西安市名校2020年高二第二学期数学期末统考试题含解析

西安市名校2020年高二第二学期数学期末统考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1． “因为偶函数的图象关于y 轴对称，而函数()2
f x x x =-是偶函数，所以()2
f x x x =-的图象关于
y 轴对称”.在上述演绎推理中，所以结论错误的原因是（ ）
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．大前提与推理形式都错误
【答案】B 【解析】
分析：因为函数()2
f x x x =-不是偶函数，是一个非奇非偶函数，所以小前提错误.
详解：因为()2
f x x x =-,所以22
()()()()f x x x x x f x -=---=+≠，
所以函数f(x)不是偶函数，所以小前提错误.故答案为：B.
点睛：本题主要考查演绎推理中的三段论和函数奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A ．3y x = B ．1ln
|x |
y = C ．sin y x = D ．||2x y =
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数单调性和奇偶性的性质分别对选项进行判断即可 【详解】
对于A ，3
y x =为奇函数，在区间(0,)+∞为单调增函数，不满足题意； 对于B, 1
ln
|x |
y =为偶函数，在区间(0,)+∞上为单调递减的函数，故B 满足题意； 对于C,sin y x =为偶函数，在区间(0,)+∞上为周期函数，故C 不满足题意； 对于D, ||
2x y =为偶函数，在区间(0,)+∞为单调增函数，故D 不满足题意； 故答案选B 【点睛】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质. 3．幂函数
的图象过点(14,2
) ，那么(8)f 的值为（ ）
A 2
B ．64
C ．22
D ．
164
【分析】 【详解】
设幂函数的解析式为f x x α=（）， ∵幂函数f x （）的图象过点1
(4)2
，，
1
2112
4882248
f α
α-∴=∴=-∴===
，．（）. 选A
4．现有小麦、大豆、玉米、高粱种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有（ ）
A ．36种
B ．48种
C ．24种
D ．30种
【答案】B 【解析】 【分析】
需要先给右边的一块地种植，有4种结果，再给中间上面的一块地种植，有3种结果，再给中间下面的一块地种植，有2种结果，最后给左边的一块地种植，有2种结果，相乘即可得到结果 【详解】
由题意可知，本题是一个分步计数的问题 先给右边的一块地种植，有4种结果 再给中间上面的一块地种植，有3种结果 再给中间下面的一块地种植，有2种结果 最后给左边的一块地种植，有2种结果
根据分步计数原理可知共有432248⨯⨯⨯=种结果 故选B 【点睛】
本题主要考查的知识点是分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏。

5．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45
B ．55
C ．120
D ．165
分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410 C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为
3
11C ，从而得到答案．
详解：()()()2310
111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为22223
2341011
165.C C C C C +++⋯+== 故选D.
点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
6．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为()ˆ1y
ax a =--，若6
1
5i
i x
==∑，6
1
8i i y ==∑，则
a 的值为( )
A ．
14
11
B ．
32
C ．
711
D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意
6
1
5i
i x
==∑，6
1
8i i y ==∑可知，5
6x =
，43
y =，代入即可求这组样本数据的回归直线方程，即可求解出答案。

【详解】
依题意知56x =
，84
63
y ==，而直线$()1y ax a =--一定经过点()
,x y ， 所以54163a a -+=，解得1411
a =．故答案选A 。

【点睛】
本题主要考查了根据线性回归方程的性质求回归直线，线性回归直线ˆa y bx =+$$过点()
,x y ，这个点()
,x y
称为样本点的中心，回归直线一定过此点。

