要依据。
1.声学部分沈括（中国北宋）论述了固体传声。
2.光学部分（1）牛顿（英国）用三棱镜将白色太阳光分解成七种不同光，发现了光的色散，证明了白光由七色光组成。
（2）墨翟（中国）首先进行了小孔成象的研究。
（3）空中的光速（c=3x108m/s）是物体运动的极限速度是爱因斯坦提出的。
3.热学部分（1）1827年，布朗（苏格兰）发现布朗运动。
（2）摄尔修斯（瑞典）制定了摄氏温标。
4.力学部分（1）亚里士多德（古希腊）提出了力是维持物体运动的原因(错误观点)（2）笛卡尔（法国）提出了物体不受其他力的作用，它就不会改变运动方向．（3）伽利略（意大利）论证“重物体不会比轻物体下落得快”；提出“物体的运动并不需要力来维持”。
（4）牛顿（英国）总结牛顿第一定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律，创立经典力学理论体系并发现万有引力定律。
（5）胡克提出了胡克定律，在一定的条件下，弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比（6）帕斯卡裂桶实验；帕斯卡定律；压强单位用帕斯卡命名。
（7）马德堡半球实验，证明了大气压强的存在。
（8）1643年，依据大气压与液体压强相平衡的原理，首先测出大气压强的数值。
（9）发现阿基米德原理；杠杆平衡条件。
5.电磁学部分（1）库仑（法国）发现电荷间相互作用力的规律；建立静电学中的库仑定律，电量单位用库仑的名字命名。
苏教版高中数学选修3-1-1.4.1 笛卡尔与他的《几何学》-课件(共22张PPT)
伟大成就
欧拉--笛卡尔公式 欧拉-笛卡儿公式，该公式的内容为：在 任意凸多面体，设V为顶点数，E为棱数，F是 面数，则V − E + F = 2。该公式最早由法国 数学家笛卡儿于1635年左右证明，但不为人知。 后瑞士数学家莱昂哈德•欧拉于1750年独立证 明了这个公式。1860年，笛卡儿的工作被发现， 此后该公式遂被称为欧拉-笛卡儿公式。
谢谢欣赏！
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求， 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了 无私的人。
3-4序偶与笛卡尔积(精)
2.下列各式中哪些成立？哪些不成立？为什么？ a)(AB) (CD)=(AC)(BD) b)(A- B) (C -D)=(AC) - (BD) c)(AB) (CD)=(AC)(BD)
一、序偶和笛卡尔积的概念
2、n个集合的笛卡尔积：集合A1，A2，…，An，则
特别地，
约定：若A=或B=，则A B= ，B A=
Байду номын сангаас
上次课程内容回顾
集合的运算
交运算 并运算 补运算 对称差 序偶的定义 笛卡尔积
序偶和笛卡尔积
例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确？ (1)ABACBC 不正确，当A，BC时，AB=AC=。 (2)A-(BC)=(A-B)(A-C) 不正确，当A=B={1}，C={2}时，A-(BC)={1}-{<1， 2>}={1}，而(A-B)(A-C)={1}=。 (3)A=C，B=DAB=CD 正确，由定义可以证明，在非空前提下是充要条件。 (4)存在集合A使得AAA 正确，当A=时，AAA。
一、序偶和笛卡尔积的概念
有序n元组
1、序偶(有序2元组)：
两个具有固定次序的客体组成一个序偶(有序2元组)，记 作<x，y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 例：平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 序偶，我们可用<x，y>表示。 注：序偶是讲究次序的，例<1，3>和<3，1>是表示平面上 两个不同的点，这与集合不同，{1，3}和{3，1}是两个相 等的集合。
5、定理3-4.2：对于任意集合A、B、C，若C，则 AB ACBC CACB
初中数学趣味题
• 解出来是个心形图案，就是著名的“心形线”。 • 这封情书最后被收录到欧洲笛卡尔博物馆中。
2021/3/9
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2021/3/9
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第二題－白痴的兔子
有只兔子掉进30公尺深的干井里。它并不 习惯待在这种地方，因此决定奋力往上爬。 但兔子爬墙的能力不太好，它发现自己努 力往上爬了一天，上升了3公尺却又滑下2 公尺。休息了一夜之后，它又继续努力， 结果一样。它要几天才能爬出干井？
2021/3/9
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第二題－解答
原则上， 这只兔子必死无疑了，怎么可能那么久
终级过河问题
2021/3/9
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最பைடு நூலகம்一题－解答
假设三对夫妻为甲夫、甲妻、乙夫、乙 妻、丙夫和丙妻。
甲妻、乙妻过河，甲妻回；甲妻、丙妻 过河，甲妻回；乙夫、丙夫过河，乙夫、 乙妻回；甲夫、乙夫过河，丙妻回；甲妻、 乙妻过河，丙夫回；丙夫、丙妻过河。
2021/3/9
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• 补充题：
• 不过，最奇特的墓志铭，却是属于古希腊 数学家丢番 图的。他的墓碑上刻着一道谜 语般的数学题： “过路人，这座石墓里安 葬着丢番图。他生命的1／6 是幸福的童年， 生命的1／12是青少年时期。又过了生命 的 1／ 7他才结婚。婚后 5年有了一个孩子， 孩子活到他 父亲一半的年纪便死去了。孩 子死后，丢番图在深深的悲 哀中又活了4年， 也结束了尘世生涯。过路人，你知道丢 番 图的年纪吗？”
2021/3/9
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百万士兵
