河北历届中考数学试卷（2000年-2011年）

2000年河北省初中升学统一考试数学试题
一、填空题（本大题共10个小题；每小题2分，共20分）
2．分解因式：2x3y+8x2y2+8xy3=______．
3．已知：如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC、BD相交于点O，那么，图中全等三角形共有______对．
5．已知∠A是它补角的3倍，则∠A=______．
6．已知A、B两地相距s千米，甲、乙两人的速度分别是a千米/时、b千米/时，若甲从A地、乙从B地同时出发，相向而行，那么，到他们相遇时，所用的时间是______小时．
7．已知：如图2，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P，且AB=10cm，PB=4cm，PC=2cm，贝则OC的长等于______cm．
8．已知：|x|=3，|y|=2，且xy＜0，则x+y的值等于______．
9．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是______．10．已知：如图3，CD是⊙O的直径，AE切⊙O的于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A=20°，则∠DBE=______．
二、选择题（本大题共10个小题；每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把符合题目要求的选项前的字母填写在题后括号内）
1．下列运算中正确的是[ ]
A．x2²x3=x6．B．（x2）3=x5．D．3x2-2x（x+1）=-x2-2x．
2．0.00813用科学记数法表示为[ ]
A．8.13³10-3． B．81.3³10-4．C．8.13³10-4．D．81.3³10-3．
3．已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形是[ ]
A．三角形． B．四边形．C．五边形．D．六边形．
4．已知矩形的对角线长为10cm，那么，顺次连结矩形四边中点所得的四边形周长为[ ] A．40cm．B．10cm．C．5cm．D．20cm．
5．已知点M（1-a，a+2）在第二象限，则a的取值范围是[ ]
A．a＞-2．B．-2＜a＜1．C．a＜-2． D．a＞1．
6．已知y=（a-1）x a 是反比例函数，则它的图象在[ ] A ．第一、三象限． B ．第二、四象限．C ．第一、二象限． D ．第三、四象限．
7.用换元法解方程
06151=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x x 时，若设y x x =+1
则原方程可化为[ ] A ．y 2+6y+5=0． B ．5y 2+y+6＝0．C ．y 2+5y+6=0． D ．6y 2+5y+1=0．
8．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的[ ] A ．2倍．
B ．3倍．
C ．4倍．
D ．5倍．
9．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则该等腰梯形的面积为[ ] A ．16cm 2． B ．32cm 2。

C ．64cm 2． D ．512cm 2．
10．在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程x 2-7x+c+7=0的两根，那么AB 边上的中线长是[ ] A.
23. B.2
5
. C.5. D.2. 三、（本大题共2个小题，每小题6分，共12分）
2．已知：如图4，l 1∥l 2∥l 3，AB=3，BC=5，DF=12．求DE 和EF 的长．
四、（本大题共2个小题；每小题7分，共14分）
1．为了解学生的身高情况，抽测了某校17岁的50名男生的身高．数据如下（单位：米）：
若将数据分成7组，取组距为0.03米，相应的频率分
布表是：
请回答下列问题：
（1）样本数据中，17岁男生身高的众数、中位数
分别是多少？
（2）依据样本数据，估计这所学校17岁的男生中，
身高不低于1.65米且不高于1.70米的学生所占的百分比；
（3）观察频率分布表，指出该校17岁的男生中，身高
在哪个数据范围内的频率最大．如果该校17岁的男生共有
350人，那么在这个身高范围内的人数估计有多少人？
2．已知：如图5，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD∶DB=2∶3，AC=10．求sinB的值．
五、（本大题共2个小题；每小题8分，共16分）
1．某工厂有甲、乙两条生产线先后投产．在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200吨成品；从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品．
