2022-2023学年江苏省南通市如皋中学数学高三第一学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.8
2．定义在R 上的函数()f x 满足()()
2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨
->⎪⎩，则()2019f =（） A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
3．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ）
A ．45
B ．60
C ．75
D ．100
4．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ）
A ．1y x =+
B ．2
1y x =-
C ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．2log y x =
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28
B ．14
C ．7
D ．2
6．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β； ④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
7．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()2
10y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）
A ．
16
B ．
15
C ．
14
D ．
12
8．已知圆锥的高为33体积的比值为( )
A ．
53
B ．
329
C ．
43
D ．
259 9．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '
，当0x ≥时，恒有())03
(x f f x x '+>．则不等式
33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．
A ．{|31}x x -<<-
B ．1
{|1}3
x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >-
D ．{|1x x <-或1}3
x >-
10．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．b ＞c ＞a
B ．c ＞b ＞a
C ．a ＞b ＞c
D ．b ＞a ＞c
11．已知12log 13a =1314
12,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．b c a >>
D ．a c b >>
12．已知向量a ，b 夹角为30，()
1,2a =，2b = ，则2a b -=( ) A ．2
B ．4
C ．23
D ．27
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(21)3n n S a +=，若108a ka =，则k =______________. 14．在△ABC 中，a ＝3，b 26=，B ＝2A ，则cosA ＝_____．
15．如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为________.
16．已知关于空间两条不同直线m 、n ，两个不同平面α、β，有下列四个命题：①若//m α且//n α，则//m n ；②若m β⊥且m n ⊥，则βn//；③若m α⊥且//m β，则αβ⊥；④若n ⊂α，且m α⊥，则m n ⊥.其中正确命题的序号为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设函数()()1f x x x a a R =-+-∈. （1）当4a =时，求不等式5f x
的解集；
（2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.
18．（12分）如图，三棱台111.ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面12AC CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A AC ⊥⊥，且11124AB A B A A ==.
（Ⅰ）若12CD DA =，2AE EB =，证明：∥平面11BCC B ；
（Ⅱ）若二面角11C AA B --为
3
π
，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值. 19．（12分）已知抛物线M ：2
2x py =（0p >）的焦点F 到点(1,2)N --10（1）求抛物线M 的方程；
（2）过点N 作抛物线M 的两条切线，切点分别为A ，B ，点A 、B 分别在第一和第二象限内，求ABN ∆的面积.
20．（12分）设函数2
()2ln(1)1
x f x x x =++
+. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；
（Ⅲ）已知数列{}n a 中，11a =，且1(1)(1)1n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：
1
1ln 2n n n n
a S a a ++>
-. 21．（12分）已知函数
()|2|f x x a =-
（1）若1a =，不等式(2)(1)2f x f x -+≥的解集； （2）若,(2)2x R f x x ∀∈-≥，求实数a 的取值范围.
22．（10分）（1）已知数列{}n a 满足：121,a a λ==，且1121n n n n n a a a a a λ+--=-（λ为非零常数，*2,n n N ≥∈），
求数列()*12,n n a n n N a -⎧⎫≥∈⎨⎬⎩⎭
的前n 项和；
（2）已知数列{}n b 满足：
（ⅰ）对任意的*
1,0n n n N b b +∈<≤；
（ⅱ）对任意的*2,n n N ≥∈，()()*111*2,21,,2,
n n n n q n k k N b b q n k k N μμ-+⎧=+∈⎪⋅=⎨=∈⎪⎩()120,0,0q q μ>>>，且2121b q q b =
①若121,q q μ==，求数列{}n b 是等比数列的充要条件.
