韦达定理及其变式的应用

韦达定理及其变式的应用
韦达定理的定义与推导过程
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若x1,x2是它的两个实数根，则：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a
这就是一元二次方程根与系数关系，常称为"韦达定理"，韦达定理体现了整体思想。

韦达定理的应用
⑴已知一根，求另一根及方程中所含参数的问题
⑵已知方程中两根满足的关系，确定方程中字母系数的值或者取值范围
⑶利用韦达定理，判断根的正负性
练习：
1.①已知x1,x2是方程x2-3x+2=0的两根，则x1+x2=（），x1x2=（）
②已知x1,x2是一元二次方程x2+6=5x的两个根，则x1+x2+x1x2=
（）
2.已知x1,x2是方程2x2-5x-4=0的两个根
求：①(x1-2)(x2-2)；②x12+x22
3.⑴已知x=2是关于x的一元二次方程x2+3x+m-2=0的一个根，m的值（）及方程的另一个根（）
⑵已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+b=0的两个实数根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（）
4.已知关于x的一元二次方程8x2-(m-1)x+m-7=0
⑴m为何值时，方程有一根为零？
⑵m为何值时，方程的两个根互为相反数？
⑶是否存在m，使方程的两个根互为倒数？若存在，请求出m的值；不存在，请说明理由。

5.⑴已知a，b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则a2-b+2019的值是（）
A.2023
B.2021
C. 2020
D.2019
⑵已知x1，x2是一元二次方程x2-3x+1=0的两实数根，则
1/(1-3x1)+1/(1-3x2)的值是（）
A.-7
B.-1
C. 1
D.7
小练习解析
1. ①3，2；②11
2. ①解：原式=x1x2-2(x1+x2)+4=-4/2-2×5/2+4=-3
②解：原式=(x1+x2)2-2x1x2=(5/2)2-2×(-2)=41/4
3. ⑴-8，-5；⑵a=-3/2，b=1
4. ⑴给解代入，把x=0代入原方程得：m=7
⑵x1+x2=0，-b/a=(m-1)/8=0，则m=1.验证：此时△=02-4×8×(-6)
＞0，所以m=1
⑶x1x2=1，c/a=(m-7)/8=1，m=15，验证：此时△=142-4×8×8＜0，则m=15不成立，不存在满足条件的m值
5. ⑴∵a是根
∴a2+a-3=0
∴a2=3-a
则原式=3-a-b+2019=2022-(a+b)=2023，选A ⑵x1+x2=3，x1x2=1
原式=(1-3x2+1-3x1)/(1+9x1x2-3(x1+x2))
=(2-3(x2+x1))/(1+9x1x2-3(x1+x2))
=(2-3×3)/(1+9-9)=-7，则选A。