• 百万士兵中有一个士兵感染了怪病，军队 只有一位医生，医生一天最多只能对100个 血液样品进行检测，三天之类如果没有找 出病原士兵，那么怪病将感染全军，则全 军将不战而败。假如你是将军，怎么才能 让医生完成任务。
【精品奥数】四年级上册数学思维训练讲义-第九讲 几何计数 人教版(含答案)
第九讲几何计数第一部分：趣味数学解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。
比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。
这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。
当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。
笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。
后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。
从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。
他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。
为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系。
x，y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。
这就是解析几何的基本思想。
具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。
从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。
两个关系笛卡尔积
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质(略) 4.7 函数的复合和反函数(略)
1
4.1 集合的笛卡儿积和二元关系
有序对
笛卡儿积及其性质 二元关系的定义 二元关系的表示
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从A到B的关系与A上的关系
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元 关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上 的二元关系. 例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}. 那么 R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3和R4同时也是 A上的二元关系. 计数 |A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有2 个 n2 . 所以 A上有 2n2个不同的二元关系. 例如 |A|=3, 则 A上有=512个不同的二元关系.
3). 真.可由等量代入的原理证得. 4). 真.当A = 时, 有: A A A成立.
二元关系的定义
定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
2022年会计专业技术资格考试应试指导及全真模拟测试初级会计实务
2022年会计专业技术资格考试应试指导及全真模拟测试初级会计实务读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。
——笛卡尔第三章所有者权益本章考情分析本章近3年考试的题型为单项选择题、多项选择题和计算分析题。
2022年试题分数为4分，2022年试题分数为4分，2022年试题分数为3分。
从近3年试题分数看，本章内容不太重要。
2022年教材主要变化增加：集团股份支付产生资本公积的会计处理。
修改：盈余公积用途的表述。
学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。
——阿卜•日•法拉兹读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。
——笛卡尔本章重难点剖析所有者权益是指企业资产扣除负债后由所有者享有的剩余权益。
公司的所有者权益又称为股东权益。
【例题1•判断题】企业在一定期间发生亏损，则企业在这一会计期间的所有者权益一定减少。
（）【答案】某学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。
——阿卜•日•法拉兹读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。
——笛卡尔【解析】企业在一定期间发生亏损，由此可能会导致所有者权益的减少。
由于所有者权益中有些项目与盈亏无关（如实收资本和资本公积），因此不能说企业在一定期间发生亏损，则所有者权益一定减少。
第一节实收资本一、实收资本概述实收资本是指企业按照章程规定或合同、协议约定，接受投资者投入企业的资本。
实收资本的构成比例（即投资者的出资比例或股东的股份比例），是确定所有者在企业所有者权益中份额的基础，也是企业进行利润或股利分配的主要依据。
除股份有限公司外，其他企业应设置“实收资本”科目，以核算投资者投入资本的增减变动情况。
该科目的贷方登记实收资本的增加数额，借方登记实收资本的减少数额，期末贷方余额反映企业期末实收资本实有数额。
股份有限公司应设置“股本”科目，核算公司实际发行股票的面值总额。
该科目贷方登记公司在核定的股份总额及股本总额范围内实际发行股票的面值总额，借方登记公司按照法定程序经批准减少的股本数额，期末贷方余额反映公司股本实有数额。
离散数学第四章二元关系和函数
例题
• 例题4.8:下列关系都是整数集Z上的关系,分别求出它们的 定义域和值域.