7．一个几何体的三视图如图所示，若主视图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，左视图是底边为2的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A ．
103
B ．
113
C ．2
D ．4
【答案】A 【解析】
由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥，利用所给数据，求出三棱柱与三棱锥的体积，从而可得结果. 【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥， 画出几何体的直观图，如图，
把几何体补形为一个直三棱柱ABG DCH -， 由三视图的性质可知三棱柱的底面面积1
2112
ABG S ∆=⨯⨯=，高4BC =， 所以4ABG DCH ABG V S BC -∆=⋅=，
13E DCH F ABG ABG V V S --∆==1
3
FG ⋅=,
所以，几何体的体积为1110
4333
--=.故选A.
【点睛】
本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 8．i 是虚数单位，若12(,)1i
a bi a
b R i
+=+∈+，则+a b 的值是 （ ） A ．12-
B ．2-
C ．2
D ．
12
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
12331
,,21222
i i a bi a bi a b a b i ++=+⇒=+⇒==+=+ 9．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
被圆3ρ=截得的弦长为（ ） A ．22B ．2
C ．25
D ．3
【解析】
试题分析：将极坐标化为直角坐标可得22x y +=和2
2
9x y +=，圆心到直线的距离22
22
d =
=，故29425L =-=，所以应选C.
考点：极坐标方程与直角坐标之间的互化．
【易错点晴】极坐标和参数方程是高中数学选修内容中的核心内容，也是高考必考的重要考点.解答这类问题时，一定要扎实掌握极坐标与之交坐标之间的关系，并学会运用这一关系进行等价转换.本题在解答时充分利用题设条件，运用
将极坐标方程转化为直角坐标
方程，最后通过直角坐标中的运算公式求出弦长，从而使问题巧妙获解.
10．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A ．3
16 B ．38
C ．14
D ．
18
【答案】A 【解析】
设2AB =，则1BC CD DE EF ====. ∴1221
2224
BCI S ∆=
⨯⨯=，112242BCI EFGH S S ∆==⨯=平行四边形
∴所求的概率为11
3422216
P +
=
=⨯ 故选A.
11．已知数列{}n a 满足110,n a a +==1
1g(1)1
n a n +-+,则100a =( ) A ．1g101- B ．2-
C ．1g101
D ．2
【答案】B
分析：首先根据题中所给的递推公式1n a += 1
1g(1)1
n a n +-
+，推出11
lg(1)lg lg(1)1
n n a a n n n +-=-
=-++，利用累求和与对数的运算性质即可得出结果 详解：由1n a += 1
1g(1)1n a n +-
+， 可得11
lg(1)lg lg(1)1n n a a n n n +-=-
=-++， 即21321lg1lg 2,lg 2lg3,,lg(1)lg n n a a a a a a n n --=--=-⋯-=--， 累加得1lg1lg 2lg 2lg3+lg(1)lg n a a n n -=-+-+⋯--lg n =-， 又10a =，所以lg n a n =-，所以有100lg1002a =-=-，故选B.
点睛：该题考查的是有关利用累加法求通项的问题，在求解的过程中，需要利用题中所给的递推公式，可以转化为相邻两项差的式子，而对于此类式子，就用累加法求通项，之后再将100代入求解. 12．下列说法正确的是( )
A ．“f (0)0=”是“函数 f （x ）是奇函数”的充要条件
B ．若 p ：0x R ∃∈，2
0010x x -->，则
p ￢：x R ∀∈，210x x --< C ．“若6
π
α=
，则1sin 2α=
”的否命题是“若6
π
α≠，则1sin 2α≠”
D ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】
根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断即可． 【详解】
对于A ，f （0）＝0时，函数 f （x ）不一定是奇函数，如f （x ）＝x 2，x ∈R ； 函数 f （x ） 是奇函数时，f （0）不一定等于零，如f （x ）1
x
=，x≠0； 是即不充分也不必要条件，A 错误；
对于B ，命题p ：0x R ∃∈，2
0010x x -->
则￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≤0，∴B 错误； 对于C ，若α6
π
=，则sin α1
2
=
的否命题是 “若α6
π
≠
，则sin α1
2
≠
