2.3、 圆的切线的性质及判定定理

即B一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线 只有一个公共点，因此l 是圆的切线．由此可得：
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线．
O
l
AB
例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.
证明:连接OD.
∵BD=CD,OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线,
D C
A
O
B
P322
思考:切线的性质定理逆命题“经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线．”是否成立?
已知：点A是⊙O与直线l 的公共点,且 l ⊥OA .
求证：圆与直线只有一个公共点 证明：在l 上任取异于点A的点B,则△OAB是Rt△
而OB是Rt△ OAB的斜边，因此，都有OB>OA,
C P321
∴OD//AC.
又∵∠DEC=90º ∴∠ODE=90º 又∵D在圆周上,
∴DE是⊙O是切线..E D NhomakorabeaB
A
O
三、 圆的切线的 性质及判定定理
O
r
l A MB
l
.O
1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
l
AM
反证法
假设不垂直, 作OM⊥l
因“垂线段最 故OA>OM,
O
即短圆”心, 到直线距离小于半径.
这与线圆相切矛盾.
因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所 以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之,过切 点且垂直于切线的直线也一定过圆心.由此得到：
推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和 过C点的切线互相垂直,垂足为D.
求证:AC平分∠DAB.
证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD, ∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∴ ∠CAD=∠CAO. 故AC平分∠DAB.