②求证：数列12569104342,,,,,,,,,m m b b b b b b b b --⋯⋯是等比数列，其中*m N ∈.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】
从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为51
0.5102
==. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题. 2、C 【解析】
推导出()()()()220194035441log 2f f f f =⨯+==-=，由此能求出()2019f 的值． 【详解】
∵定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨
->⎪⎩
， ∴()()()()22019403544211log f f f f =⨯+=-===，故选C ． 【点睛】
本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题. 3、B 【解析】
根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．
由题意123
15234
S ⨯⨯⨯=，60S =．
故选：B. 【点睛】
本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键． 4、C 【解析】
利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，进而可得出结果. 【详解】
对于A 选项，函数y =
()0,∞+上为增函数；
对于B 选项，函数2
1y x =-在区间()0,∞+上为增函数；
对于C 选项，函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
在区间()0,∞+上为减函数； 对于D 选项，函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数. 故选：C. 【点睛】
本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题. 5、B 【解析】
根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()
772
a a S a +==，即可求出结果． 【详解】
因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()
7142
a a S a +===， 故选：B 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题． 6、C
根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可. 【详解】
解：①：m 、n 也可能相交或异面，故①错 ②：因为αβ⊥，m β⊥，所以m α⊂或//m α， 因为m α⊄，所以//m α，故②对 ③：//n β或n β⊂，故③错 ④：如图
因为αβ⊥，l α
β=，在内α过点E 作直线l 的垂线a ，
则直线a β⊥，a l ⊥
又因为//m α，设经过m 和α相交的平面与α交于直线b ，则//m b 又m l ⊥，所以b l ⊥
因为a l ⊥，b l ⊥，,b a αα⊂⊂ 所以////b a m ，所以m β⊥，故④对. 故选：C 【点睛】
考查线面平行或垂直的判断，基础题. 7、A 【解析】
设所求切线的方程为y kx =，联立()2
01
y kx k y x ⎧=>⎨
=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得
切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.
设所求切线的方程为y kx =，则0k >，
联立()2
01
y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =， 方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ， 所以，阴影部分区域的面积为()1
2
3210
111233S x
x dx x x x ⎛⎫
=
+-=-+= ⎪⎝⎭
⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为1
6
S P S =='. 故选：A. 【点睛】
本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题. 8、B 【解析】
计算求半径为2R =，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案. 【详解】
如图所示：设球半径为R ，则()2
2
233R R =-+，解得2R =. 故求体积为：3143233
V R ππ==，圆锥的体积：221
3333V ππ=⨯=，故12329V V =.
故选：B .
【点睛】
本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 9、D 【解析】
先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33
x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】
构造函数()()33
x f x g x =，
则()()()()()32
2'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33
x f x g x =在0x ≥时为增函数；
由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()3
3
x f x g x =为偶函数； 又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33
()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+ 又()g x 为开口向上的偶函数
所以|||12|x x <+，解得1x <-或1
3
x >- 故选：D 【点睛】
此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 10、A 【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 ∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（
12）lnx ＞（1
2
）0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，
∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ． 故选：A ． 【点睛】
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11、D 【解析】
由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解. 【详解】
根据指数函数的图像与性质可知1314
120131b ⎛⎫
<= ⎪⎭
<⎝，
由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-
lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14
lg12lg13
-⋅=
⋅ 由基本不等式可知()2
1lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦
，代入上式可得
()2
2
21lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>
⋅⋅
2
2
1lg 13lg1682lg12lg13
⎛⎫- ⎪
⎝⎭=
⋅
11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13
⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
⋅
(
(lg13lg130lg12lg13+⋅-=
>⋅
所以a c >， 综上可知a c b >>，
故选：D.
【点睛】
本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题. 12、A
【解析】
根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.
【详解】 由于()22222
44a b a b a a b b -=
-=-⋅+=2=， 故选：A.
【点睛】
本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、9
【解析】
用1n -换(21)3n n S a +=中的n ，得11233(2)n n S a n --=+≥，作差可得13(2)n
n a a n ，从而数列{}n a 是等比数列，再由2810a k q a =
=即可得到答案. 【详解】
由233n n S a =+，得11233(2)n n S a n --=+≥，两式相减，得1233n n n a a a -=-，
即13(2)n n a a n ；又11233S a =+，解得13a =-，所以数列{}n a 为首项为-3、
公比为3的等比数列，所以28
109a k q a =
==. 故答案为：9.