– R1={<x,y>|x,yZxy}; – R2={<x,y>|x,yZx2+y2=1};
• domR1=ranR1=Z. R={<0,1>,<0,-1>,<1,0>,<-1,0>} domR2=ramR2={0,1,-1}
IA={<0,0>,<1,1>,<2,2>}
关系实例
• 设A为实数集R的某个子集,则A上的小于等于关系定义为 LA={<x,y>|x,yA,xy}.
• 例4.4 设A={a,b},R是P(A)上的包含关系, R={<x,y>|x,yP(A),xy}, 则有 P(A)={,{a},{b},A}. R={<, >,<,{a}>,<,{b}>,<,A>, <{a},{a}>,<{a},A>,<{b},{b}>,<{b},A>,<A,A>}.
– 例如:A={a,b},B={0,1,2},则 AxB={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}; BxA={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}.
– 如果A中的元素为m个元素，B中的元素为n个元素， 则AxB和BxA中有mn个元素．
0100 1010 . 0001 0000
笛卡尔连接的通俗例子
笛卡尔连接的通俗例子
1. 你看啊，就像你喜欢吃苹果，而讨厌吃香蕉，这两者之间就是一种笛卡尔连接呀！你对不同水果的喜好就是很明确的划分呢。
2. 比如说你和朋友对于一部电影的评价，他觉得超级棒，你却觉得很一般，这就是你们观点上的笛卡尔连接啊！
3. 想想看，有人喜欢晴天出去玩耍，有人喜欢雨天待在家里，这晴天和雨天所对应的不同选择不就是一种笛卡尔连接嘛！
4. 好比说你在选择衣服的时候，红色和蓝色你只能选一个，这选红色和不选红色不就是一种笛卡尔连接喽！
5. 你朋友找你玩游戏，你要么答应，要么拒绝，这答应和拒绝之间不就是笛卡尔连接的体现嘛！
6. 就像你对于运动，要么热爱去跑步，要么就懒得动，这两种截然不同的态度就是笛卡尔连接呀！
7. 假设让你在看书和看电视之间做选择，你选了看书，那和没选看书不就是一种笛卡尔连接呀！
8. 你想想啊，你对于宠物，喜欢猫和不喜欢猫，这是不是就是一种很明显的笛卡尔连接呢！
9. 比如说你对待熬夜的态度，要么觉得无所谓就经常熬，要么觉得不好就不熬，这两种情况就是笛卡尔连接呀！
我的观点结论就是：笛卡尔连接在我们生活中无处不在呀，它很清晰地划分出了我们的各种选择和态度呢！。
平面直角坐标系 笛卡尔 试题
平面直角坐标系笛卡尔试题
平面直角坐标系，也称笛卡尔坐标系，是指在平面上以两条相互垂直的直线作为坐标轴建立的坐标系。
这种坐标系是由法国数学家笛卡尔在17世纪提出的，被广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
在平面直角坐标系中，通常将水平轴称为x轴，垂直轴称为y 轴，它们的交点称为原点，通常记作O。
坐标系中的每个点都可以用一个有序对(x, y)来表示，其中x为该点在x轴上的投影长度，y 为该点在y轴上的投影长度。
这种表示方法被称为笛卡尔坐标。
在平面直角坐标系中，我们可以进行各种几何图形的研究和分析，比如直线、曲线、多边形等。
同时，平面直角坐标系也为数学中的向量、函数、方程等概念的研究提供了良好的基础。
在数学中，我们可以利用平面直角坐标系解决各种几何问题，比如求两点之间的距离、判断点是否在某个区域内、计算多边形的面积等。
在物理学和工程学中，平面直角坐标系也被广泛应用，比如描述物体的运动轨迹、分析力的作用方向等。
总之，平面直角坐标系是一种非常重要的数学工具，它为我们研究和解决各种问题提供了便利，是数学和物理学领域不可或缺的基础知识。
希望我的回答能够帮助到你，如果你还有其他问题，也欢迎继续提问。
笛卡尔：谈谈方法（完整版）第二部分
笛卡尔：谈谈方法（完整版）第二部分笛卡尔：谈谈方法（完整版）第二部分转自：政治哲学与思想史谈谈正确运用自己的理性在各门学问里寻求真理的方法说明第二部分，是作者所寻求的那种方法的几条主要的规则。
第二部分我那时在日耳曼，是那场尚未结束的战争把我招引到了那里。
我参观皇帝加冕后回到部队的时候，冬天已经到了，只好留在驻地。
那里既找不到人聊天解闷，幸好也没有什么牵挂，没有什么情绪使我分心，我成天独自关在一间暖房里，有充分的闲暇跟自己的思想打交道。
在那些思想当中，第一个是我注意到：拼凑而成、出于众手的作品，往往没有一手制成的那么完美。
我们可以看到，由一位建筑师一手建成的房屋，总是要比七手八脚利用原来作为别用的旧墙设法修补而成的房屋来得整齐漂亮。