（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y（吨）与从乙开始投产以来所用时间x（天）之间的函数关系式，并求出第几天结束时，甲、乙两条生产线的总产量相同；
（2）在图6所示的直角坐标系中，作出上述两个函数在第一象限内的图象；观察图象，分
别指出第15天和第25天结束时，哪条生产线的总产量高？
2．观察下列各式及其验证过程：
形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
六、（本大题12分）
已知：如图7，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
七、（本大题13分）
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图8所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．
在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水
米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的
米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
八、（本大题13分）
在如图9所示的直角坐标系中，点C在y轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，OA=2，∠AOC=60°，以OA为直径的⊙P经过点C，点D在y轴上，DM为始终与y轴垂直且与AB边相交的动直线．设DM与AB边的交点为M（点M在线段AB上，但与A、B两点不重合）点N是DM与BC的交点，设OD=t．
（1）求点A和B的坐标；
（2）设△BMN的外接圆⊙C的半径为R，请你用t表示R及点G的坐标；
（3）当⊙G与⊙P相外切时，求直角梯形OAMD的面积．
参考答案及评分标准
二、1．C；2．A；3．B；4．D；5．D；6．B；7．A；8．C；9．C；10．B．
2分
3分
5分
=5． 6分
2．∵l1∥l2∥l3，3分
5分
∴EF=DF-DE
6分
四、1．（1）样本数据中，17岁男生身高的众数、中位数依次是1.69（米）、1.69（米）．2分
（2）在样本数据中，身高不低于1.65米且不高于1.70米的学生占54%，估计这所学校17岁的男生中，身高不低于1.65米且不高于1.70米的学生占54%． 4分
（3）从频率分布表中可以看出，该校17岁的男生中，身高在1.685米～1.715米这个范围内的频率最大； 5分
当该校17岁的男生人数为350人时，估计该校在这个身高范围内的人数是119人． 7分2．由已知AD∶DE=2∶3，可设AD=2k，DB=3k（k＞0）．
∵AC切⊙O于点C，线段ADB为⊙O的割线，
2分
∵AB=AD+DB=2k+3k=5k，
4分
5分
∵AC切⊙O于点C，BC为⊙O的直径，∴AC⊥BC．6分
7分
五、1．（1）由题意可得：甲生产线生产时对应的函数关系式是y=2x+200；
乙生产线生产时对应的函数关系式为y=30x．2分
令20x+200=30x，解得x=20，即第20天结束时，两条生产线的产量相同．4分
（2）由（1）可知，甲生产线所对应的生产函数图象一定经过两点A（0，200）和B（20，600）；乙生产线所对应的生产函数图象一定经过两点O（0，0）和B（20，600）．
因此图象如右图所示． 6分
由图象可知：第15天结束时，甲生产线的总产量高；第25天结束时，乙生产线的总产量高．8分
2分
4分
（2）由题设及（1）的验结果，可猜想对任意自然数n（n≥2）都有
6分
7分
8分
六、（1）∵DE⊥BC，D是BC中点，∴EB=EC，∴∠B=∠1．2分
又∵AD=AC，∴∠2=∠ACB．4分
∴△ABC∽△FCD．6分
（2）[方法一]：过点A作AM⊥BC，垂足为点M．∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
7分
8分
9分
11分
12分
说明：本题也可运用△ABC∽△FCD，由相似比为2，证出F是AD的中点，通过“两三角形等底、等高，则面积相等”，求出S△ABC=20．
[方法二]：作FH⊥BC，垂足为点H．
∴FH=2．7分
过点A作AM⊥BC，垂足为点M．∵△ABC∽△FCD，∴AM=4．9分
又∵FH∥AM，∴点H是DM的中点．10分
11分
12分
七、（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解的式为
1分
由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）、（2，-10），2分
5分
6分
∵抛物线对称轴在y轴右侧，又∵抛物线开口向下，∴a＜0．
∴抛物线的解析式为. 8分
时， 10分
12分
∴此时运动员距水面的高为因此，此次试跳会出现失误．13分
八、（1）连结AC．∵OA为⊙P的直径，∴∠ACO=90°又∵OA=2，∠AOC=60°，
2分
又OABC为平行四边形，∴ABOC，3分