”，∴Ｃ正确． 对于D ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一假命题，∴Ｄ错误； 故选C ．
本题考查了命题真假的判断问题，涉及到奇函数的性质，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则(0)f =_____.
【答案】32
【解析】 【分析】
由图像可以计算出A ，ω，ϕ的值，即可得到三角函数表达式，然后计算出结果 【详解】 由图可知：3A =
由
741234
T πππ=-=，得T π=，从而22T πω==.
将点7,312π⎛
⎝732312πϕ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝⎭ 即7sin 16πϕ⎛⎫+=-
⎪⎝⎭
，又0ϕπ<<，所以7362ππϕ+=，得3π
ϕ=. 所以33
(0)332
f ϕ===. 【点睛】
本题考查了由函数图像求三角函数的表达式，熟练掌握图像是解题关键，较为基础 14．已知随机变量X 的分布列为P(X=i)=i
2a
(i =1,2,3),则P(X=2)=_____. 【答案】
13
【解析】
分析：根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a 的方程，解方程求得a 的值，最后求出P （X=2）．
详解：∵P （X=i ）=
i
2a
(i =1,2,3)， 1231222a a a ∴++= 612a
∴= ∴a=3， ∴P （X=2）=
2163
=. 故答案选：C ．
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质： ①P i ≥0，i ＝1，2，...；②P 1+P 2+ (1)
15．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线
上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =，且ACE △的面积为35，则p 的值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】
由题意知可求F 的坐标．由于//AB x 轴，||2||AF CF =，||||AB AF =，可得13
||||22
CF AB p ==，1||||2CE BE =
．利用抛物线的定义可得A x ，代入可取A y ，再利用1
3
ACE ABC S S ∆∆=，即可得出p 的值. 【详解】
解：如图所示，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，3
||2CF p =，||||AB AF =.AB Q 与x 轴平行，||2||AF CF =，
13||||22CF AB p ∴=
=，1||||2CE BE =．32A p x p ∴+=，解得5
2
A x p =，代入可取5A y p =，
111
3535332
ACE ABC S S p p ∆∆∴===g g g ，解得6p =
．
故答案为:6．
【点睛】
本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出A 的坐标后，如何根据已知面积列出方程.
16．某单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值两天，值两天的必须是相邻的两天，则不同的值班安排种数为______.（用数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】
依题意，先求出相邻2天的所有种数，再选2名值相邻的2天，剩下2人各值1天利用分步乘法计数原理即可求得答案． 【详解】
单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值两天，值两天的必须是相邻的两天． 故相邻的有12，34，5，6和12，3，45，6和12，3，4，56和1，23，45，6和1，23，4，56和1，2，34，56，共6种情形，
选2名值相邻的2天，剩下2人各值1天，故有22
426144A A =种，
故答案为：144. 【点睛】
本题主要考查了求事件的排列数，解题关键是理解题意结合排列数公式进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是3,D 是AC 的中点.
（1）求证：1//B C 平面1A BD ； （2）求二面角1A BD A --的大小； 【答案】（1）证明见解析；（2）3
π
. 【解析】
分析：⑴设1AB 与1A B 相交于点P ，连接PD ，根据题意可得1PD B C P ，利用线面平行的判定定理得到
1//B C 平面1A BD ；
⑵建立空间直角坐标系，求出法向量，然后运用公式计算二面角的大小 详解：（1）设与相交于点P ，连接PD ，则P 为中点，
D 为AC 中点，
PD//, 又
PD
平面
D ，
//平面
D.
（2）如图建立空间直角坐标系，
则D （0，0，0），A （1，0，0），
（1，0，），B （0，，0），（0，，）=（-1，
，-），
=（-1，0，-
）
设平面的法向量为n=（x ，y ，z ）
则n
n
则有，得n=（，0，1）
由题意，知=（0，0，）是平面 ABD 的一个法向量。

