二元一次方程组学案

初二数学《二元一次方程组》学案
学习目标
1、通过对实际问题的分析，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。

2、了解二元一次方程、二元一次方程组的概念。

3、了解方程解的概念，会判断一组数是不是某个二元一次方程（组）的解。

知识链接
1、一元一次方程的定义，“元”与“次”分别指的是什么？
2、一元一次方程的解的概念。

3、怎样判断一组数是不是一元一次方程的解
探究新知
1、在某奥运吉祥物专卖柜，某种吉祥物荧光笔价格仅为每枝8元，某种吉祥物毛绒玩偶每只40元．小明在该专卖柜买了上述两种物品共10件，一共花了240元，用以收藏与送给亲戚朋友．请问：小明一共买了多少枝荧光笔？买了多少只毛绒玩偶？
若设小明买了荧光笔x 枝，买了毛绒玩偶y 只．
根据“小明在该专卖柜买了上述两种物品共10件”你能得到怎样的方程？
①_____________________；
根据“一共花了240元”你又能得到怎样的方程？
②_______________________；
2、一头老牛与一匹小马各自驮着一些包裹在路上行走，已知老牛驮的包裹比马驮的多2个。

如果将马背上的包裹拿掉一个放到牛背上，那么牛驮的包裹数就是马的2倍。

它们各自驮了多少包裹？
若设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹。

则：
①根据“已知老牛驮的包裹比马驮的多2个”你能得到怎样的方程？
②“如果将马背上的包裹拿掉一个放到牛背上，那么牛驮的包裹数就是马
的2倍。

”这时牛驮了_______个包裹，马驮了_______个包裹。

由此你又能得到怎样的方程？
思考：上面所列方程各含有____个未知数，未知数的项的次数是______。

像这样，含有____个未知数，并且所含有未知项的次数都是____的方程叫做二元一次方程。

巩固新知A
判断下列方程是否是二元一次方程？
(1) x＋y＋z = 9， (2) x = 6，
(3) 2x＋6y =14， (4) xy＋y = 7，
(5) 7x＋6y＋4 =16 (6) x2＋y = 6
上面探究新知中第2题中两个方程中的x的含义相同吗？___________，y 呢？________。

x，y是否同时满足上面两个方程？。

我们把形如 x= y+2 与x＋1＝2(y－1)这样的含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程叫做二元一次方程组
巩固新知B
它们是二元一次方程组吗？
2x+3y=3 x ＋y ＋z ＝9
x-3y=0
3x －2y ＝6
x=3 y =x +9
你能找出：适合方程 x ＋y ＝10 的x ，y 值吗？ 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 例如：x ＝2，y ＝8是方程 x ＋y ＝10的一个解，记作 x ＝2
y ＝8
同样， x ＝5 也是方程 x ＋y ＝10的一个解．
y ＝5
你也会找出：适合方程 8x+40y=240 的x ，y 值吧？ 回顾一下： 适合方程 x ＋y ＝10与8x+40y=240中 的x ，y 的值吧
你能找到同时适合方程x ＋y ＝10与8x ＋40y ＝240的解吗？
就是它：
像这样，二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 回思：一般情况下，一个二元一次方程的解有多少个？二元一次方程组呢？ 巩固新知
1.根据题意，列方程组：
小明从邮局买了面值50分与80分的邮票共9枚，花了6.3元小明买了两种邮票各多少枚？
2.二元一次方程组 x+2y=10的解是_______
y=2x
（1） x=4， （2） x=3， （3） x=2， （4） x=4，
y=3
y=6
y=4
y=2
运用新知
1. 下面各组数，第▁▁组是x+2y=5的解: ①x=1，y=4②x=2，y=1.5③x=-1，y=3④x=5，y=0.5
2. 方程x+2y=9的解有（ ）个，在正整数范围内的解有（ ）个。

A.无数个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3. 已知 x=1是方程组 3x-(M+1)y=3的解,求N-M 的值. y=1 Nx+y=2
拓展题
1、把方程3x+4y+6=0变形，用含有x 的代数式表示y ，则y=▁▁▁▁
2、若 x=-0.5是方程5x+3y=1的解，那么α=▁▁▁
y=α
●自我小结：我掌握的知识
初二数学二元一次方程组的应用（1）学案
一、学习目标：
1、通过古代的"鸡兔同笼"等问题，使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤，让学生亲自经历与体验运用方程（组）解决实际问题的过程。

2、：进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的抽象、概括、分析解决实际问题的能力，培养学生的数学应用能力。