（2）∵DM⊥y轴，且AB∥OC，∴DM⊥AB，∴∠NMB=90°∴⊙G的圆心G为BN的中点．5分
又∵∠B=∠AOC=60°，
而点B的纵坐标为2，点M的纵坐标等于点D的纵坐标等于t，
∴BM=2-t，∴R=2-t．6分
过点G作GH∥y轴，交x轴于点H，交DM于点F．过点G作GK∥x轴，交AB于点K．根据垂径定理，得到设点C的坐标为（x，y），
8分
（3）连结GP；过点P作PE∥x轴，交GH于点E．由PE⊥GE，根据勾股定理，得
. 9分
当⊙G与⊙P外切时，PG=R+1，
11分
12分
∴直角梯形OAMD的面积为
13分
[说明]：在解（3）求t时，也可先设两圆外切的切点为T，连结GT并延长可知知，GT一定通过点P，且与⊙P有另一交点Q，再设GC与⊙P的交点为Z；便可得到⊙P的两条割线GZC和GTQ，由切割线定理的推论便可求得t值．
河北省2001年初中升学统一考试
一、填空题（本大题共10个小题，每个小题2分，共20分）
1．用科学记数法表示12700的结果是____________． 2．分母有理化：
1
21-＝____________．
3．分解因式：2x －x y ＋x z －y z ＝____________．
4．如果∠A ＝35°18′，那么∠A 的余角等于____________． 5．用换元法解分式方程
1-x x ＋x
x 22-＋3＝0时，若设y ＝1-x x ，则由原方程化成的关于y 的整式方程是____________．
6．若三角形的三边长分别为3、4、5，则其外接圆直径的长等于____________． 7．如图1，A B 是⊙O 的弦，A C 切⊙O 于点A ，且∠BAC ＝45°，AB ＝2，则⊙O 的面积为____________．（结果可保留π）
图1
8．点A （a ，b ）、B （a －1，c ）均在函数y ＝x
1
的图像上，若a ＜0，则b ____________ c （填“＞”或“＜”或“＝” ）
9．在R t △ABC 中，锐角A 的平分线与锐角B 的邻补角的平分线相交于点D ，则∠ADB ＝____________．
10．在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道题．每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确．要求学生把正确答案选出来．每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分．如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么，他至少选对了____________道题． 二、选择题（本大题共10个小题；每个小题2分，共20分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把符合题目要求的选项前的字母填写在题后的括号内） 1．计算（2－1
）2
，结果等于（ ）． A ． 2
B ．4
C ．
4
1
D ．
2
1 12．有一边长为4的正n 边形，它的一个内角为120°则其外接圆的关径为，（ ）．
A ．34
B ．4
C ．32
D ．2
13．若x 1、x 2是一元二次方程3 x 2 ＋x －1＝0的两个根，则11x ＋2
1x 的值是（ ）． A ．－1 B ．0
C ．1
D ．2
14．已知三角形三条边的长分别是2、3和a ，则a 的取值范围是（ ）． A ．2＜a ＜3
B ．0＜a ＜5
C ．a ＞2
D ．1＜a ＜5
15．在一元二次方程a x 2＋b x ＋c （a ≠0）中，若a 与 c 异号，则方程（ ）． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．根的情况无法确定
16．如图2，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，A C ＝3，则
CD 的长为（ ）．
图2
A ． 1
B ．
2
3
C ．2
D ．
2
5 17．某所中学现有学生 4200人，计划一年后初中在校生增加8％，高中在校生增加11％，这样全校在校生将增加10％，这所学校现在的初中在校和高中在校生人数依次是（ ）． A ．1400 2800 B ．1900 2300 C ． 2800 1400 D ．2300 1900 18．已知二次函数的图像经过（1 ，0 ）、（2 ，0 ）和（0 ，2 ）三点，则该函数的解析式是（ ）．
A ．y ＝2x 2＋x ＋2
B ．y ＝x 2＋3x ＋2
C ．y ＝x 2－2x ＋3
D ．y ＝x 2－3x ＋2
19．如图3，在矩形ABCD 中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（ ）．
图3
A ．bc －ab ＋ac ＋c 2
B ．ab －bc －ac ＋c 2
C ．a 2＋ab ＋bc －ac
D ．b 2－bc ＋a 2－ab
20．已知等腰三角形三边的长为a 、b 、c ，且a ＝c ．若关于x 的一元二次方程 ax 2－2bx ＋c ＝0的两根之差为2，则等腰三角形的一个底角是（ ）． A ．15°
