高考复习之数列2

各地解析分类汇编:数列2
1.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分12分） 已知数列{a n }的前n项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥ （I）求数列a n 的通项公式；
（Ⅱ）若b n =n·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。

【答案】解：（Ⅰ）113354(2)n n n n S S a a n ---=-≥，11
22n n n n a
a a a --∴==，，………………（3分）
又12a =，{}22n a ∴是以为首项，为公比的等比数列，
……………………………（4分） 1222n n n a -∴=⋅=. ……………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）2n n b n =⋅，
1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，
23121222(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+
+-⋅+⋅.……………………………………………（8分）
两式相减得：1212222n n n T n +-=++
+-⋅，
12(12)212n n n T n +-∴-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-，………………………………………（11分）
12(1)2n n T n +∴=+-⋅.…………………………………………………………………（12分）
2.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】（本题12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为
n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ，2
2
b S q =
. （1）求n a 与n b ；（2）设数列{}n c 满足1
n n
c S =，求{}n c 的前n 项和n T . 【答案】解:（1）设{}n a 的公差为
d .
因为⎪⎩
⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d .
故()3313n a n n =+-= ，13-=n n b . （2）由（1）可知，()
332
n n n S +=
，
所以()122113331n n c S n n n n ⎛⎫=
==- ⎪++⎝⎭
. 故()
21111
121211322313131n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 3.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列}{n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项。

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）若n n n n n b b b S a a b +⋯++==212
1,log ，求5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值。

【答案】解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 依题意，有423)22a a a +=+（，
代入,28432=++a a a 得20,8423=+∴=a a a …………………………2分
⎪⎩⎪⎨⎧===+∴820213311q a a q a q a 解之得⎪⎩⎪
⎨⎧==⎩⎨⎧==32
21211a q a q 或 …………………………4分 又{}n a 单调递增，n
n a a q 2,2,21=∴=∴=∴ ………………………………6分
（Ⅱ）n n n n n b 22log 22
1⋅-=⋅=，………………………………7分
n n n s 223222132⨯+⋯+⨯+⨯+⨯=-∴ ①
143222)1(2322212++⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-∴n n n n n s ②
∴①-②得22222
1)
21(22
22221111
3
2
-⋅-=⋅---=⋅-+⋯+++=++++n n n n n n
n n n n s 10分
5021>⋅+∴+n n n s ，522,50221
1>∴>-∴++n n
又523222451
<=≤≤+n n 时，当， …………………………11分
当5≥n 时，526422
61
>=≥+n .故使5021>⋅++n n n s ，成立的正整数n 的最小值为5. …
4.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1,S 22,S 33S 成等差数列，且440
27
S =求数列{}n a 的通项公式. 【答案】
5.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,2
1
等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若n b
n a )2
1(2
=，设n
n
n a b c =
，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】解（1）由题意知0,2
1
2>+=n n n a S a ………………1分 当1=n 时，21
212111=∴+
=a a a 当2≥n 时，2
1
2,21211-=-=--n n n n a S a S
两式相减得1122---=-=n n n n n a a S S a ………………3分 整理得：
21
=-n n
a a ……………………4分 ∴数列{}n a 是以
21
为首项，2为公比的等比数列. 2111222
1
2---=⨯=⋅=n n n n a a ……………………5分
（2）422
22
--==n b n n
a
∴n b n 24-=，……………………6分
n
n n n n n
n a b C 2
8162242-=-==- n n n n n T 2
8162824282028132-+-⋯+-++=
- ①
1322
8162824202821+-+-+⋯++=n n n n n T ② ①-②得1
322816)212121(8421+--+⋯++-=n n n n
T ………………9分
1
11
122
816)211442816211)2112184+-+-----=----⋅-=n n n n n
n （（ n n
24=.………………………………………………………11分
.2
8n n n
T =∴…………………………………………………………………12分
6.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】(本题满分12分)数列{}n a 的前n 项的和为n S ,对于任意的自然数0n a >，()2
41n n S a =+ （Ⅰ）求证：数列{}n a 是等差数列，并求通项公式 （Ⅱ）设3n
n n
a b =
，求和12n n T b b b =+++
【答案】解 ：（1）令
------------------1分
（2）-(1)
--------------------------3分
是等差数列 ------------------------5分
----------------------------6分
（2）
---①---------------------8分
---②
①-②
----------10分
所以
-------------------------------12分
7.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】（本小题满分12分）已知{}n a 是等比数列，公
比1q >，前n 项和为3427
,,4,2
n S S a a ==且
21
1
{}:,log n n n b b n a +=
+数列满足
（Ⅰ）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （Ⅱ）设数列1{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证
11
(*).32
n T n N ≤<∈ 【答案】解 ：
----------------4分
-----------------------------------------5分
-----------------------6分
（2）设
------8分
= ----------------------------10分
因为
，所以
----------12分
8.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）
设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设{}n b 是以函数2
14sin ()12
y x π=+-的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列
{}n n a b -的前n 项和n S .
【答案】
9.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）
已知函数()ln f x x =的图象是曲线C ，点*(,())(N )n n n A a f a n ∈是曲线C 上的一系列点，曲线C 在点
(,())n n n A a f a 处的切线与y 轴交于点(0,)n n B b . 若数列{}n b 是公差为2的等差数列，且1()3f a =.
（Ⅰ）分别求出数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，n S 表示n n OA B ∆的面积，求数列{}n n a S 的前n 项和n T . 【答案】解：（Ⅰ）
()1
f x x
'=
， ∴曲线C 在点()(),n n n A a f a 处的切线方程：()1
ln n n n
y a x a a -=
- 令0ln 1n x y a =⇒=-，
该切线与y 轴交于点()0,n n B b ，ln 1n n b a ∴=-………………………………………3分
10．【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】（本小题满分12分） 已知{}n a 是公差为2的等差数列，且317111a a a +++是与的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()12
n n n
a b n N *
-=∈，求数列{}n b 的前n 项和Tn. 【答案】
11.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】设数列{a
n }的前n项和为S
n
，且满足
S n =2-a
n
，n=1，2，3，…
（1）求数列{a
n
}的通项公式；（4分）
（2）若数列{b
n
}满足b
1
=1，且b
1
+
n
=b
n
+a
n
，求数列{b
n
}的通项公式；（6分）
（3）设C
n
=n（3- b
n
），求数列{ C
n
}的前n项和T
n。

