概率第一章
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.2.1 基本事件空间与事件
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
，则称
概率论与数理统计 是互不相容
即 1-14
E 与B的和 A与 A与B 如果事件A与事件B A B
（或互斥）的.
如果事件A与事件B 满足： (1) A B ; (2) A B ，即必发生其一，
但不能同时发生，则称 事件A与事件B是互 逆的，或者说 A是B 的对立事件，记为 A B
（或 B A ）.
1-15
概率论与数理统计
E 与B的和 A与 A与B 如果事件A与事件B A B
在进行事件的运算时，经常需要如下
的运算律. 交换律 A B B A, A B B A 结合律 ( A B) C A ( B C),
( A B) C A ( B C)
(3) ( A B)( A B)(B C ).
则 P( A ) P( A ) .
n i 1 i i 1 i
n
证 因为 A
n i 1
i
Ai ,
i 1
n
由概率的可列可加性（1.2.1）式及性质 1.2.1，有
P( Ai ) P( Ai ) P( ) P( Ai )
(3) ( A B)( A B)(B C ).
(1) 0 f n ( A) 1 (2) f n () 1
(3) 若 A与B 互不相容，则
f n ( A B) f n ( A) f n (B)
1-22
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
即 P( ) 0 .
性质1.3.2 （有限可加性）设是两两互
不相容的事件，即 Ai A j , i j , i, j 1,2,, n
1-24
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
1-11
概率论与数理统计
E 与B的和 A与 A与B A B
对无限个事件 A1 , A2 , ..., 可类似定义它
们的和事件 C 为
C Ai A1发生, 或A2 发生,
i 1
A1，A2 ,至少有一个发生
1-12
概率论与数理统计
E 与B的和 A与 A与B A B
1-18
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
1-10
概率论与数理统计
E 与B的和 A与 A与B A B
若 A B, 且B A , 则称事件 A与B 相等(或等
价),记为 A B 。 2．事件的和、积、差 对两个事件A和B ，称“事件 A与事件B 至少有一个发生”的事件，即 B 发生为 A或
事件 的和 （或并），记为 A B或C A B A与B C
例1.2.5 求事件“甲产品滞销，且乙产品
畅销”的对立事件．
1-20
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
1.3
概率的定义与基本性质
1.3.1 概率的公理化定义
频率的性质 设随机试验 E 的基本事件
空间为 ， ， 为 E 的两个随机事件，则在 A B
n 次试验中的频率具有下列性质：
1-21
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
概率论与数理统计
E 与B的和 A与 A与B 如果事件A与事件B A B
例1.2.3 设A, B, C是三个事件 试用A, B, C ,
: 表示下列事件
(1) 恰有A发生; (2) A与B都发生而C不发生; (3) A, B, C都发生; (4) 恰有一个事件发生 ; (5) 至少有一个事件发生(6) 恰有两个事件发生 ; ; (7) 不多于两个事件发生 ; (8) A, B至少有一个发生 而C不发生. ,
i 1 i 1 i 1 n n n
1-25
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
性质1.3.3 对任何事件 A ,有 P( A) 1 P( A).
1-23
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
则称为 P(A) 事件A的概率．
1.3.2 概率的基本性质
性质1.3.1 不可能事件的概率为0，
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
定义1.3.1 设随机试验 E 的基本事件空
间为 ，对于 E 的任一事件 A ，赋予一个 实数 P(A) ，如果它满足以下三条公理： （1）0 P( A) 1 ; （2） P() 1 ；
（3）对于可列无限个两两互不相容的
的积，记为概率论与数理统计 .
E 与B的和 A与 A与B 如果事件A与事件B A B
对两个事件A和B ，称“事件 发生而 A
事件 不发生”的事件为事件 的差 B A与B 记为 B CA ，即
C {A发生, B不发生 }.
，
3．互不相容事件与对立事件 如果事件A与事件B
A B
不可能同时发生， 事件A与事件B
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.2 已知事件 A, B 满足
P( AB) P( AB),
试求 P(B)
且 P( A) p
1-28
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
示 。
1-5
概率论与数理统计
E
必然事件：在每次试验中它总是发生的
事件，用符号 表示 。 不可能事件 ：每次试验中总不会发生的 事件，用符号 表示。 基本事件:对于一个随机试验 E 来说，知
道这个试验可能出现的结果．若以 表示
1-6
概率论与数理统计
E
它的一个可能的结果，就称 为 E 的一个
1-16
概率论与数理统计
E 与B的和 A与 A与B 如果事件A与事件B A B
分配律 ( A B) C ( A C) ( B C),
( A B) C ( A C ) ( B C )
对偶律 A B A B, A B A B
1-17
性质1.3.4 对于两个事件
A B 则有 P( B A) P( B) P( A) .