B ．30°
C ． 45°
D ．60°
三、（本大题共2个小题，每个小题7分，共14分） 21．先化简，再求值：
22+-x x －2
2
-+x x ，其中x ＝2． 22．已知：如图4，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点． 求证：△ADQ ∽△QCP ．
四、（本大题共2个小题；每个小题8分，共16分）
23．如图5，⊙O 表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，并且MB ︰MA ＝1︰4．求工件半径的长．
图4 图5
24．某班同学参加环保知识竞赛，将学生的成绩（得分取整数）进行整理后分成五组，绘成频率分布直方图（如图6）．图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1︰3︰6︰4︰2，最右边一组的频数是6，结合直方图提供的信息，解答下列问题：
图6
（1）该班共有多少名同学参赛？
（2）成绩落在哪组数据范围内的人数是多，是多少？
（3）求成绩在60分以上（不含60分）的学生占全班参赛人数的百分率． 五、（本题满分12分）
25．甲乙两辆汽车在一条公路上匀速行驶．为了确定汽车的位置，我们用数轴O 表示这条公路，原点O 为零千米路标（如图7－1），并作如下约定：
图7-1
①速度µ＞0，表示汽车向数抽正方向行驶； 速度µ＜0，表示汽车向数抽负方向行驶； 速度µ＝0，表示汽车静止．
②汽车位置在数抽上的坐标S ＞0，表示汽车位于零千米路标的右侧； 汽车位置在数抽上的坐标S ＜0，表示汽车位于零千米路标的左侧； 汽车位置在数抽上的坐标S ＝0，表示汽车恰好位于零千米路标处．
遵照上述约定，将这两辆汽车在公路上匀速行驶的情况，以一次函数图像的形式画在了同一直角坐标繁中，如图7－2．请解答下列问题．
图7-2
（1）就这两个一次函数像所反映的两汽车在这条公路上行驶的状况填写如下的表格．
相遇，请说明理由． 六、（本题满分2分）
26．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交于AD 点O ，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实： （1）当
AC AE ＝21＝111
+时，有AD AO ＝32＝1
22+（如图8－1）；
（2）当
AC AE ＝31＝211
+时，有AD AO ＝42＝222+（如图8－2）； （3）当
AC AE ＝41＝311+时，有AD AO ＝52＝3
22+（如图8－3）；
图8-1 图8-2 图8-3 图8-4
在图8－4中，当
AC AE ＝n +11
时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AD
AO 的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）． 七、（本题满分13分）
27．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000知克，购进价格为每千克30．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．
图9
（1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y ＝a （x ＋a b 2）2 ＋a
b a
c 442
- 的形式，写出
顶点坐标；在图9所示的坐标系中画出草图；观察图像，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？ 八、（本题满分13分）
28．如图10，在菱形ABCD 中，ABCD ＝10，∠BAD ＝60°．点M 从点A 每秒1个单位长的速度沿着AD 边向点D 移动；设点M 移动的时间为t 秒（0≤t ≤10）．
图10
（1）点N 为BC 边上任意一点．在点M 移动过程中，线段MN 是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分？并说明理由；
（2）点N 从点BC （与点M 出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC 边向点
C 移动，在什么时刻，梯形ABNM 的面积最大？并求出面积的最大值；
（3）点N 从点B （与点M 出发的时刻相同）以每秒a （a ≥2）个单位长的速度沿着射线
BC 方向（可以超越点C ）移动，过点M 作MP ∥AB ，交BC 于点P ．当△MPN ≌△ABC 时，
设△MPN 与菱形ABCD 重叠部分的面积为S ，求出用t 表示S 的关系式，并求当S ＝0时a 的值．
评析 本卷命题注重了题型的创新设计，注重了学生灵活应用勇力的考查，特别是在检测阅读理解，接受消化信息加以利用能力上下了功夫，如题10，题25，题27，其目的是传达教与学的一种新型方式－教会学生学习方法，学会如何学习是教与学的目的．压轴题是一道涉及变量、动量的几何问题，考查了“以静求动 的解题能力” 的解题能力．