（6分）
【答案】（1）a
1
=S
1
=1 n≥2时，S
n
=2-a
n
S
1
-
n
=2-a
1
-
n
a
n
=a
n
+a
1
-
n
2a
n
= a
1
-
n
∵a
1
=1
1-
n
n
a
a
=
2
1
∴a
n
=(
2
1
)1-n
（2）b
1
-
n
-b
n
=（
2
1
)1-n1分
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
-
=
-
=
-
-
-
2
1
1
2
3
1
2
)
2
1
(
)
2
1
(
)
2
1
(
n
n
n
b
b
b
b
b
b
∴b
n
-b1=(
2
1
)+……+（
2
1
)2-n=
2
1
1
2
1
1
1
-
-
-
n
=2-
2
2
1
-
n
∴b
n
=3-
2
2
1
-
n
∵b1=1 成立∴b
n
=3-（
2
1
)2-n
（3）C
n
=n（
2
1
)2-n1分
T
n
=1×（
2
1
)1-+2（
2
1
)0+……+n（
2
1
)2-n
21 T n =1×（21)0+……+(n-1) （21)2-n +n （2
1)1-n =2+2
1121
11--
-n -n （21)1-n =2+2-（21)2-n -n （21)1-n
∴T n =8-
3
21-n -
2
2-n n =8-
2
2
2
-+n n 12.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】（本小题满分13分） 已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n a S n n -=2，)(*N n ∈．
（Ⅰ）求：1a ，2a 的值； （Ⅱ）求：数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足n n na b =)(*N n ∈，求数列{}n b 的 前n 项和n T ． 【答案】
解：（Ⅰ）
n a S n n -=2
令1=n ，解得11=a ；令2=n ，解得32=a ……………2分 （Ⅱ）
n a S n n -=2
所以)1(211--=--n a S n n ，（*,2N n n ∈≥）
两式相减得121+=-n n a a ……………4分 所以)1(211+=+-n n a a ，（*,2N n n ∈≥） ……………5分 又因为211=+a
所以数列{}1+n a 是首项为2，公比为2的等比数列 ……………6分 所以n n a 21=+，即通项公式12-=n n a （*
N n ∈） ……………7分
（Ⅲ）n n na b =，所以n n n b n n n -⋅=-=2)12(
所以)2()323()222()121(321n n T n n -⋅++-⋅+-⋅+-⋅=
)321()2232221(321n n T n n ++++-⋅++⋅+⋅+⋅= ……9分 令n n n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅= ① 13222)1(22212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ② ①－②得
132122222+⋅-++++=-n n n n S
122
1)
21(2+⋅---=
-n n n n S ……………11分 112)1(22)21(2++⋅-+=⋅+-=n n n n n n S ……………12分
所以2
)
1(2)1(21
+-
⋅-+=+n n n T n n ……13分 13.【 北京四中2013届高三上学期期中测验数学（理）】（本小题满分13分） 设等差数列的首项
及公差d 都为整数，前n 项和为S n . （1）若，求数列
的通项公式；
（2）若
求所有可能的数列
的通项公式.
【答案】 （Ⅰ）由
又 故解得
因此，
的通项公式是
1，2，3，…，
（Ⅱ）由 得
即
由①+②得－7d <11，即
由①+③得, 即,
于是
又
，故.
将4代入①②得 又
，故
所以，所有可能的数列的通项公式是
1，2，3，….
14.【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（理）】（本小题满分14分）
已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求的最小值；
（2）设不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围
（3）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比
数列，使得？若存在，请求出数列的通项公式．若不存在，请说明理由．【答案】（1）
由当；当
（2），
有解
由即上有解
令，
上减，在[1，2]上增
又，且
（3）设存在公差为的等差数列和公比首项为的等比数列，使
……10分
又时，
故
②-①×2得，解得（舍）
故，此时
满足
存在满足条件的数列……14分
15.【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（理）】（本小题满分14分）
已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在
直线上，且.
（1）求+的值及+的值
（2）已知，当时，+++，求；
（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，
使得不等式成立，求和的值.
【答案】 （Ⅰ）∵点M 在直线x=上，设M .
又＝，即
，
，
∴
+=1.
① 当=
时，=
，
+=；
② 当时，
，
+
=
+
===
综合①②得，+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+
=1时, +
∴，k=.
n ≥2时，+
+
+ ， ①
， ②
①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n.
当n =1时，=0满足=1-n. ∴=1-n.
（Ⅲ）
=
=
，
=1+
+
=
.
.
=2-，=-2+=2-，
∴
，、m 为正整数，∴c=1，
当c=1时，，
∴1<<3， ∴m=1.
16.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】（本题满分12分）已知数列{}n a 满足31=a ，
1211-=∙--n n n a a a
（1）求2a ，3a ， 4a ；
（2）求证：数列11n a ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
是等差数列，并求出{}n a 的通项公式。