3、进一步丰富学生的数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识。

突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神。

三、知识链接：
1、列方程接应用题的关键是什么？
2、列方程接应用题的步骤是什么？
四、探究新知：
问题情境： "鸡兔同笼"问题：今有雉（兔）同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
提问：（1）"上有三十五头"的意思是什么？"下有九十四足"呢？
（2）你能根据（1）中的数量关系列出方程吗？
（3）你能解决这个有趣的问题吗？
五、运用新知：
自我尝试：
例1：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺。

绳长、井深各几何？
回思：
1、解本题的关键是什么？
2、应注意什么问题？
反馈练习：
必做题：
1、列方程解古算题：
"今有牛五、羊二，值金十两；有牛二、羊五，值金八两。

牛、羊各值金几何？
2、用一根绳子环绕一棵大树，如果环绕大树3周，那么绳子还多4尺;如果环绕大树4周,那么绳子又少了3尺.这根绳子有多长?环绕大树一周需要多少尺?
选做题:
《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食。

树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说："若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。

"你知道树上、树下各有多少只鸽子？
四：回顾与反思:
本节课所学知识是_____________________
运用的数学思想方法是_________________
初二数学 二元一次方程组的应用（新授）学案2（探究类） 学习目标
1.会正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。

2.让学生进一步经历与体验列方程组解决实际问题的过程，.培养学生分析问题与解决问题的能力。

知识链接
增长（亏损）率问题的公式？
原量 （1 增长率）=新量，或原量 （1 亏损率）=新量， ［师］我们来看一组填空题.(出示投影片)填空：
(1)某工厂去年的总产值是x 万元，今年的总产值比去年增加了20%，今年的总产值为_________.
(2)某工厂去年的总支出为y 万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出为_________.
(3)某工厂今年的利润为780万元，根据(1)、(2)可得_________=780万元(利润=总产值－总支出).
探究新知
例1.某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
根据题意得：
，解之得
答：去年的总产值为 万元，总支出 万元， 变式：若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？ 简析：如果设今年的总产值为x 万元，总支出为y 万元，则
200%
90%120780
=-=-y
x y x
让学生动手解这个方程组， 体验这种解法的繁琐，再让学生探索，受上例的启发，应该设间接未知数，设去年的总产值勤x 万元，总支出为y 万元，计算方便。

例2、 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5
单位蛋白质与1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质与0.4单位铁质，若病人每餐需要35单位蛋白质与40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
化简，得 ① ② 学生解上面的方程组得出
所以每餐需要甲原料 克、乙原料 克。

解此题需要注意以下两点：
1、甲（乙）原料所含蛋白质（铁质）=甲（乙）原料的质量×每克所含蛋白质（铁质）的含量。

2、甲原料所含蛋白质（铁质）+乙原料所含蛋白质（铁质）=营养品所含蛋白质（铁质。

运用新知
1、一、二班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%，如果一班的学生的体育达标率为87.%，二班的达标率为75%，那么一、二班的学生数各是多少？
探究新知
例3、甲、乙两相距6千米，两人同时出发，同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇，两人的平均速度各是多少？
解：设甲的平均速度是每小时行x千米，乙的平均速度是每小时行y，根据题意，得：
解这个方程组，得：x=
y=
答：平均每小时甲行千米，乙行千米。

运用新知
1、甲、乙两相距36千米两地相向而行，如果甲比乙先走2时，那么他
们在乙出发2.5时后相遇；如果乙比甲先走2时，那么他们在甲出发3时后相遇，甲、乙两人每时各走多少千米？
友情提示
1、做应用题时应强调列表分析数量关系的重要性。

3、设未知数有两种方法：（1）直接设元
（2）间接设元，当直接设元较繁时应间接设元。

反馈练习
1.某旅馆的客房有三人间与两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人
每天35元。

一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，并且每间客房正好住满，一天共花去住宿费1510元。

两种客房各租住了多少间？
2.某体育场的环形跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑与自行车。

如果反向而行，那么他们每隔30秒相遇一次。

如果同向而行，那么每隔80秒乙就追上甲一次。

甲、乙的速度分别是多少？
回顾反思
通过本节课的学习，你有什么收获？有什么困惑？
1. 32的十位数字为______，个位数字是_______。

32可表示为10×____+____。

如果一个两位数的十位数字为x ，个位上的数字为y ，那么这个两位数可表示为___________;如果交换个位和十位数字,得到的新两位数为________
2、一个两位数的十位数字为x ，个位上的数字为 y ，如果在它们的中间加一个零,变成一个三位数,那么这个三位数可表示为___________.
3、 32放在23的左边组成四位数，则3223=______×32+______。