参考答案
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．1.27³104 2．2＋1 3．(x －y ) 4．54.7°(或54°42′) 5．y 2＋3y ＋2＝0 6．5
7．2π 8．＜
9．45° 10．19
二、选
择题（每小题2分，共20分）
11．C 12． B 13．C 14．D 15．A 16．C 17．A 18．D 19．D
20．B
三、(本大题共2个小题；每个小题7分，共14分)
21．解：22+-x x －22-+x x ＝
()()()2222
-+-x x x －()()()2222
+-+x x x ＝()()()()
22222
2
-++--x x x x
＝
()()
4
44442
22
-++-+=x x x x x
＝482--x x
． 当时x ＝2，原式＝
()
4
22
82
-⨯-＝42．
22．证明：在正方形ABCD 中，∵Q 是CD 的中点， ∴
QC
AD
＝2．∵PC BP ＝3，∴PC BC ＝4．又∵BC ＝2 DQ ，∴PC DQ ＝2．在△ADQ ∽QCP 中，
QC AD ＝PC
DQ
，∠C ＝∠D ＝90°，∴△ADQ ∽QCP ． 四、（本大题共2个题，每小题8分，共16分）
23．解：如图，过点M 作⊙O 的直径CD ，设⊙O 的半径为xcm ．∵AM ︰MB ＝4︰1，
AB ＝15，∴AM ＝15³
54＝12， MB ＝15³5
1
＝3．由相交弦定理可知：MA ²MB ＝CM ²MD ，即12³3＝（8＋x ）（8－x ），化简得：x 2
＝100，解得x 1＝10，x 2＝－10（舍去）．∴工件半径的
长为10．
24．解：（1）由直方图的意义可知：小长方形高的比等于频数的比．由最右边一组的频数为6可得：各组频数依次是3，9，18，12，6．3＋9＋18＋12＋6＝48，共有48个数据，即有48名学生参赛．
（2）成绩落在70.5～80.5数据范围内的人数最多，人数为18． （3）60分以上的人数是5．所占全班参赛人数的百分率为48
45
³100％＝93.75％． 五、（本题满分12分）
25．（1）甲车：x 轴负方向（向左）；40；零千米路标右侧190千米处．乙车：x 轴正方向（向右）；50；零千米路标左侧80千米处．
（2）甲乙两车相遇．设经过t 小时两车相遇，由⎩⎨⎧-=+-=.8050,19040s t s 得⎩⎨⎧==.
70,30s t 所以经过3
小时两车相遇，相遇在零千米路标右侧70千米处．
六
、
（本题满分12分）
26．解：依照题意可以猜想：当
AC AE ＝n +11
时，有AD AO ＝n
+22成立． 证明：过点D 作DF ∥BE 交于AC 点F ，∵D 是BC 的中点，∴F 是EC 的中点． 由
AC AE ＝n +11，可知EC AE ＝n 1，∴AF AE ＝n 2
，∴AF AE ＝n +22，∴AD AO ＝AF AE ＝n
+22．
七、（本题满分13分）
27．解：（1）
若销售单价为x 元，则每千克降低（70－x ）元，日均多售出2（70－x ）千克，日均销售量为［60＋2（70－x ）］千克，每千克获得为（x －30）元．
依题意得：y ＝（x －30）［60＋2（70－x ）］－500＝－2 x 2＋260 x －6500（30≤x ≤70）． （2）y ＝－2 （x 2－130 x ）－6500＝－2（x －65）＋1950．顶点坐标为（65，1950）． 经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元．
（3）当日均获利最多时：
单价为65元，日均销售60＋2（70－65）＝70千克，那么获总利为1950³70
7000
＝195000元．
当销售单价最高时单价为70元，日均销售60千克，将这种化工原料全部售完需60
7000
≈117天，那么获总利为（70－30）³7000－117³500＝221500元．
因为221500＞19500，且221500－19500＝26500元，所以，销售单价最高时获总利较多，且多获利26500元．
八
、
（本题满分13分）
28．解：（1）MN 一定能在某一时刻将菱形ABCD 分割成面积相等的两部分．［方法一］对于中心对称图形，过中心的任一直线均能将图形分割成面积相等的两部分．而且菱形是中心对称图形，在点M 由A 到D 的移动过程中，一定存在一个时刻，使得线段MN 过菱形的中心．［方法二］梯形ABNM 与梯形CDMN 等高，并设高为h ，欲使面积相等，只需AM ＝CN ． ∵AM ＝NC ＝t ，∴MD ＝BN ＝10－t ．∵S 梯形ABNM ＝2
)
10(t t -+²h ＝S 梯形CDMN ，∴存在一个时刻使将菱形分成面积相，等的两部分．
（2）过B 作BE ⊥AD ，垂足为E ．在Rt △ABE 中，BE 10sin60°＝53，∵ AM ＝t ，
BN ＝2t ， ∴S 梯形ABNM ＝21（t ＋2t ）³53＝2
3
15t.
