内蒙古自治区呼和浩特市重点达标名校2021-2022学年中考联考数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是（）
A．12 B．14 C．16 D．18
2．已知点A（0，﹣4），B（8，0）和C（a，﹣a），若过点C的圆的圆心是线段AB的中点，则这个圆的半径的最小值是（）
A．
2
2
B．2C．3D．2
3．在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）
A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1
C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣3
5．如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠C=（）
A．50°B．40°C．30°D．20°
6．一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但
实际这样的机会是（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．
34
8．计算6m 6÷（-2m 2）3的结果为（ ） A ．m -
B ．1-
C ．
3
4
D ．34
-
9．在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE ，BE 分别交于点G 、H ．∠CBE=∠BAD ，有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC•AD=2AE 2；④S △BEC =S △ADF ．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h 与时间t 之间的关系的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．我们知道：1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，…，观察下面的一列数：-1，2,，-3， 4，-5，6…，将这些数排列成如图的形式，根据其规律猜想，第20行从左到右第3个数是 ．
12．如图，李明从A 点出发沿直线前进5米到达B 点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C 后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为_____．
13．分解因式：22
9ax ay -= ____________．
14．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF 变形为以点A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB （阴影部分）的面积为_____．
15．已知点P （3，1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a+b ，﹣1﹣b ），则ab 的值为_____． 16．如图，点D 是线段AB 的中点，点C 是线段AD 的中点，若CD=1，则AB=________________．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分） “铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加
10
9
m%小时，求m 的值． 18．（8分）为纪念红军长征胜利81周年，我市某中学团委拟组织学生开展唱红歌比赛活动，为此，该校随即抽取部分学生就“你是否喜欢红歌”进行问卷调查，并将调查结果统计后绘制成如下统计表和扇形统计图． 态度 非常喜欢 喜欢 一般 不知道 频数 90 b 30 10
频率
a
0.35
0.20
请你根据统计图、表，提供的信息解答下列问题：
（1）该校这次随即抽取了名学生参加问卷调查：
（2）确定统计表中a、b的值：a= ，b= ；
（3）该校共有2000名学生，估计全校态度为“非常喜欢”的学生人数．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC=∠DAC．
（2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．
20．（8分）“知识改变命运，科技繁荣祖国”．在举办一届全市科技运动会上．下图为某校2017年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：
（1）该校参加航模比赛的总人数是人，空模所在扇形的圆心角的度数是；
（2）并把条形统计图补充完整；
（3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．今年全市中小学参加航模比赛人数共有2500人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？
21．（8分）为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结
合图表所给出的信息解答下列问题： 成绩 频数 频率 优秀 45 b 良好 a 0.3 合格 105 0.35 不合格
60
c
（1）该校初三学生共有多少人？求表中a ，b ，c 的值，并补全条形统计图．初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
22．（10分）如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，AD ⊥CD 于点D ，E 是AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点F ，连接OC 、AC ． （1）求证：AC 平分∠DAO ． （2）若∠DAO=105°，∠E=30° ①求∠OCE 的度数；
②若⊙O 的半径为22，求线段EF 的长．
23．（12分）某中学为了解学生平均每天“诵读经典”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计（设每天的诵读时间为t 分钟），将调查统计的结果分为四个等级：Ⅰ级(020)t ≤≤、Ⅱ级(2040)t ≤≤、Ⅲ级(4060)t ≤≤、Ⅳ级(60)y >．将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）请补全上面的条形图．
（2）所抽查学生“诵读经典”时间的中位数落在__________级．
（3）如果该校共有1200名学生，请你估计该校平均每天“诵读经典”的时间不低于40分钟的学生约有多少人？24．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.
（1）求证：BE＝CE
（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）
①求证：△BEM≌△CEN；
②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；
③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、C
【解析】
延长线段BN交AC于E.
∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN.
在△ABN与△AEN中，
∵∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90∘，
∴△ABN≌△AEN(ASA)，∴AE=AB=10，BN=NE.
又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×3=6，
∴AC=AE+CE=10+6=16.故选C.