那些原来只是村落、经过长期发展逐渐变成都会的古城，通常总是很不匀称，不如一位工程师按照自己的设想在一片平地上设计出来的整齐城镇；虽然从单个建筑物看，古城里常常可以找出一些同新城里的一样精美，或者更加精美，可是从整个布局看，古城里的房屋横七竖八、大大小小，把街道挤得弯弯曲曲、宽窄不齐，与其说这个局面是由运用理性的人的意志造成的，还不如说是听天由命。
如果考虑到这一点，那就很容易明白，单靠加工别人的作品是很难做出十分完美的东西的。
我也同样想到，有些民族原来处于半野蛮状态，只是逐步进人文明，感到犯罪和争吵造成麻烦，迫不得已才制定了法律，它们的治理程度就比不上那些一结成社会就遵奉某个贤明立法者的法度的民族。
由神一手制定清规的真宗教，就确实精严无比，胜过其他一切宗教。
拿人的事情来说，我认为，斯巴达之所以曾经十分强盛，并不是因为它的每一条法律都好，其中就有许多条非常古怪，甚至违反善良的风俗；其所以如此，原因在于它的全部法律是由一个人制定的，是为着同一个目的的。
我又想到，书本上的学问，至少那些只说出点貌似真实的道理、却提不出任何证据的学问，既然是多数人的分歧意见逐渐拼凑堆砌而成的，那就不能像一个有良知的人对当前事物自然而然地作出的简单推理那样接近真理。
笛卡尔和数对的故事
笛卡尔和数对的故事
1. 你知道笛卡尔吗？他可是个超级厉害的人物啊！就像夜晚天空中最亮的星星！还记得我们学过的数对吗？那就是笛卡尔的伟大发现呀！比如在地图上找一个地方，不就是靠数对嘛！
2. 嘿，想想看，要是没有笛卡尔和他的数对，那我们的世界会变成啥样呢？是不是就像没头苍蝇一样乱撞呀！比如在商场里找店铺，没数对得多费劲呀！
3. 笛卡尔和数对的故事可精彩啦！这就好比打开了一扇神奇的大门！像玩游戏找宝藏一样，数对就是找到宝藏的线索呢！
4. 哇塞，笛卡尔怎么就那么聪明呢，能想出数对这么棒的东西！这简直就像给世界点亮了一盏明灯！就说在电影院找座位，不就是靠数对嘛！
5. 你们难道不好奇笛卡尔和数对之间的奇妙联系吗？这就好像一个神秘的谜团等你去解开呀！比如在棋盘上落子，数对不就起大作用了嘛！
6. 哎呀呀，笛卡尔和数对的故事，那真的是让人惊叹不已呀！就如同发现了一个新大陆一样！像安排活动的座位，数对可太重要啦！
7. 难道你不想深入了解一下笛卡尔和数对的故事吗？这可是比巧克力还吸引人呢！比如给快递员说地址，数对多关键呀！
8. 嘿，笛卡尔和数对，这可是一对了不起的组合呀！就像最佳搭档一样！像确定图书馆里一本书的位置，靠的就是数对呀！
9. 想想笛卡尔对数对的贡献，那可真是太伟大啦！就好像给我们的生活注入了魔法！比如在方格纸上画图，数对可少不了呀！
10. 笛卡尔和数对的故事真的是太有趣啦！这简直是一场奇妙的冒险呀！像在游戏中根据坐标找宝藏，数对就是关键呀！
我觉得笛卡尔和数对的故事非常神奇，它们给我们的生活带来了极大的便利和乐趣，让我们能更准确、高效地在各种情境中找到目标。
高中数学二、笛卡儿方法论的意义专项测试同步训练
高中数学二、笛卡儿方法论的意义专项测试同步训练2020.031,符号[]x 表示不超过x 的最大整数,如[][]208.1,3-=-=π,定义函数{}[]x x x -=,那么下列命题中正确的是______（1）函数{}x 的定义域为R,值域为[]1,0; （2）方程{}21=x ,有无数解;（3）函数{}x 是周期函数; （4）函数{}x 是增函数; （5）函数{}x 具有奇偶性。
2,设函数()sin ,[,]22f x x x x ππ=∈-,若12()()f x f x >,则下列不等式必定成立的是（ ） A ．120x x +> B ．2212x x >C ． 12x x >D ． 12x x <3,已知数列｛n a ｝满足前n 项和为n S =n 2+1,数列｛n b ｝满足n b =12+n a ,且前n 项和为n T ．设n c =n n T T -+12⑴求数列｛n b ｝的通项公式;⑵判断数列｛n c ｝的增减性;⑶当n ≥2时nn T T -+12＜ 51－)1(log 127-a a 恒成立,求a 的取值范围．4,函数sin 2y x =的图像按向量a r平移后,所得函数的解析式是cos 21y x =+,则a r=( )A ．,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭5,若F 1、F 2分别为双曲线 －＝1下、上焦点,O 为坐标原点,P 在双曲线的下支上,点M 在上准线上,且满足:2F O MP =u u u u r u u u r ,11111()||||F P FO F M F P FO λ=+u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u r (λ>0)。