∵2t ≤10，∴t ≤5时，S 梯形ABNM 最大． 最大面积为
2315×5＝2
375． （3）△ABC 是腰长为10的等腰三角形．当△MPN ≌△ABC 时，MP ＝10，PN ＝BC ＝10，且MP ＝PN ，∴BP ＝AM ＝t ，∴PC ＝10－t ，NC ＝t ．过P 作PG ⊥DC ，垂足为G
．在
R t △PGC 中，PG ＝sin60°=
2
3
（10－t ）． 设MN 交DC 于F ，∴DC ∥MP ，且MP ＝PN ，∴∠NFC = NMP ∠= MNP ，∴FC ＝NC ＝t ．∵重叠部分MPCF 是梯形， ∴S ＝
21（t ＋10）³23（10－t ）＝－4
3t 2＋253． 当S ＝0，即－
4
3t 2
＋253＝0时， 解得t 1＝10，t 2＝－10，（舍去）．∵BN ＝at ，BN ＝PN ＋PB ＝10＋t ， ∴at ＝10＋t ，将t ＝10代入at ＝10＋t ，解得a ＝2．
河北省2002年初中生升学统一考试
数学试卷
一、填空题（本大题10个小题；每个小题2分，共20分） 1．3
2
-
的相反数__________． 2．分解因式：a 2
＋b 2
－2ab －1＝__________． 3．若│x －2│＋
3-y ＝0，则xy ＝__________．
4．已知方程x 2
－5x －x x 52
-＝2．用换元法解此方程时，如果设y ＝x x 52
-，那么得到关于y 的方程是__________．（用一元二次方程的标准形式表示）
5．已知两圆半径分别为4和5．若两圆相交，则圆心距d 应满足__________．
6．某种收音机，原来每台售价48元，降价后每台售价42元，则降价的百分数为______． 7．如图1，已知O 是□ABCD 的对角线交点，AC ＝38mm ，BD ＝24mm ，AD ＝14mm ，那么△OBC 的周长等于__________．
图1
8．北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使用石家庄至北京的行车时间缩短了1小时，如果设该列车提速前的速度为每小时x 千米，那么为求x 所列出的方程为__________． 9．有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的3
1
．若下底长为x ，高为y ，则y 与x 的函数关系式是__________．
10．如图2，某建筑物BC 直立于水平地面，AC ＝9米．要建造梯AB ，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建______阶．（最后一阶的高不足20厘米时，按一阶计算；3取1.732）
图2
二、选择题（本大题共10个小题；每个小题2分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把符合题目要求的选项前的字母填写在题后的括号内） 11．在下列计算中，正确的是 （ ） （A ）（ab 2
）3
＝ab 6
（B ）（3xy ）3＝9x 3y 3
（C ）（－2a 2
）2
＝－4a 4
（D ）（－2）－2
＝
4
1
12．不等式组⎩
⎨
⎧<->+425
32x x 的解集是 （ ）
（A ）x ＞1
（B ）x ＜6 （C ）1＜x ＜6
（D ）x ＜1或x ＞6
13．如果把分式
y
x x
+中的 x 和y 都扩大3倍，那么分式的值 （ ） （A ）扩大3倍 （B ）不变 （C ）缩小3倍
（D ）缩小6倍
14．在下列式子中，正确的是 （ ） （A ）3355-=-
（B ）6.06.3-=- （C ）
()13132
-=-
（D ）636±=
15．将二次三项式x 2
＋6x ＋7进行配方，正确的结果应为 （ ） （A ）（x ＋3）2＋2 （B ）（x －3）2
＋2 （C ）（x ＋3）2
－2
（D ）（x －3）2－2
16．如图3，在△ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ．过点F 作DF ‖BC ，交
AB 于点D ，交AC 于点E ．若BD ＋CE ＝9，则线段DE 的长为
（ ）
（A ）9
（B ）8
（C ）7
（D ）6
图3
17．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2
－8x ＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 （ ） （A ）
3
（B ）3 （C ）6 （D ）9
18．如图4，AB 是⊙O 直径，CD 是弦．若AB ＝10cm ，CD ＝8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为 （ ）
图4
（A ）12cm
（B ）10cm
（C ）8cm
（D ）6cm
19．如图5所示，二次函数y ＝x 2
－4x ＋3的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 （ ）
图5