2、B
【解析】
首先求得AB的中点D的坐标，然后求得经过点D且垂直于直线y=-x的直线的解析式，然后求得与y=-x的交点坐标，再求得交点与D之间的距离即可．
【详解】
AB的中点D的坐标是（4，-2），
∵C（a，-a）在一次函数y=-x上，
∴设过D且与直线y=-x垂直的直线的解析式是y=x+b，
把（4，-2）代入解析式得：4+b=-2，
解得：b=-1，
则函数解析式是y=x-1．
根据题意得：
6 {
y x
y x
-
-
＝
＝
，
解得：3
{3
x y ＝＝-，
则交点的坐标是（3，-3）．
则这个圆的半径的最小值是：22(43)(23)-+-+=2． 故选：B 【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及两直线垂直的条件，正确理解C （a ，-a ），一定在直线y=-x 上，是关键． 3、C 【解析】
根据直线的性质公理，相交线的定义，垂线的性质，平行公理对各小题分析判断后即可得解． 【详解】
解:在同一平面内，
①过两点有且只有一条直线，故①正确；
②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误； ③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确； ④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确， 综上所述，正确的有①③④共3个， 故选C ． 【点睛】
本题考查了平行公理，直线的性质，垂线的性质，以及相交线的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键． 4、C 【解析】
试题分析：根据顶点式，即A 、C 两个选项的对称轴都为，再将（0,1）代入，符合的式子为C 选项
考点：二次函数的顶点式、对称轴
点评：本题考查学生对二次函数顶点式的掌握，难度较小，二次函数的顶点式解析式为，顶点坐标
为，对称轴为
5、B 【解析】
试题解析：延长ED 交BC 于F ，
∵AB ∥DE ,
∴380,1180318080100ABC ∠=∠=∠=-∠=-=，
218018014040.CDE ∠=-∠=-=
在△CDF 中,1100,240∠=∠=，
故180121801004040.C ∠=-∠-∠=--= 故选B. 6、C 【解析】
试题解析：∵多边形的每一个内角都等于120°， ∴多边形的每一个外角都等于180°-120°=10°， ∴边数n=310°÷10°=1． 故选C ．
考点：多边形内角与外角． 7、C 【解析】
列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可得. 【详解】
画树状图如下，共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为1
4
． 故选C ．
8、D 【解析】
分析：根据幂的乘方计算法则求出除数，然后根据同底数幂的除法法则得出答案． 详解：原式=(
)6
6
3684
m m
÷-=-， 故选D ． 点睛：本题主要考查的是幂的计算法则，属于基础题型．明白幂的计算法则是解决这个问题的关键． 9、C 【解析】
根据题意和图形，可以判断各小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】
∵在△ABC 中，AD 和BE 是高， ∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°， ∵点F 是AB 的中点， ∴FD=
12AB ，FE=1
2
AB ， ∴FD=FE ，①正确；
∵∠CBE=∠BAD ，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°， ∴∠ABC=∠C ， ∴AB=AC ， ∵AD ⊥BC ，
∴BC=2CD ，∠BAD=∠CAD=∠CBE ，
在△AEH 和△BEC 中，AEH CEB
AE BE
EAH CBE ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEH ≌△BEC （ASA ）， ∴AH=BC=2CD ，②正确；
∵∠BAD=∠CBE ，∠ADB=∠CEB ， ∴△ABD ∽△BCE ， ∴
AB AD
BC BE
=，即BC•AD=AB•BE ， ∵∠AEB=90°，AE=BE ， ∴
BE
， ∴
2；③正确；
设AE=a ，则
，
∴
a ﹣a ，
∴BEC ABC CE?BE S CE 2
AC?BE S AC 2
====22-， 即BEC ABC 22S 2S -= ，
∵AF=12AB ， ∴ ADF ABD ABC 11S S S 24==， ∴S △BEC ≠S △ADF ，故④错误，
故选：C ．
【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10、C
【解析】
首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h 与t 的关系变为先快后慢．
【详解】
根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h 与时间t 之间的关系分为两段，先快后慢。

故选：C.