(1)求此双曲线的离心率; (2)若此双曲线过N(,2),求此双曲线的方程; (3)若过N(，2)的双曲线的虚轴端点分别B 1，B 2(B 2在x 轴正半轴上),点A 、B 在双曲线上,且22B A B B μ=u u u u r u u u u r ,求11B A B B ⊥u u u r u u u r时,直线AB 的方程。
【高中数学文化鉴赏】笛卡尔(原卷版)
【高中数学文化鉴赏】笛卡尔一、单选题1.笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A关于x轴对称的点的坐标是( )2.如果两个正整数a和b，a的所有真因数(即不是自身的因数)之和等于b，b的所有真因数之和等于a，则称a和b是一对“亲和数”．约两千五百年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现第一对亲和数：284和220．历史中不少数学家们都曾参与寻找亲和数，其中包括笛卡尔、费马、欧拉等.1774年，欧拉向全世界宣布找到30对亲和数，并以为2620和2924是最小的第二对亲和数，可到了1867年，意大利的16岁中学生白格黑尼，竟然发现了数学大师欧拉的疏漏--在284和2620之间还有一对较小的亲和数1184和1210．我们知道220的所有真因数之和为：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55 +110=284，284的所有真因数之和为：1+2+4+71+142=220，若从284的所有真因数中随机抽取一个数，则该数为奇数的概率为( )A.13B.25C.411D.353.笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A关于y轴对称的点的坐标是( )A.-1,-1,1D.-1,-1,-1C.1,-1,-1B.1,-1,14.“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔Re neDescartes创制的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.已知复数z，z =1且z⋅(1+i)>0(其中i是虚数单位)，则复数z=( )A.2-2iB.2+2iC.22-22iD.22+22i5.“虚数”这个词是17世纪著名数学家､哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现，最简单的二次方程x2+1=0在实数范围内没有解.已知复数z满足z2+4i=0，则z = ( )A.4B.2C.2D.16.1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若2x=5，lg2≈0.3010，则x的值约为( )A.2.301B.2.322C.2.507D.2.6997.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻.若e x=2.5，lg2=0.3010，lg e=0.4343，根据指数与对数的关系，估计x的值约为( )A.0.4961B.0.6941C.0.9164D.1.4698.伟大的法国数学家笛卡儿(Descartes1596~1650)创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；在正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，AB =3，BD=2，则AB ⋅AD =( ).A.3B.6C.9D.129.伟大的法国数学家笛卡儿Descartes 1596~1650 创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，∠BAD =90°，∠BCD =60°，E 是线段AD 上靠近A 的三等分点，F 是线段DC 的中点，若AB =2，AD =3，则EB ⋅EF =( )A.73B.113C.79D.11910.笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一--坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：r =a 1-sin θ ，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数f x =1-x -1 2，g x =-31-x 2画在同一坐标系中，得到了如图曲线．观察图形，当x >0时，g x 的导函数g x 的图像为( )A. B.C. D.11.