【点睛】
本题考查已知n a 与n S 的关系求数列通项的问题，要注意n 的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题.
14 【解析】
由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解．
【详解】
解：∵a ＝3，b =B ＝2A ， ∴由正弦定理可得：2a b b sinA sinB sinAcosA
==，
∴cos A 2b a ===．
． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题．
15、20π
【解析】
由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.
【详解】
由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆 柱组合而成，其体积为23342422083
πππ⨯⨯+⨯
⨯=. 故答案为：20π.
【点睛】
本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题.
16、③④
【解析】
由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断．
【详解】
①若//m α且//n α，,m n 的位置关系是平行、相交或异面，①错；
②若m β⊥且m n ⊥，则βn//或者n β⊂，②错；
③若//m β，设过m 的平面与β交于直线n ，则//m n ，又m α⊥，则n α⊥，∴αβ⊥，③正确；
④若n ⊂α，且m α⊥，由线面垂直的定义知m n ⊥，④正确．
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）{|0x x ≤或5}x ≥；（2）3a ≤-或5a ≥.
【解析】
试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得()f x 最小值，再解含绝对值不等式可得a 的取值范围.
试题解析：（1）145x x -+-≥等价于1
255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩
或4255x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：0x ≤或5x ≥.故不等式()5f x ≥的解集为{|0x x ≤或5}x ≥.
（2）因为：()()()111f x x x a x x a a =-+-≥---=-
所以()min 1f x a =-，由题意得：14a -≥，解得3a ≤-或5a ≥.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
18、 (Ⅰ)见解析；(Ⅱ)
14. 【解析】
试题分析：(Ⅰ) 连接11,AC BC ，由比例可得DE ∥1BC ，进而得线面平行；
（Ⅱ）过点A 作AC 的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==求得平面11A B BA 的法向量为m ，设平面11C B BC 的法向量为n ，由cos ,m n m n m n ⋅=
求二面角余弦即可.
试题解析：
（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11A C CA ，112AC A C =,
易知：11
1,2AC AC D AD DC ⋂==；
又2AE EB =，则DE ∥1BC ；
1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，
可得：DE ∥平面11BCC B ；
（Ⅱ）侧面11A C CA 是梯形，111A A AC ⊥，
1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,
则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠= 3
π；
111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==
4AC AC ==,故点()10,0,1A ，()0,4,0,C
())
123,2,0,3,1,1B B ； 设平面11A B BA 的法向量为()111,,m x y z =，则有：()
1111113001,3,0030x y m AB m m AB x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⋅=⎪++=⎩； 设平面11C B BC 的法向量为()222,,n x y z =，则有：(2212223001,3,230330x y m CB n m CB x y z ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=⎪-+=⎩；
1cos ,4m n m n m n
⋅==-， 故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为
14. 19、（1）24x y =（2）
272
【解析】
（1）因为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得||FN == （2）分别设NA 、NB 的斜率为1k 和2k ，切点()11,A x y ，()22,B x y ，可得过点N 的抛物线的切线方程为l ：(1)2y k x =+-，联立直线l 方程和抛物线M 方程，得到关于x 一元二次方程，根据0∆=，求得1k ，2k ，进而求得切点A ，B 坐标，根据两点间距离公式求得||AN ，根据点到直线距离公式求得点B 到切线AN 的距离d ，进而求得ABN ∆的面积.
【详解】
（1）0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∴||FN ==
∴解得2p =，
∴抛物线M 的方程为24x y =.