【答案】（1）3,12111=-=∙--a a a a n n n 又 ∴7
9
,57,35432===
a a a ___________________________3分 (2)证明：易知01≠-n a ，所以1
1
2--
=n n a a _____________________4分 当时，
2≥n 11
1
)12(11
1
11111----=------n n n n a a a a
1
1111
11
--
-
=
--n n a a
=1
1
1111------n n n a a a
=1 所以为公差的等差数列为首项以是以111
111-⎭
⎬
⎫⎩⎨
⎧-a a n __________8分 （3）由（2）知
21
1)1(2111-=⋅-+=-n n a n __________________10分 所以1
21
21122-+=+-=
n n n a n __________________________12分 17.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】（本小题满分12分）在数列{}n a 中，已知
)(log 32,41
,41*4
111N n a b a a a n n n n ∈=+==+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：数列{}n b 是等差数列；
（Ⅲ)设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，求{}n c 的前n 项和n S . 【答案】解：（Ⅰ）∵
4
1
1=+n n a a
∴数列｛n a ｝是首项为
41，公比为4
1
的等比数列， ∴)()4
1
(*N n a n n ∈=.…………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）∵2log 34
1-=n n a b ………………………………………………………………… 4分
∴232)4
1(log 32
1-=-=n b n n .…………………………………………………………… 5分
∴11=b ，公差d=3
∴数列}{n b 是首项11=b ，公差3=d 的等差数列.…………………………………………7分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，n n a )4
1
(=，23-=n b n （n *N ∈）
∴)(,)41
()23(*N n n c n n ∈⨯-=.………………………………………………………………8分
∴n n n n n S )41
()23()41()53()41(7)41(4411132⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-， ①
于是1432)4
1
()23()41()53()41(7)41(4)41(141+⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=n n n n n S ②
…………………………………………………………………………………………… 9分 两式①-②相减得132)4
1
()23(])41()41()41[(34143+⨯--+⋯+++=n n n n S
=1)4
1
()23(21+⨯+-n n .………………………………………………………………………11分 ∴ )()4
1(381232*1
N n n S n n ∈⨯+-=+.………………………………………………………12分。