【点睛】
此题考查函数的图象，解题关键在于观察图形
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、2
【解析】
先求出19行有多少个数，再加3就等于第20行第三个数是多少．然后根据奇偶性来决定负正．
【详解】
∵1行1个数，
2行3个数，
3行5个数，
4行7个数，
…
19行应有2×19-1=37个数
∴到第19行一共有
1+3+5+7+9+…+37=19×19=1．
第20行第3个数的绝对值是1+3=2．
又2是偶数，
故第20行第3个数是2．
12、40︒．
【解析】
根据共走了45米，每次前进5米且左转的角度相同，则可计算出该正多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度．【详解】
连续左转后形成的正多边形边数为：4559
÷=，
则左转的角度是360940
︒÷=︒．
故答案是：40︒．
【点睛】
本题考查了多边形的外角计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键．
13、
【解析】
试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式，再根据平方差公式分解：.
考点：因式分解
14、1
【解析】
解：∵正六边形ABCDEF的边长为3，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，
∴弧BAF的长=3×6﹣3﹣3═12，
∴扇形AFB（阴影部分）的面积=1
2
×12×3=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查正多边形和圆；扇形面积的计算．
15、2
【解析】
根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出ab 的值即可．
【详解】
∵点P （3，1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a+b ，﹣1﹣b ），
∴a+b=-3，-1-b=1；
解得a=-1，b=-2，
∴ab=2.
故答案为2.
【点睛】
本题考查了关于x 轴，y 轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练的掌握关于y 轴对称的点的坐标的性质.
16、4
【解析】
∵点C 是线段AD 的中点，若CD=1，
∴AD=1×2=2，
∵点D 是线段AB 的中点，
∴AB=2×2=4，
故答案为4.
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）1600千米；（2）1
【解析】
试题分析：（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；
（2）根据题意得出方程（80+120）（1-m%）（8+
109
m%）=1600，进而解方程求出即可． 试题解析：
（1）设原时速为xkm/h ，通车后里程为ykm ，则有： ()()8120816320x y x y ⎧+⎪⎨++⎪⎩
＝＝ ，
解得：
80
1600
x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
．
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；
（2）由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+10
9
m%）=1600，
解得：m1=1，m2=0（不合题意舍去），
答：m的值为1．
18、（1）200,；（2）a=0.45，b=70；（3）900名.
【解析】
（1）根据“一般”和“不知道”的频数和频率求总数即可（2）根据（1）的总数，结合频数，频率的大小可得到结果（3）根据“非常喜欢”学生的比值就可以计算出2000名学生中的人数.
【详解】
解：（1）“一般”频数30，“不知道”频数10，两者频率0.20，根据频数的计算公式可得，总数=频数/频率=3010
200 0.20
+
=
（名）；
（2）“非常喜欢”频数90，a=90
0.45
200
=b2000.3570
=⨯=;
（3）20000.45900
⨯=.
故答案为（1）200,；（2）a=0.45，b=70；（3）900名.
【点睛】
此题重点考察学生对频数和频率的应用，掌握频率的计算公式是解题的关键.
19、证明见解析
【解析】
试题分析：由AB=AD，CB=CD结合AC=AC可得△ABC≌△ADC，由此可得∠BAC=∠DAC，再证△ABF≌△ADF 即可得到∠AFB=∠AFD，结合∠AFB=∠CFE即可得到∠AFD=∠CFE；
（2）由AB∥CD可得∠DCA=∠BAC结合∠BAC=∠DAC可得∠DCA=∠DAC，由此可得AD=CD结合
AB=AD，CB=CD可得AB=BC=CD=AD，即可得到四边形ABCD是菱形.