（2）由题意可知，NA 、NB 的斜率都存在，分别设为1k 和2k ，切点()11,A x y ，
()22,B x y ，
∴过点N 的抛物线的切线l ：(1)2y k x =+-，
∴由2(1)24y k x x y
=+-⎧⎨=⎩,消掉y , 可得24480x kx k --+=，
21616320k k ∆=+-=，即220k k +-=，
∴解得11k =，22k =-，
又由24x y =， 得12
y x '=， ∴1122x k ==，22111114y x k =
==， ∴同理可得2224x k ==-，2224y k ==，
∴(2,1)A ，(4,4)B -，
∴||AN ==，
∴切线AN 的方程为10x y --=，
∴点B 到切线AN
的距离为2d ==，
∴127222
ABN S ∆=⨯=， 即ABN ∆的面积为
272
. 【点睛】
本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题，解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式
20、（Ⅰ）函数()f x
在(1-2-+，
上单调递减，在(-2)++∞单调递增；
（Ⅱ）2；（Ⅲ）证明见解析． 【解析】
（Ⅰ）先求出函数f （x ）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）设g （x ）＝f （x ）﹣ax ，先求出函数g （x ）的导数，通过讨论a 的范围，得到函数的单调性，从而求出a 的最小值； （Ⅲ）先求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，1为公差的等差数列，1n a n =，111n a n +=+，问题转化为证明：()()111112123n ln n n n
++
+++++＜，通过换元法或数学归纳法进行证明即可． 【详解】 解：（Ⅰ） f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），()()224
2
'1x x f x x ++=+，
当1
2x --＜＜f ′（x ）＜2，当2x -+＞f ′（x ）＞2，
所以函数f （x
）在(1
2--+，
上单调递减，在()2-++∞单调递增． （Ⅱ）设()()2
211
x g x ln x ax x =++-+， 则()()()()()22222121142
1'(1)21
11x x x x g x a a a x x x +++-++=-=-=--+-+++， 因为x ≥2，故211(1)01
x ---≤+＜， （ⅰ）当a ≥1时，1﹣a ≤2，g ′（x ）≤2，所以g （x ）在[2，+∞）单调递减，
而g （2）＝2，所以对所有的x ≥2，g （x ）≤2，即f （x ）≤ax ；
（ⅱ）当1＜a ＜1时，2＜1﹣a ＜1
，若201a x a ⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪-⎝⎭
，，则g ′（x ）＞2，g （x ）单调递增，
而g （2）＝2
，所以当201a x a ⎛
-∈ -⎝⎭
，时，g （x ）＞2，即f （x ）＞ax ； （ⅲ）当a ≤1时，1﹣a ≥1，g ′（x ）＞2，所以g （x ）在[2，+∞）单调递增，
而g （2）＝2，所以对所有的x ＞2，g （x ）＞2，即f （x ）＞ax ；
综上，a 的最小值为1．
（Ⅲ）由（1﹣a n +1）（1+a n ）＝1得，a n ﹣a n +1＝a n •a n +1，由a 1＝1得，a n ≠2， 所以1111n n a a +-=，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，1为公差的等差数列， 故1n n a =，1n a n =，111
n a n +=+， 112n n n n a S lna a ++-＞⇔()()111112123n ln n n n +++++++＜， 由（Ⅱ）知a ＝1时，()2
2121
x ln x x x ++≤+，x ＞2， 即()()
2121x ln x x x +++＜，x ＞2． 法一：令1x n
=，得()11121n ln n n n n +++＜， 即()1111121ln n lnn n n n
⎛⎫+-+- ⎪+⎝⎭＜
因为()()()1111 112121n k n ln k lnk ln n k k n =⎡⎤⎛⎫+-+-=++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣
⎦∑， 所以()()111112123n ln n n n ++
+++++＜， 故112n n n n
a S lna a ++-＞． 法二：112n n n n a S lna a ++-＞⇔()()
111112321n ln n n n +++++++＞ 下面用数学归纳法证明．
（1）当n ＝1时，令x ＝1代入()()2121x ln x x x +++＜，即得1124
ln +＞，不等式成立 （1）假设n ＝k （k ∈N *，k ≥1）时，不等式成立，
即()()
111112321k ln k k k +++++++＞， 则n ＝k +1时，()()1111111231211
k ln k k k k k +++++++++++＞， 令11x k =+代入()()
2121x ln x x x +++＜， 得()()()()()()()()121121
