全等三角形中的动点问题

全等三角形中的动态问题
解决动点问题的常见思路：
1、注意分类讨论；
2、仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；
3、利用速度×时间表示处相应线段或边的长度，列出方程求解。

例1如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动多少秒时，△DEB与△BCA全等。

例2已知，如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P 从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为何值时，△ABP与△DCE全等。

练习：
1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7厘米，BC=3厘米，CD为AB边上的高，点E从点B出发沿直线BC以2厘米/秒的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F。

（1）证明：∠A=∠BCD；
（2）当点E运动多长时间时，CF=AB。

请说明理由。

2、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m），B（n，0），且｜m−n−3｜+2n−6=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间
为t秒。

（1）求OA、OB的长；
（2）连接PB，设△POB的面积为S，用含t的式子表示S；
（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

例3如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，∠ACE=90°，且AC=5cm，CE=6cm，点P以2cm/s的速度沿A—C—E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始在线段EC上往返运动，当点P到达终点时，P、Q同时停止运动。

过P、Q分别作BD的垂线，垂足为M、N，设运动时间为t s。

求t为何值时，以P、C、M为顶点的三角形与△QCN全等。

练习：
1、如图，在四边形ABCD中，AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C—B—C作匀速移动，点G从点B 出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动。

（1）证明：AD//BC；
（2）在移动过程中，当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等，请求出点G的运动速度。

2、如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A 向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动。

他们的运动时间为t（s）。

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC与线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由。

3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F。

设点P的运动时间为t（秒）。

（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△PEC与△QFC全等时，求所有满足条件的CQ的长。

例4如图，在△ABC中，AB=AC=18cm，BC=10cm，∠B=∠C，AD=2BD。

如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动。

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？
（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
练习：
1、如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5cm，BC=12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts。

（1）PC=cm（用含t的式子表示）；
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P、Q、C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由。

2、如图，已知四边形ABCD中，AB=12，BC=8，CD=14，∠B=∠C，点E为线段AB的中点，如果点P 在线段BC上以3个单位长度/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CD上由C点向D点运动。

当点Q的运动速度为多少时，△BPE与以C、P、Q为顶点的三角形全等？
【巩固练习】
1、如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10，BC=6，线段PQ=AB，点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C出发，沿射线CA以2个单位长度/秒的速度运动，设运动时间为t(s)。

当△ABC≌△QPA时，求t的值。

2、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4，P点从B向A运动，运动速度为1个单位长度/秒，Q点从B向D运动，运动速度为2个单位长度/秒，P、Q同时出发，当△CAP与△PQB全等时，求P点的运动时间。

3、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，AD⊥AC，PQ=AB，P、Q两点分别在AC和AD上运动。

当AQ多长时，△APQ与△ABC全等？
4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=15，点M从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过点M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F。

设运动时间为t秒，要使以点M、E、C为顶点的三角形与以点N、F、C为顶点的三角形全等，求t的值。

5、如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动。

当AP多长时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等。