试题解析：
（1）在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中，
∵AB=AD ，∠BAC=∠DAC ，AF=AF ，
∴△ABF ≌△ADF ，
∴∠AFB=∠AFD ．
（2）证明：∵AB ∥CD ，
∴∠BAC=∠ACD ，
∵∠BAC=∠DAC ，
∴∠ACD=∠CAD ，
∴AD=CD ，
∵AB=AD ，CB=CD ，
∴AB=CB=CD=AD ，
∴四边形ABCD 是菱形．
20、（1）24，120°；（2）见解析；（3）1000人
【解析】
（1）由建模的人数除以占的百分比，求出调查的总人数即可，再算空模人数，即可知道空模所占百分比，从而算出对应的圆心角度数；（2）根据空模人数然后补全条形统计图；（3）根据随机取出人数获奖的人数比，即可得到结果．
【详解】
解：（1）该校参加航模比赛的总人数是6÷25%＝24（人），
则参加空模人数为24﹣（6+4+6）＝8（人），
∴空模所在扇形的圆心角的度数是360°×
824
＝120°， 故答案为：24，120°；
（2）补全条形统计图如下：
（3）估算今年参加航模比赛的获奖人数约是2500×3280
＝1000（人）． 【点睛】
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
21、（1）300人（2）b=0.15，c=0.2；（3）1 6
【解析】
分析：(1)利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数;
(2)利用(1)中所求,结合频数÷总数=频率,进而求出答案;
(3)根据题意画出树状图,然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.
详解：（1）由题意可得：该校初三学生共有：105÷0.35=300（人），
答：该校初三学生共有300人；
（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），
b==0.15，
c==0.2；
如图所示：
（3）画树形图得：
∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，
∴P（抽到甲和乙）==．
点睛：此题主要考查了树状图法求概率以及条形统计图的应用,根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键.
22、（1）证明见解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =3
【解析】
【试题分析】（1）根据直线与⊙O相切的性质，得OC⊥CD.
又因为AD⊥CD，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD//OC. ∠DAC=∠OCA.又因为
OC=OA，根据等边对等角，得∠OAC=∠OCA.等量代换得：∠DAC=∠OAC.根据角平分线的定义得：AC平分∠DAO. （2）①因为AD//OC，∠DAO=105°，根据两直线平行，同位角相等得，∠EOC=∠DAO=105°，在OCE
中，∠E=30°，
利用内角和定理，得：∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G，根据垂径定理可得FG=CG，因为OC=22，∠OCE=45°.等腰直角三角形的斜边是腰长的2倍，得CG=OG=2. FG=2.在Rt△OGE中，∠E=30°，得GE=23，则EF=GE-FG=23-2.
【试题解析】
（1）∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD，∴AD//OC.
∴∠DAC=∠OCA.
又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OAC.
∴AC平分∠DAO.
（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°
∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG
∵OC=22，∠OCE=45°.∴CG=OG=2.
∴FG=2.
∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=23.
∴EF=GE-FG=23-2.
【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.
23、1）补全的条形图见解析（2）Ⅱ级．（3）408．
【解析】
试题分析：（1）根据Ⅱ级的人数和所占的百分比即可求出总数，从而求出三级人数，进而补全图形；
（2）把所有同类数据按照从小到大的顺序排列，中间的数据是中位数，则该数在Ⅱ级．；
（3）由样本估计总体，由于时间不低于40min的人数占34%，故该类学生约有408人．
试题解析：（1）本次随机抽查的人数为：20÷40%=50（人）．三级人数为：50-13-20-7=10.
补图如下：
（2）把所有同类数据按照从小到大的顺序排列，中间的数据是中位数，则该数在Ⅱ级．
（3）由样本估计总体，由于时间不低于40min的人数占34%，所以该类学生约有120034%408
⨯=．
24、（1）详见解析；（1）①详见解析；②1；③62 4
+
.
【解析】
（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；
（1）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；
②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=1m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵E是AD中点，
∴AE=DE，
∴△BAE≌△CDE，
∴BE=CE．
（1）①解：如图1中，
由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EBM=∠ECN=45°，
∵∠MEN=∠BEC=90°，
∴∠BEM=∠CEN，
∵EB=EC，
∴△BEM≌△CEN；
②∵△BEM≌△CEN，
∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，
∴S△BMN=1
2
•x（4-x）=-
1
2
（x-1）1+1，
∵-1
2
＜0，
∴x=1时，△BMN的面积最大，最大值为1．
③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=1m，BN=EN=3m，EB=6m．∴3m=（3m，
∵S△BEG=1
2
•EG•BN=
1
2
•BG•EH，
∴
EH=
m，
在Rt△EBH中，sin∠
EBH=
4
EH
EB
==．
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，。