1111212211211212k k k k ln ln k ln k ln k k k k k k k k k k ++++++++++++++++++++＞＞ ()()()()
()()21
12221222k k k ln k ln k k k k +++=++=+++++， 即：()()
111121223122ln k k k k +++++++++＞， 由（1）（1）可知不等式()()111112321n ln n n n +
++++++＞对任何n ∈N *都成立． 故112n n n n
a S lna a ++-＞． 考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前n 项和；5、不等式的证明．
21、（1）1
(,][2,)3
-∞-⋃+∞（2）(,8]-∞-
【解析】
（1）依题意可得41|21|2x x --+≥，再用零点分段法分类讨论可得；
（2）依题意可得42x a x -≥+对x R ∀∈恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为R ，得到不等式即可解得；
【详解】
解：（1）若1a =，()|21|f x x =-，则(2)(1)2f x f x -+≥，即41|21|2x x --+≥， 当12x ≤-
时，原不等式等价于14212x x -++≥，解得12
x ≤- 当1124x -<<时，原不等式等价于14212x x ---≤，解得13x ≤-，所以1123x -<≤-； 当14
x ≥时，原不等式等价于41212x x ---≥，解得2x ≥； 综上，原不等式的解集为[)1,2,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦
； （2）(2)2f x x -≥即42x a x -≥+，得42x a x -≥+或42x a x -≤--，
由42x a x -≥+解得23
a x +≥
， 由42x a x -≤--解得25a x -≤， 要使得(2)2f x x -≥的解集为R ，则2253
a a -+≥ 解得8a ≤-，故a 的取值范围是(,8]-∞-.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．
22、（1）
(1)2
n n λ+；（2）①1121b q q q ====；②证明见解析. 【解析】
（1）由条件可得11n n n n a a a a λ+--=，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求； （2）①若1μ=，可令12q q q ==，运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；
②当2k m =，441412m m m b b q μ-+=，4241432m m m b b q μ---=，由等比数列的定义和不等式的性质，化简变形，即可得到所求
结论．
【详解】
解：（1）11a =，2a λ=，且2111(n
n n n n a a a a a λλ+--=-为非零常数，2n ，*)n N ∈，
可得11
n n n n a a a a λ+--=， 可得数列1{
}n n a a -的首项为λ，公差为λ的等差数列， 可得1(1)n n a n a λ-=-，前n 项和为(1)2n n λ+； （2）①若1μ=，可令12q q q ==，11n n n b b q -+=，
且21b q b =，即21b b q =，231q b b =，32
421
q q b b b ==，251b b q =， 对任意的*n N ∈，10n n b b +<，可得123450b b b b b <， 可得1q ，11b ，
数列{}n b 是等比数列，则2
213b b b =，2435b b b =， 可得11b q ==，111n n b b -+=，即23411b b b b ====， 又131n n b b ++=，即有13n n b b -+=，即1n b =， 数列{}n b 是等比数列的充要条件为1121b q q q ====；
②证明：对任意的2n ，*n N ∈，*111*2,21()·(0,2()
n n n n q n k k N b b q n k k N μμμ-+⎧=+∈=>⎨=∈⎩，10q >，20)q >， 当2k m =，441412m m m b b q μ-+=，4241432m m m b b q μ---=， 可得241243
m m b q b +-=，即43{}m b -以1b 为首项、22q 为公比的等比数列； 同理可得42{}m b -以2b 为首项、21q 为公比的等比数列； 对任意的*n N ∈，10n n b b +<，可得434241m m m b b b --+，
即有22222122112m m m b q b q b q --，
所以对*m N ∀∈，221221()1m b q b q -，222121221()1m b q b q q -， 可得21122(1)0q b m lg lg q b -+，122212(1)20q b m lg lg lgq q b -+-， 即12q q 且21q q ，则12q q =，可令120q q q ==， 故数列1b ，2b ，5b ，6b ，9b ，10b ，⋯，43m b -，42m b -，⋯ 是以1b 为首项，0q 为公比的等比数列，其中*m N ∈．
【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法和推理、运算能力，属于难题．。