（A ）6
（B ）4
（C ）3
（D ）1
20．某工件形状如图6所示，圆弧BC 的度数为60º，AB ＝6cm ，点B 到C 的距离等于
AB ，∠BAC ＝30º，则工件的面积等于 （ ）
图6
（A ）4π
（B ）6π
（C ）8π
（D ）10π
三、（本大题共2个小题；每个小题8分，共16分） 21．已知x ＝2－1，y ＝2＋1．求x
y
y x 的值．
22．如图7，在梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD＝BC，AC、BD相交于点O．求证：OD＝OC．
图7
四、（本大题共2个小题；每个小题8分，共16分）
23．某机械传动装置在静止状态时，如图8所示．连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测量得P A＝4cm，AB＝5cm，⊙O半径为4.5cm．求点P到圆心O的距离．
图8
24．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的面绩情况如图9所示．
图9
（1）请填写下表：
（2
①从平均数和方差相结合看：
②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）：
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）：
④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）：
五、（本题满分12分）
25．图10表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图像（分别为正比例函数和一次函数）．两地间的距离是80千米．请你根据图像回答或解决下面的问题：
图10
（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到到达乙地较早？早到多少时间？
（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？
（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（4）指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式（不要化简，也不要求解）：①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面．
六、（本题满分12分）
26．图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均b）：
图11－1 图11－2 图11－3
●在图11－1中，将线段A
1A
2
向右平移1个单位到B
1
B
2
，得到封闭图形A
1
A
2
B
2
B
1
（即阴
影部分）；
●在图11－2中，将折线A
1A
2
A
3
向右平移1个单位到B
1
B
2
B
3
，得到封闭图形A
1
A
2
A
3
B
3
B
2
B
1
（即阴影部分）．
（1）在图11－3中，请你类似地画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
S 1＝__________，S
2
＝__________，S
3
＝__________．
（3）联想与探索
图11－4
如图11－4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草场地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．
七、（本题满分12分）
27．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请售答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 函数关系式（不必写出x 的取值范围）；
（3）商店想在月销售成本不超过1000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
八、（本题满分12分）
28．如图12，在矩形ABCD 中，AB ＝12厘米，BC ＝6厘米，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动． 如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：
图12
（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？
数学试卷参考答案及评分标准
一、填空题（每小题2分，共20分） 1．
3
2
；
2．（a －b ＋1）（a －b －1）；
3．6；
4．y 2－y －2＝0；
5．1＜d ＜9； 6．12.5%；
7．45mm ； 8．
40
392
392+-x x ＝1； 9．y ＝
x
90
； 10．26；