两个两位数分别为x 和y ，如果将x 放到y 的左边就得到一个四位数,那么这个四位数可表示为___________;如果将x 放到y 的右边就得到一个新的四位数,那么这个新的四位数可表示为___________.
初二数学二元一次方程组的应用（3）学案
一、学习目标：
1、会列二元一次方程组解决实际问题。

2、用字母表示一个多位数时，要明确每位数上的数字的含义。

二、学习导航：
通过现实问题体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力，并进一步培养学生认真审题，仔细阅读的良好学习习惯。

三、知识链接：
四、探求新知： 有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把两个数字的位置对换， 那么所得的新数与原数的与是143，求这个两位数。

回思：本节课的解题关键是？ 应注意什么问题？ 五、运用新知： 自我尝试:
两个两位数的与是68，在较大两位数的右边接着写较小两位数，得到一
个四位数；在较大两位数的左边写上较小两位数，也得到一个四位数。

已知
前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。

解：设较大两位数为______，较小两位数为
_______。

反馈练习：
1、小明与小亮做加法游戏。

小明在一个加数后面多写了一个0。

得到的与为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的与为341。

原来两个加数分别是多少？
2、一个两位数，减去它的各位数字之与的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之与，商是5，余数是1。

这个两位数是多少？
3(选做)、小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路。

她跑步去学校公用了16分钟，已知小颖在上坡路上的速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时。

小颖上坡、下坡各用了多长时间？
回顾与反思：本节课所学的知识点是________________________ 用到的数学思想方法是__________________
初二数学二元一次方程与一次函数学案
一、学习目标：
1、了解二元一次方程与一次函数的关系；
2、掌握二元一次方程组的图象解法；
3、进一步培养数形结合的意识与能力。

二、知识链接：
(一)知识回顾：1、二元一次方程的一般形式是什么？
2、解二元一次方程组的思路与方法是什么？
3、一次函数一般表达式是什么?
（二）前置补偿：
1、点（2，2） 直线y=2x-1图像上，点（1，1） 直线y=2x-1图像上。

（填“在”或“不在”）
2、已知方程x-y = -1，用含x 的代数式表示y ：_______________。

此方程有 个解，请写出它的两个解 。

3
、解方程组
x+y=5
2x-y=1
4、如图,求一次函数的图像的解析式
三、探究新知：
（一）尝试探疑：
1、思考：问题1. 问题1.画出函数y=-x+5的图象，图象上的任意一点的坐标是否满足方程x+y=5？
问题
2. 以方程x+y=5的解为坐标的点在不在函数x+y=5的图象上？方程x-y=-1与函数y=-x+5有何关系？
【友情提示】画出函数y=-x+5的图象，在图象上找几个点，把它们的坐标代入方程x+y=5
，看看是否满足方程；反过来，求出方程
x+y=5
的几个解，在同一坐标系中描出以这几个解为坐标的点，看看它们是否在函数y=-x+5的图象上。

与同伴交流一下，从而得到结论：
y= 图像上。

3.(1)在同一坐标系下，画出y=-x+5与y=2x-1 的图象，他们的交点坐标是什么？
⑵方程组 的解为 由此可知一次函数x-y=2
标为 .
小结：因为函数与方程有以上关系，所以我们就可以用图象法解决方程问题，也可以用方程的方法解决图象问题。

（二）方程与函数关系的应用 用图象法解方程组
例1、解方程组 x+y=5
2x-y=1
你能说出用图像法解方程组的一般步骤吗？
你能说一下用图象法解方程组的不足吗？
四、巩固新知：
1、方程2x-y=2的解有 个，用含x 的代数式表示y 为 。

此时y 是x 的
例2、如图，
（1）从图象中你能获得哪些信息？（2）求图中的两直线l1、l2的解析式；
（3）交点坐标可以看作方程组的解；交点坐标是。

五、拓展延伸：
1、有一组数同时适合方程x+y=2与x+y=5吗？
2、一次函数y=2 –x，y=5 - x的图像之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？
六、运用新知：
1、已知在直角坐标系中，直线L1 经过点(2,3)与(-1,--3),直线L2经过原点且与直线L1交与点(-2,a)
（1）试求a的值
（2）试问(-2,a)可看作是哪个二元一次方程组的解？
（3）设交点为P，直线L1与y轴交与A，你能求出△APO面积吗？试试看。

2、已知两直线y=-4x+3与y=2x-1，求它们与y轴所围成的三角形的面积.。

七、交流评价：本节课你有什么收获？还有哪些困惑？
附加题：红太阳大酒店客房部有三人间、双人间与单人间客房，收费数据如下表（例如三人间普通间客房每人每天收费50元。

为吸引客源，在五一黄金周期间进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠。

一个50人的旅游团在五月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间普通客房，并且每个客房正好住满，一天一共花去住宿费1510元。

