线性二自由度汽车模型

α1 −α2 = KayL
m: vehicle mass
16/81
α1－α 2
K > 0不足转向
α1 −α2 = KayL
K = 0中性转向
ay
K < 0过度转向
a y > 0.3 ~ 0.4 g，α1 − α 2与a y不再为线性关系 α和ωr急剧变化，出现半径迅 速增加或减小的现象。 a y对α1 − α 2关系用斜率表示，斜率 > 0 ⇒ 不足转向
β
+
L1ω r
u
−δ
α2
= υ − L2ω r
u
= β − L2ω r
u
FY1 = k1α1 FY 2 = k2α2
6/81
⎩⎨⎧kL11αk11α+1
k2α2 = m(uωr + υ − L2k2α2 = I zωr
)
FY1 + FY 2 ≈ m(uωr＋υ)
L1FY1 − L2FY 2 ≈ I zωr
13/81
ωr δ
⎟⎞ ⎠
K <0
K =0
K >0
ucr uch ua
14/81
W过度转向汽车车速达到临界车速时将失 去稳定性。因为只要一个很小的转角δ， 横摆角速度增益ωr/δ就趋于无穷大。
W因为假设纵向速度为优先值，根据纵向 速度与角速度的关系可知，汽车转向半 径极小。这样，汽车必定发生激转，导 致侧滑或侧翻的发生。
5.3 线性二自由度汽车模型 对前轮角输入的响应
1 线性二自由度汽车模型的运动微分方程
☆忽略转向系的影响，以前轮转角作为输入； ☆只在地面上做平面运动，忽略悬架作用； ☆前进(纵轴)速度不变，只有沿y轴的侧向速度 和绕z轴的横摆运动(ay<0.4g) ； ☆驱动力不大，对侧偏特性无影响； ☆忽略空气阻力； ☆忽略因载荷变化引起左、右轮胎特性的变化； ☆忽略回正力矩的变化。
y
υ
α2
V
β
u2 cg u
L2
L1
L
2DOF model
α1 ξ u1
δ
FY 1
x
One track model Bicycle model
Single track model
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β = υ ,ξ = υ + L1ω r
u
u
tan β ≈ β
tanξ ≈ ξ
tanα ≈ α
α1
= −(δ
−ξ) =
ΔuΔθ ≈ 0
3/81
ax
=
lim
Δt→0
Δu
−υΔθ Δt
≈ u − υω r
ay
=
uΔθ＋Δυ
lim
Δt→0
Δt
= uωr＋υ
Y向力平衡
FY1 cosδ + FY 2 = m(uωr＋υ)
⇒ FY1 + FY 2 ≈ m(uωr＋υ)
对 质 心
L1FY 1 cos δ − L2 FY 2 = I zω r
过度转向时，K < 0,
ωr
ω δ
⎟⎟⎠⎞是随ua向上弯曲的曲线，δ
ωr δ
⎟⎞ ⎠S
= u/L 1+ Ku2
>
u L
u/L 1+ Ku 2
K
↑⇒
ωr δ
⎟⎞ ↑, ⎠
u
ωr δ
⎟⎞ ⎠ K <0
>
ωr δ
⎟⎞ ⎠K =0
当ucr =
－
1 K
时，ωr δ
⎟⎞ ⎠
→
∞
L
ucr
u
Critical velocity
⇒ R < R0
19/81
Steering sensitivity ωr yaw angular velocity
ωr = u / L δ 1 + Ku2
R0
=
L
δ
u = ( 1 + Ku2 )L L: wheel base
ωr
δ
R: curve radius
R = ( 1 + Ku2 )R0 δ:cornering angle
⎪⎪⎧α1
⎨
⎪⎪⎩α 2
= =
−(δ υ−
−ξ)
L2ωr
u
= β + L1ωr −
u
= β − L2ωr
u
δ
∑ FY
⎪⎪⎧( ⎨ ⎪⎪⎩(
k1 + L1k1
k2 )β + (L1k1 − L2k2 )β + (
− L2k2 L12k1 −
) ωr
u L22k2
− k1δ = m(υ
) ωr
u
− L1k1δ
1/81
O
α2
FY 2
υ + Δυ y u + Δu y
V + ΔV
y
Δθ Δθ
υ + Δυ
ξ
O
x
yυ
u + Δu x
V
y
ωr
α2 υ u2 cg
L2
L
β
V
u
L1
O
α1
ux x
Single track
δ
x FY 1 2DOF with ω, v
2/81
υ + Δυ Δθ υ u + Δu
u0 = u,υ0 = υ
( L1 k2
−
L2 k1
)
=
ma y L2 a y
( L1 k2
−
L2 k1
)
FY1
=
mL2 L
ay
FY 2
=
mL1 L
ay
=
1 La y
( FY 2 k2
−
FY1 ) k1
=
1 La y
(α1
−α2)
α1 −α2 > 0 ⇒ K > 0 α1 −α2 = 0 ⇒ K = 0 α1 −α2 < 0 ⇒ K < 0
u/L 1+ Ku2
<
u L
ω δ
⎟⎟⎠⎞是随ua向下弯曲的曲线，
ωr
u
u
↑⇒
ωr δ
⎟⎞ ⎠
↑
然后ωr δ
⎟⎞ ⎠
↓
δ
L
u/L
当uch =
1 时(特征车速 )， K
ωr δ
⎟⎞ ⎠K >0
=
1 2
ωr δ
⎟⎞ ⎠K =0
1+ Ku 2
uch u
Characteristic velocity
12/81
当汽车以很低的速度和/或很大转 向半径行驶时，侧偏角很小，有
δ
α1 = α2 ≈ 0,ξ ≈ δ
R
i.e.