，若，
性质1.3.5 （加法公式）对任意两个 事件 A, B ，有
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
1-26
概率论与数理统计
ห้องสมุดไป่ตู้
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
对两个事件 A 和 B ，称“事件 与事 B A
件同时发生” 的事件，即 与 A 事件 B A 与 C A B C AB 的积（或交），即 记为 都发生为
C {A发生，B发生}
n
或
A1 , A2.,, An
i 1
事件“ 2 ,, An A1 , A 个事件
称为事件 1-13
同时发生” Ai
1-29
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.4 某公司购进一批电视机，经开 箱检验，外观有缺陷的占5%，显像管有缺 陷的占6%，其它部分有缺陷的占8%，外 观及显像管均有缺陷的占0.3%，显像管及 其它部分有缺陷的占0.5%，外观及其他部 分均有缺陷的占0.4%，三者都有缺陷的占 0.02%.现从中任取一件，问至少有一种缺 陷的是多少？
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.3 某人外出旅游两天.据气象预报 ，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的 概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1．试 求： （1）第一天下雨而第二天不下雨的概率； （2）第一天不下雨而第二天下雨的概率； （3）至少有一天下雨的概率； （4）两天都不下雨的概率； （5）至少有一天不下雨的概率.
1-1
概率论与数理统计
第一章 随机事件与概率
§1.1 概率论的现实背景
确定性现象和随机现象
确定性现象：在一定条件下必然发生 的现象。
1-2
概率论与数理统计
不可能现象：在一定条件下不可能发生
的现象。 随机现象：在一定条件下事件可能发生 也可能不发生的现象。
1-3
概率论与数理统计
E
§1.2 随机事件及其运算
基本事件（或样本点）. 样本空间 :全体基本事件的集
{}
称为基本事件空间（或样本空间）．
1-7
概率论与数理统计
E
例1.2.1 某袋中装有4只白球和2只黑
球，考虑依次从中任意摸出两球所可能出 现的情况.若对球进行编号，4只白球分别 编为1，2，3，4号，2只黑球编为5，6号. 若用数对来表示第一次摸得号球，第二次
摸得号球，则可能出现的结果.
1-8
概率论与数理统计
E
例1.2.2 掷一个均匀的骰子，用
Ai {i}; i 1,2,...,6
分别表示所掷的点数， B
表示“偶点数”， 表示“奇点数”， 表 D C 示“3点或3点以上”，试写出样本空间 ，并 A1, A 2 , ..., A6 , B , C , D
1-30
概率论与数理统计
1.4
古典概率与几何概率
1.4.1 古典概率
古典概型 设随机试验E的基本事件空 间 {1 ,2 ,,n } ，n为有限正整数，且每个 基本事件i 发生的可能性相等
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
，则称
概率论与数理统计 是互不相容
即 1-14
E 与B的和 A与 A与B 如果事件A与事件B A B
（或互斥）的.
如果事件A与事件B 满足： (1) A B ; (2) A B ，即必发生其一，
但不能同时发生，则称 事件A与事件B是互 逆的，或者说 A是B 的对立事件，记为 A B
（或 B A ）.
1-15
概率论与数理统计
E 与B的和 A与 A与B 如果事件A与事件B A B
在进行事件的运算时，经常需要如下
的运算律. 交换律 A B B A, A B B A 结合律 ( A B) C A ( B C),
( A B) C A ( B C)
(3) ( A B)( A B)(B C ).
则 P( A ) P( A ) .
n i 1 i i 1 i
n
证 因为 A
n i 1
i
Ai ,
i 1
n
由概率的可列可加性（1.2.1）式及性质 1.2.1，有
P( Ai ) P( Ai ) P( ) P( Ai )
(3) ( A B)( A B)(B C ).
(1) 0 f n ( A) 1 (2) f n () 1
(3) 若 A与B 互不相容，则
f n ( A B) f n ( A) f n (B)
1-22
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
即 P( ) 0 .
性质1.3.2 （有限可加性）设是两两互
不相容的事件，即 Ai A j , i j , i, j 1,2,, n
1-24
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
1-11
概率论与数理统计
E 与B的和 A与 A与B A B
对无限个事件 A1 , A2 , ..., 可类似定义它
们的和事件 C 为
C Ai A1发生, 或A2 发生,
i 1
A1，A2 ,至少有一个发生
1-12
概率论与数理统计
E 与B的和 A与 A与B A B
1-18
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
1-10
概率论与数理统计
E 与B的和 A与 A与B A B
若 A B, 且B A , 则称事件 A与B 相等(或等
价),记为 A B 。 2．事件的和、积、差 对两个事件A和B ，称“事件 A与事件B 至少有一个发生”的事件，即 B 发生为 A或
事件 的和 （或并），记为 A B或C A B A与B C
例1.2.5 求事件“甲产品滞销，且乙产品
畅销”的对立事件．
1-20
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
1.3
概率的定义与基本性质
1.3.1 概率的公理化定义
频率的性质 设随机试验 E 的基本事件
空间为 ， ， 为 E 的两个随机事件，则在 A B
n 次试验中的频率具有下列性质：
1-21
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
概率论与数理统计
E 与B的和 A与 A与B 如果事件A与事件B A B
例1.2.3 设A, B, C是三个事件 试用A, B, C ,
: 表示下列事件
(1) 恰有A发生; (2) A与B都发生而C不发生; (3) A, B, C都发生; (4) 恰有一个事件发生 ; (5) 至少有一个事件发生(6) 恰有两个事件发生 ; ; (7) 不多于两个事件发生 ; (8) A, B至少有一个发生 而C不发生. ,
i 1 i 1 i 1 n n n
1-25
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
性质1.3.3 对任何事件 A ,有 P( A) 1 P( A).