人，则双人间住了人，一天一共花去住宿费用
表示，写出y与x的函数关系式；
③在直角坐标系内画出这个函数图象;
④如果你作为旅游团团长，你认为上面这种住宿方式是不是费用最少？为什么？
初二数学二元一次方程组（复习）学案
一、构建网络
二、巩固网络
1.判断下列方程(或方程组)是否为二元一次方程(组)，并说明理由. (1)2x －y=3 (2)x －y
1
=0 (3)⎩⎨⎧=+=31y x xy (4)⎩
⎨⎧=-=72
y x x
(5)⎩
⎨
⎧=+=-21
z y y x
回思：
第1小题由主要是能正确地理解二元一次方程(组).特别是二元一次方程是含有两个未知数，且含未知数的项的次数是一次的整式方程.
2.若3a 7x b y+7与－7a 2－4y b 2x 是同类项，则x=_________,y=_________.
3.若方程组⎩⎨
⎧=+=-24ay bx by ax 与方程组⎩
⎨⎧=-=+5543
32y x y x 的解相同，则a,b 的值分别是
A.－2，－4
B.2，4
C.2，－4
D.－2，4 4.若⎩
⎨
⎧==⎩⎨
⎧==22
11y x y x 及都是方程ax+by+2=0的解，试判断⎩
⎨⎧==53
y x 是否为方程ax+by+2=0的又一个解？
回思：
第2、3、4题都是确定未知数值的问题.其中第2题应依照同类项的定义布列二元一次方程组来求解，第3、4题应根据方程组解的定义来求解，在第4题确定
了方程ax+by+2=0中的a,b 的值后再做判断.
5.解方程组 (1)⎩
⎨⎧=-+=-;015325
y x y x
(2)⎩
⎨
⎧-=-=+;2359
23x y y x
回思：这两个小题各用了什么消元法？
6.初一·二班有男女同学共52人，女生人数的一半比男生总数少4人；若设男生人数为x 人，女生人数为y 人，则可列方程组为_________. 回思：
题目中的已知数、未知数及其蕴含的相等关系是什么？ 7.用图象法解方程组：⎩
⎨
⎧+-=-=21
2x y x y
回思：作图时应注意什么问题？
Ⅳ.课时小结
通过对这一章所学知识的系统总结，我们已能从实际问题情境中加强了对概念、方法意义的理解，掌握了解二元一次方程组的三种方法及所渗透的重要数学思想.
三、尝试范例
例1.已知：
5613
7181
x y
x y
+=
+=-
⎧
⎨
⎩
的解也是方程2x－ay=18的一个解，求a的值。

分析：已知方程组
5613
7181
x y
x y
+=
+=-
⎧
⎨
⎩
的解可求为
x
y
=
=-
⎧
⎨
⎩
5
2
，因为
x
y
=
=-
⎧
⎨
⎩
5
2
也是方程2x
－ay=18的一个解，所以x、y的值必适合方程2x－ay=18，把解代入这个方程中，转化为关于a的一元一次方程，即可求出a的值。

例2.m为何值时，方程组
352
2718
x y m
x y m
-=
+=-
⎧
⎨
⎩
的解互为相反数？
分析：方程组的解互为相反数，即x＋y=0，可求得x=－y。

再把x=－y分别代入原
方程组两方程中，转化为关于m与y的方程组，即可求出m的取值。

四、反馈练习
1.填空题(1)方程2x－3y=5中，用含x的代数式表示y为。

(2)在
x
y
x
y
=
=
⎧
⎨
⎩
=
=
⎧
⎨
⎩
6
3
3
6
和中是方程3x－2y=12的解。

(3)若
x
y
=
=-
⎧
⎨
⎩
1
3
是方程7x－my=11的一个解，则m= 。

(4)已知x y kx y
+++=+=
1230
1
2
2
(),且，则k= 。

(5)已知
x
y
x
y
=
=
⎧
⎨
⎩
=-
=
⎧
⎨
⎩
1
2
和都是方程kx＋y=b的解，则k= ，b= 。

(6)已知x y z
-++++=
121320
22
()()，则2x－y＋z= 。

3.已知方程组
352
23
x y m
x y m
+=+
+=
⎧
⎨
⎩
的x、y的值的与等于2，求m2－2m＋1的值。

4.已知方程组
25
30
x ky
x y
+=
-=
⎧
⎨
⎩
有正整数解，求k的整数解。

5.列方程组解应用题。

A、B两地相距18公里，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，两小时
后在途中
相遇，相遇后甲返回A地，乙继续向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2公里，求甲、乙两人的速度。