tan δ ≈ δ
L
δ阿克曼角
δ
≈
L R
,R
≈
L
δ
,ωr
=
u R
=
uδ
L
阿克曼几何关系 Acrermann’s geometry
11/81
特征车速
不足转向时， K > 0,
ωr δ
⎟⎞ ⎠S
=
Stability factor
K = m ( L1 − L2 ) L2 k 2 k1
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2 稳态响应的三种类型
不足转向
中性转向
过度转向
Under- Steering Neutral-Steering Over-Steering
中性转向 ωr
u
K =0
δ
L
ωr δ
⎟⎞ ⎠
=
u L
u
10/81
o
取 矩
⇒ L1FY 1 − L2 FY 2 ≈ I zω r
4/81
o
α2
FY 2
FY1 cosδ + FY 2 = m(uωr＋υ)
ξ ⇒ FY1 + FY 2 ≈ m(uωr＋υ)
L1 FY 1 cos δ − L2 FY 2 = I zω r
ωr
⇒ L1FY1 − L2 FY 2 ≈ I zω r
Passenger Car
a y = 0.3 ~ 0.4 g , K ≈ 0.0020 ~ 0.0035 s 2 / m 2
ay
= 0.4 g , u = 22.35m / s1, ωr δ
= 0.16 ~ 0.33s −1
15/81
3.几个描述稳态响应的参数
α1 − α2与ay的关系
K
=
m L2
R = 1 + Ku2 R0
20/
Δθ u
[(u + Δu) cosΔθ − (υ + Δυ)sin Δθ ] − u
≈ u + Δu −υΔθ − ΔυΔθ − u ≈ Δu −υΔθ
(cosΔθ ≈ 1,sin Δθ ≈ Δθ )
ΔυΔθ ≈ 0
[(u + Δu)sin Δθ＋(υ + Δυ)cosΔθ ] −υ
≈ uΔθ + ΔuΔθ +υ＋Δυ −υ ≈ uΔθ＋Δυ
8/81
( k1
+
k2
)υ
u
+
1( u
L1k1
−
L2 k 2
)ωr
− k1δ
=
muωr
( L1k1
− L2k2
)υ
u
+
1 u
(
L12
k1
− L22k2
)ωr
− L1k1δ
=0
消除υ ,解方程，则有
ωr δ
⎟⎞ ⎠S
= 1+
m L2
u/ ( L1
k2
L −
L2 k1
)u 2
=
1
u +
/L Ku
2
稳定性因数
斜率 < 0 ⇒ 过度转向
17/81
α1－ α 2与 R的关系
L ωr
u
+ LKuωr
=δ
ωr δ
= u/L 1 + Ku 2
⇒ ωr
+ Ku 2ω r
= δu / L
uωr = ay , R = u /ωr α1 −α2 = Kay L
δ
=
L R
+
LKa y
=
L R
+ (α1
−α2)
R
=
δ
L
− (α1 −α2 )
+ uωr )
∑TZ
= I zωr
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2 前轮角阶跃输入下进入的汽车 稳态响应:等速圆周运动
2.1 稳态响应的评价指标： 稳态横摆角速度增益或转向灵敏度
ωr δ
⎟⎞ ⎠S
⎧ω 此时，⎪⎨υ
r = const =0
⎪⎩ω r＝0
angle step steady response steady yaw velocity velocity gain
, 若u很小，则R0
=
L
δ
u
↑⇒
α1
−
α
发生变化或不变
2
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R=
L
δ − (α1 − α2 )
R0
=
L
δ
δ − (α1 − α2 ) = δ
α1 −α2 = 0 ⇒ R = R0
α1 −α2 > 0 α1 −α2 < 0
δ − (α1 − α2 ) < δ
⇒ R > R0
δ − (α1 − α2 ) > δ