二、选择题（每小题2分，共20分）
三、
21．解：
1
2121
212-++
+-=+x
y y x
＝
(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)1
21
21
21
21
21
22
2
-+++-+-
＝
1
22
2312223-++
-- ＝6．
22．证明：在梯形ABCD 中， ∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ AC ＝BD ， ∵ DC ＝CD ， ∴ △ADC ≌△BCD ， ∴ ∠ACD ＝∠BDC ， ∴ OD ＝OC ．
四、（本大题共2个小题；每小题8分，共16分）
23．解：连结PO 并延长，交⊙O 于点C 、D ． 根据切割线定理的推论，有PA ²PB ＝PC ²PD ． ∵ PB ＝PA ＋AB ＝4＋5＝9， PC ＝OP －4.5，PD ＝OP ＋4.5， ∴ （OP －4.5）（OP ＋4.5）＝4³9 OP 2
＝36＋20.25＝56.25， ∴ OP ＝±7.5．
又OP 为线段，取正数得OP ＝7.5（cm ）， ∴ 点P 到圆心O 的距离为7.5mm ． 24．（1）
（每空1分） （2）①∵ 平均数相同，S
2
甲
＜S 2
乙
∴ 甲成绩比乙稳定
②∵ 平均数相同，甲的中位数＜乙的中位数 ∴ 乙的成绩比甲好些 ③∵ 平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少 ∴ 乙成绩比甲好些
④甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第4次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．
五、（本题满分12分） 解：
（1）由图可以看出：自行车出发较早，早3个小时； 摩托车到达乙地较早，早3个小时． （2）对自行车而言：行驶的距离是80千米，耗时8个小时， 所以其速度是：80÷8＝10（千米/时）； 对摩托车而言：行驶的距离是80千米，耗时2个小时， 所以其速度是：80÷2＝40（千米/时）． （3）设表示自行车行驶过程的函数解析式为：y ＝kx ， ∵ x ＝8时，y ＝80， ∴ 80＝8k ，解得k ＝10，
∴ 表示自行车行驶的函数解析式为y ＝10x ； 设表示摩托车行驶过程的函数解析式为：y ＝ax ＋b ， ∵ x ＝3时，y ＝0，而且x ＝5时，y ＝80； ∴ ⎩⎨
⎧+=+=b a b a 58030，解得⎩⎨⎧-==120
40
b a ．
∴ 表示摩托车行驶过程的函数解析式为y ＝40x －120． （4）在3＜x ＜5时间段内两车均行驶在途中， 自行车在摩托车前面：10x ＞40x －120， 两车相遇：10x ＝40x －120，
自行车在摩托车的后面：10x ＜40x －120．
说明：若由图按三种情形直接写为3＜x ＜4，x ＝4，4＜x ＜5可参照以上标准给分． 六、（本题满分12分）
解：画图（要求对应点在水平位置上，宽度保持一致）
S 1＝ab－b，S
2
＝ab－b，S
3
＝ab－b（每空2分）
猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab－b
方案：1．将“小路”沿在左右两个边界“剪去”；
2．将左侧的草地向右平移一个单位；
3．得到一个新的矩形（如右图）．
理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b，
其水平方向的长变成了a－1，
所以草地面积就是b（a－1）＝ab－b．
说明：在前面的三个图形中，常规的办法是利用平行四边形（或分割成多个平行四边形）的面积计算来求阴影部分的面积，进而计算空白部分的面积．
但是当阴影部分的左右边界由折线变为任意的曲线时，计算的方法已经不再适用，因此我们考虑图形的拆分和拼接，利用平移得到空白部分构成的“简单”图形来计算草地面积．
七、（本题满分12分）
解：
（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500－（55－50）³10＝450（千克），所以月销售利润为：（55－40）³450＝6750（元）．
（2）当销售单价定为每千克x元时，月销售量为［500－（x－50）³10］千克，而每千克的销售利润是：（x－40）元，所以月销售利润为：
y＝（x－40）[500－（x－50）×10]
＝（x－40）（1000－10x）＝－10x2－1400x－40000（元），
∴y与x的函数解析式为y＝－10x2＋1400x－4000．
（3）要使月销售利润达到8000元，即y＝8000元，∴－10x2＋1400x－40000＝8000，即：x2－140x＋4800＝0，
解得：x
1＝60，x
2
＝80．
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为500－（60－50）³10＝400（千克），月销售成本为：40³400＝16000（元）；。