1-23
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
则称为 P(A) 事件A的概率．
1.3.2 概率的基本性质
性质1.3.1 不可能事件的概率为0，
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
定义1.3.1 设随机试验 E 的基本事件空
间为 ，对于 E 的任一事件 A ，赋予一个 实数 P(A) ，如果它满足以下三条公理： （1）0 P( A) 1 ; （2） P() 1 ；
（3）对于可列无限个两两互不相容的
的积，记为概率论与数理统计 .
E 与B的和 A与 A与B 如果事件A与事件B A B
对两个事件A和B ，称“事件 发生而 A
事件 不发生”的事件为事件 的差 B A与B 记为 B CA ，即
C {A发生, B不发生 }.
，
3．互不相容事件与对立事件 如果事件A与事件B
A B
不可能同时发生， 事件A与事件B
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.2 已知事件 A, B 满足
P( AB) P( AB),
试求 P(B)
且 P( A) p
1-28
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
示 。
1-5
概率论与数理统计
E
必然事件：在每次试验中它总是发生的
事件，用符号 表示 。 不可能事件 ：每次试验中总不会发生的 事件，用符号 表示。 基本事件:对于一个随机试验 E 来说，知
道这个试验可能出现的结果．若以 表示
1-6
概率论与数理统计
E
它的一个可能的结果，就称 为 E 的一个
1-16
概率论与数理统计
E 与B的和 A与 A与B 如果事件A与事件B A B
分配律 ( A B) C ( A C) ( B C),
( A B) C ( A C ) ( B C )
对偶律 A B A B, A B A B
1-17
性质1.3.4 对于两个事件
A B 则有 P( B A) P( B) P( A) .
，若，
性质1.3.5 （加法公式）对任意两个 事件 A, B ，有
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
1-26
概率论与数理统计
ห้องสมุดไป่ตู้
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
对两个事件 A 和 B ，称“事件 与事 B A
件同时发生” 的事件，即 与 A 事件 B A 与 C A B C AB 的积（或交），即 记为 都发生为
C {A发生，B发生}
n
或
A1 , A2.,, An
i 1
事件“ 2 ,, An A1 , A 个事件
称为事件 1-13
同时发生” Ai
1-29
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.4 某公司购进一批电视机，经开 箱检验，外观有缺陷的占5%，显像管有缺 陷的占6%，其它部分有缺陷的占8%，外 观及显像管均有缺陷的占0.3%，显像管及 其它部分有缺陷的占0.5%，外观及其他部 分均有缺陷的占0.4%，三者都有缺陷的占 0.02%.现从中任取一件，问至少有一种缺 陷的是多少？
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.3 某人外出旅游两天.据气象预报 ，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的 概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1．试 求： （1）第一天下雨而第二天不下雨的概率； （2）第一天不下雨而第二天下雨的概率； （3）至少有一天下雨的概率； （4）两天都不下雨的概率； （5）至少有一天不下雨的概率.
1-1
概率论与数理统计
第一章 随机事件与概率
§1.1 概率论的现实背景
确定性现象和随机现象
确定性现象：在一定条件下必然发生 的现象。
1-2
概率论与数理统计
不可能现象：在一定条件下不可能发生
的现象。 随机现象：在一定条件下事件可能发生 也可能不发生的现象。
1-3
概率论与数理统计
E
§1.2 随机事件及其运算
基本事件（或样本点）. 样本空间 :全体基本事件的集
{}
称为基本事件空间（或样本空间）．
1-7
概率论与数理统计
E
例1.2.1 某袋中装有4只白球和2只黑
球，考虑依次从中任意摸出两球所可能出 现的情况.若对球进行编号，4只白球分别 编为1，2，3，4号，2只黑球编为5，6号. 若用数对来表示第一次摸得号球，第二次
摸得号球，则可能出现的结果.
1-8
概率论与数理统计
E
例1.2.2 掷一个均匀的骰子，用
Ai {i}; i 1,2,...,6
分别表示所掷的点数， B
表示“偶点数”， 表示“奇点数”， 表 D C 示“3点或3点以上”，试写出样本空间 ，并 A1, A 2 , ..., A6 , B , C , D
1-30
概率论与数理统计
1.4
古典概率与几何概率
1.4.1 古典概率
古典概型 设随机试验E的基本事件空 间 {1 ,2 ,,n } ，n为有限正整数，且每个 基本事件i 发生的可能性相等