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数f x =log a x (a >0且a ≠1)的反函数为f -1x =a x (a >0且a ≠1)．已知函数g x =e x ，F x =x 2+kg -1x ，则对于任意的x 2>x 1>0，有F x 2 -F x 1 x 2-x 1>2022恒成立，则实数k 的取值范围为( )A.-∞,2B.2,+∞C.1011,+∞D.101122,+∞ 二、多选题12.17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N 可以表示成N =a ×10n (1≤a <10,n ∈Z )的形式，两边取常用对数，则有lg N =n +lg a ，现给出部分常用对数值(如下表)，则下列说法中正确的有( )真数x 2345678910lg x (近似值)0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.954 1.000真数x 111213141516171819lg x (近似值)1.041 1.079 1.114 1.146 1.176 1.204 1.230 1.255 1.279A.310在区间104,105 内B.250是15位数C.若2-50=a ×10m (1≤a <10,m ∈Z )，则m =-16D.若m 32m ∈N ∗ 是一个35位正整数，则m =1213.“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像x 2+1=0这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设t 是方程x 2+x +1=0的根，则( )A.t 3=1B.t +t =-1C.-t 是该方程的根D.t 2021是该方程的根14.卵形曲线也叫卵形线，是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线.卡西尼卵形线是平面内与两个定点(叫做焦点)距离之积等于常数的点的轨迹.设焦点F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)是平面内两个定点，|PF 1|⋅|PF 2|=a 2(a 是定长)，特别地，当c =a 时的卡西尼卵形线又称为伯努利双纽线，某同学通过类比椭圆与双曲线的研究方法，对伯努利双纽线进行了相关性质的探究，得到下列结论，其中正确的是( )A.曲线过原点B.关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称C.方程为(x 2+y 2)2=2a 2(x 2-y 2)D.曲线上任意点P (x 0，y 0)，x 0∈[-a ，a ]，y 0∈-a 2，a 215.笛卡尔是西方哲学思想的奠基人之一，“我思故我在”便是他提出的著名的哲学命题；同时，笛卡尔也是一位家喻户晓的数学家，除了发明坐标系以外，笛卡尔叶形线也是他的杰出作品，其方程为x 3+y 3=3axy ，a 为非零常数．下列关于笛卡尔叶形线的说法中正确的是( )A.图象关于直线y =x 对称B.图象与直线x +y +a =0有2个交点C.当a >0时，图象在第三象限没有分布D.当a =1，x 、y >0时，y 的最大值为3416.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy 下的一般方程为x 3+y 3-3axy =0.某同学对a =1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是( )A.曲线不经过第三象限B.曲线关于直线y =x 对称C.曲线与直线x +y =-1有公共点D.曲线与直线x +y =-1没有公共点17.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为常数.已知：曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1，0)和F 2(1，0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，则下列命题中正确的是( )A.曲线C 过坐标原点B.曲线C 关于坐标原点对称C.曲线C 关于坐标轴对称D.若点在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2三、填空题18.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy 中，两坐标轴的正半轴的夹角为60°，e 1 ，e 2 分别是与x轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量a =x e 1 +y e 2 ，则称有序实数对x ,y 为a 在该斜角坐标系下的坐标.