设n 与所成角为， 则，
二面角的大小是.
点睛：本题主要考查了线面平行的判定定理，要求二面角平面角的大小，可以采用建立空间直角坐标系的方法，给出点坐标，求出各面上的法向量，利用公式即可求出角的大小。

18．某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研:项目A :通信设备.根据调研,投资到该项目上，所有可
能结果为:获利40%、损失20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为71,,126
a ；项目B :新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为:获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为
b
c ，.经测算，当投入, A B 两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等.
(1)求, , a b c 的值;
(2)若将100万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
【答案】 (1) 14a =，34b =，14c =；(2) 从风险控制角度，建议该投资公司选择项目B . 【解析】
【分析】
（1）根据概率和为1列方程求得a 的值，再利用分布列和数学期望列方程组求得b 、c 的值；（2）计算均值与方差，比较即可得出结论．
【详解】
（1）依题意，711126a ++=，14
a ∴=， 设投入到项目,A B 的资金都为x 万元，变量1X 和2X 分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，则1X 和2X 的分布列分别为
由分布列得 ()17110.40.200.21264
EX x x x =⨯+-⨯+⨯=， 20.30.1EX bx cx =-，
因为12EX EX =所以0.30.10.2bx cx x -=，即0.30.10.2b c -=，
又1b c +=，解得34b =，14c =；14a ∴=，34b =，14
c = （2）当投入100万元资金时，由（1）知100x =，所以1220EX EX ==，
()()()2221711402020200206001264
DX =-⨯+--⨯+-⨯=，
()()222313020102030044
DX =-⨯+--⨯=， 因为12DX DX >，说明虽然项目A 和项目B 的平均收益相等，但项目B 更稳妥，
所以，从风险控制角度，建议该投资公司选择项目B .
【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．
19．已知椭圆2cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩
（ϕ为参数），A ，B 是C 上的动点，且满足OA OB ⊥（O 为坐标原点），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，点D 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
. （1）求椭圆C 的极坐标方程和点D 的直角坐标；
（2）利用椭圆C 的极坐标方程证明2211OA OB +为定值.
【答案】（1）2223sin 4ρρθ+=
，(2,；（2）证明见解析 【解析】
【分析】
（1）利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式即可求出椭圆C 的极坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式求出点D 的直角坐标即可；
（2）利用（1）中椭圆C 的极坐标方程，设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+
⎪⎝⎭
，根据极坐标系中ρ和θ的定义，结合三角函数诱导公式即可证明.
【详解】 （1）由题意可知，椭圆C 的普通方程为2
214
x y +=， 把cos ,sin x y ρθρθ==代入椭圆C 的普通方程可得，
椭圆C 的极坐标方程为2223sin 4ρρθ+=，
因为点D 的极坐标为4,3π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， 所以4cos 34sin 3x y ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以点D
的直角坐标为(2,.
（2）证明：由（1）知，椭圆C 的极坐标方程为2223sin 4ρρθ+=， 变形得22413sin ρθ
=+， 由OA OB ⊥，不妨设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
， 所以2222121111
OA OB ρρ+=+ 222213sin 13sin 23sin 3cos 524444
πθθθθ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=+==， 所以2211OA OB +为定值54
. 【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式及利用极坐标系中ρ和θ的定义求解椭圆中的定值问题；考查逻辑推理能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于中档题.
20．已知直线l
的参数方程为422x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建
立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．
(1)求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；
(2)动点P 在圆C 上(不与A ，B 重合)，试求△ABP 的面积的最大值．
【答案】（1）(x －2)2＋y 2＝4
；（2）2
＋【解析】
【分析】
（1）圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程代入圆C 的的直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义，即可求解；
（2）要求△ABP 的面积的最大值，只需求出点P 到直线l 距离的最大值，将点P 坐标设为圆方程的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性，即可求解.
【详解】
(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2－4x ＝0，
所以圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.
设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2.
将直线l 的参数方程代入圆C ：
(x －2)2＋y 2＝4，并整理得t 2＋＝0，
解得t 1＝0，t 2＝－
所以直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为|t 1－t 2|＝.
(2)由题意得，直线l 的普通方程为x －y －4＝0.
圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩
(θ为参数)， 可设圆C 上的动点P(2＋2cos θ，2sin θ)，
则点P 到直线l 的距离
d |2cos()
4πθ=+，
当cos()4π
θ+＝－1时，d 取得最大值，且d 的最大值为2.
所以S △ABP ＝
12×)＝2＋
即△ABP 的面积的最大值为2＋【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线参数方程几何意义的应用，以及利用圆的参数方程求最值，属于中档题.
21．已知不等式|1||21|3x x -++<的解集为M ．
（1）求集合M ；
（2）设,a b M ∈，证明：||1||ab a b +>+．
【答案】（1）{|11}M x x =-<<;（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）使用零点分段法，讨论1x ≥，112x -<<以及12
x ≤-的范围，然后取并集，可得结果. （2）根据（1）的结论，可得||1||||ab a b +>+，然后使用三角不等式||||||a b a b +≥+，可得结果.
【详解】
(1)当1x ≥时， ()1213f x x x x =-++=．
由()3f x <，得x 无实数解 当112
x -<<时， ()1212f x x x x =-++=+．
由()3f x <，得112x -
<< 当12
x ≤-时， ()1213f x x x x =---=-． 由()3f x <，得112
x -<≤- 综上， {|11}M x x =-<<
（2）,a b M ∈Q ，
1,1a b ∴-<<，即||1||1a b <<
(||1)(||1)0a b ∴-->，即||1||||ab a b +>+
又||||||a b a b +≥+，||1||ab a b ∴
+>+ 【点睛】
本题考查利用零点分段法求解绝对值不等式，还考查三角不等式的应用，掌握零点分段的解法以及常用的一些不等式，比如：基本不等式，柯西不等式，属基础题.
22．不等式5212
x x ->+的解集是A ，关于x 的不等式22450x mx m --≤的解集是B 。

(1)若1m =,求A B I ；
(2)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围。

【答案】 (1) [)1,1A B ⋂=- (2) (][),?
12,m ∈-∞-⋃+∞ 【解析】
【分析】
(1)解集合A ，当1m =解得集合B,从而可得A B ⋂；（2）由A B B ⋃=可得A B ⊆，对m 进行讨论得出集合B 的范围即可得出m 范围.
【详解】
（1）5212
x x ->+,解得-21x <<即()2,1A =-，由1m =得2450x x --≤，所以[]1,5B =-,所以[)1,1A B ⋂=-;
(2)22 450x mx m --≤ 即()()50x m x m +-≤ (i)[]
0,,5m B m m >=-,所以2m -≤-且51m ≥，得2m ≥；(ii)[]0,5,m B m m <=-,所以52m ≤-且1m -≥，得1m ≤-；
综上，(][
),12,m ∈-∞-⋃+∞.
【点睛】
本题考查了分式不等式和二次不等式的解法，集合交集的运算，集合补集运算的转化，属于中档题.。