若向量m ，n 在该斜角坐标系下的坐标分别为3,2 ，2,k ，当k =_______时，m ⋅n =11.19.笛卡尔､牛顿都研究过方程x -1 x -2 x -3 =xy ，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y 轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横､纵坐标都是整数.其中不正确的是___________.20.阿波罗尼奥斯(Apollonius )(公元前262~公元前190)，古希腊人，与欧几里得和阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》凭一己之力将圆锥曲线研究殆尽，致使后人没有任何可插足之地；直到17世纪，笛卡尔和费马的坐标系之后，数学家建立起了解析几何体系，圆锥曲线的研究才有了突破.阿波罗尼奥斯在他的著作里得到了这样的结论：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，也称阿氏圆.已知动点P 到点M -2,0 与到点N 1,0 的距离之比为2：1，则动点P 的轨迹方程为________.四、双空题21.阿波罗尼奥斯(Apollonius )(公元前262~公元前190)，古希腊人，与欧几里得和阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》凭一己之力将圆锥曲线研究殆尽，致使后人没有任何可插足之地；直到17世纪，笛卡尔和费马的坐标系之后，数学家建立起了解析几何体系，圆锥曲线的研究才有了突破．阿波罗尼奧斯在他的著作里得到了这样的结论：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，也称阿氏圆．已知动点P 到点M -2,0 与到点N 1,0 的距离之比为2∶1，则动点P 的轨迹方程为______；若动点A 满足MA =2MP ，则动点A 的轨迹方程为______．22.17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支--解析几何．我们知道，方程x =1在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线，那么在三维空间中，它表示______，过点P (1,-1,2)且法向量为v =(1,2,3)的平面的方程是______．。
笛卡尔积不满足结合律和交换律
笛卡尔积不满足结合律和交换律以笛卡尔积不满足结合律和交换律为题，我们来看一个生活中的例子。
假设有三个朋友，分别是小明、小红和小李，他们在一起组成了一个读书俱乐部。
每个人都有自己的书单，想要与其他人分享自己喜欢的书籍。
小明喜欢科幻小说，他的书单上有《三体》、《银河英雄传说》和《黑暗森林》；小红喜欢历史传记，她的书单上有《红楼梦》、《水浒传》和《西游记》；小李喜欢心理学，他的书单上有《乌合之众》、《影响力》和《心理学与生活》。
为了更好地了解彼此的兴趣和推荐书籍，他们希望进行交流。
首先，小明和小红决定先交换书单。
小明把自己的书单给了小红，小红把自己的书单给了小明。
他们发现两人的书单合并后有6本书，分别是《三体》、《银河英雄传说》、《黑暗森林》、《红楼梦》、《水浒传》和《西游记》。
他们很高兴地发现，他们有许多共同的兴趣。
接下来，小红和小李决定交换书单。
小红把自己的书单给了小李，小李把自己的书单给了小红。
他们发现两人的书单合并后有6本书，分别是《红楼梦》、《水浒传》、《西游记》、《乌合之众》、《影响力》和《心理学与生活》。
他们也很高兴地发现，他们有许多共同的兴趣。
小明和小李决定交换书单。
小明把自己的书单给了小李，小李把自己的书单给了小明。
他们发现两人的书单合并后有6本书，分别是《三体》、《银河英雄传说》、《黑暗森林》、《乌合之众》、《影响力》和《心理学与生活》。
他们也很高兴地发现，他们有许多共同的兴趣。
通过这个例子，我们可以看到，无论是小明和小红的书单合并，还是小红和小李的书单合并，或者是小明和小李的书单合并，最终得到的结果都是一样的。
这说明笛卡尔积在这个例子中不满足结合律和交换律。
不同的顺序合并得到的结果是不同的，而且合并的结果也与合并的顺序有关。
在生活中，我们常常会遇到这样的情况，无论是人际关系、合作还是其他方面，合并和组合的顺序都可能会影响最终的结果。
因此，在处理问题时，我们需要注意顺序的选择，并且要意识到不同的顺序可能会导致不同的结果。