2018-2019学年上海市延安中学高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市延安中学高一下学期期末数学试题
一、单选题
1．“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}2
n a 为等比数列”的（）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
【答案】A
【解析】数列{}n a 是等比数列与命题{}2
n a 是等比数列是否能互推，
然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断． 【详解】
若数列{}n a 是等比数列，则1
1n n a a q -=，∴2222
1n n q
a a -=，∴数列{}2
n
a 是等比数列，
若数列{}2
n a 是等比数列，则2211n n
a
a q -=，
∴n a a =±∴数列{}n a 不是等比
数列，
∴数列{}n a 是等比数列是数列是等比数列{}2
n a 的充分非必要条件，
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查充分不必要条件的判断，注意等比数列的性质的灵活运用，属于基础题． 2．设()*(1)(2)(3)()n S n n n n n n N =++++∈，则
1
n n
S S +=（） A ．21n + B ．22n +
C ．(21)(22)n n ++
D ．2(21)n +
【答案】D
【解析】由()*(1)(2)(3)()n S n n n n n n N =++++∈得1n S +，再计算
1
n n
S S +即可. 【详解】
()*(1)(2)(3)
()n S n n n n n n N =++++∈，
∴1(11)(12)(13)
(11)n S n n n n n +=+++++++++
()(2)(3)(4)
(21)22n n n n n =+++++，
所以()1(2)(3)(4)(21)222(21)(1)(2)(3)()
n n n n n n n S n S n n n n n ++++++==+++++
故选：D 【点睛】
本题考查了以数列的通项公式为载体求比值的问题，以及归纳推理的应用，属于基础题． 3．已知等差数列{}n a 的公差d ＞0，则下列四个命题： ①数列{}n a 是递增数列； ②数列{}n na 是递增数列； ③数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是递增数列； ④数列{}3n a nd +是递增数列； 其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】对于各个选项中的数列，计算第n +1项与第n 项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论． 【详解】
设等差数列()11n a a n d +-=，d ＞0
∵对于①，a n+1﹣a n ＝d ＞0，∴数列{}n a 是递增数列成立，是真命题． 对于②，数列{}n na ，得
()()()()1111111112n n n a na n a n d n a n d a nd +⎡⎤⎡⎤++++--+-=+⎣⎦⎣-=⎦，
1a R ∈，所以12a nd +不一定是正实数，即数列{}n na 不一定是递增数列，是假命题．
对于③，数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬
⎩⎭
，得()1111111(1)n n a n d a a a nd d a n n n n n n ++-+--=-=+++，1a R ∈，1
(1)
d a n n -+不一定是正实数，故是假命题．
对于④，数列()()11313340n n n n n d nd a a a d a d ++++-+=-+=>，故数列
{}3n a nd +是递增数列成立，是真命题．
故选：B ． 【点睛】
本题考查用定义判断数列的单调性，考查学生的计算能力，正确运用递增数列的定义是关键，属于基础题．
4．已知数列{}n a 和数列{}n b 都是无穷数列，若区间[],n n a b 满足下列条件：
①[][]11,,n n n n a b a b ++Ü；②()lim 0n n n b a →∞
-=；则称数列{}n a 和数列{}n b 可构成“区间套”，则下列可以构成“区间套”的数列是（ ）
A ．12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23n
n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．1
n a n =-
，11n b n
=+ C ．1n n a n -=，113n
n b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
D ．1n a =，2
1
n n b n -=
+ 【答案】C
【解析】直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可． 【详解】
由题意，对于A ：12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，23n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵1
n 1n 1122n n
a a ++⎛⎫⎛⎫
=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴[][]11,,n n n n a b a b ++Ü不成立，所以A 不正确； 对于B ：由1n a n =-，11n b n =+，得()2lim lim 110n n n n b a n →∞→∞⎛⎫
-=+=≠ ⎪⎝⎭
不成立，所以
B 不正确；
对于C ：11,13n
n n n a b n -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
，
∵1
11111,11133n
n n n n n n n a a b b n n +++-⎛⎫⎛⎫=>==+>=+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
，
∴[][]11,,n n n n a b a b ++Ü成立，并且()lim 0n n n b a →∞
-=也成立，所以C 正确； 对于D ：由1n a =，
21
n n b n -=+，得1211111112333
n n n b b n n n n +-=
=-<-=-=+++++， ∴[][]11,,n n n n a b a b ++Ü不成立，所以D 不正确； 故选：C ． 【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力及运算能力，属于中档题．
二、填空题 5．函数tan 6y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的最小正周期是________. 【答案】π
【解析】根据函数()tan y x ωϕ=+的周期公式计算即可. 【详解】 函数tan 6y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的最小正周期是1
T π
π=
=.
故答案为：π 【点睛】
本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题． 6．计算：3lim 1
n n
n →∞=-________.
【答案】3
【解析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可． 【详解】
3lim 1n n n →∞=-33
lim 3
110
1n n
→∞==--
. 故答案为：3 【点睛】
本题考查数列的极限的运算法则，考查计算能力，属于基础题． 7．设函数()sin f x arc x =()11x -≤≤，则1
3f
π-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
________.
【解析】利用反三角函数的定义，解方程sin 3
arc x π
=即可．
【详解】
因为函数()sin f x arc x =()11x -≤≤，由反三角函数的定义，解方程sin 3
arc x π
=
，
得sin
3
2x π
==
，所以13f π-⎛⎫
=
⎪⎝
⎭
【点睛】
本题考查了反三角函数的定义，属于基础题．
8．已知数列{}n a 是等差数列，若11a =，59a =，则公差d =________. 【答案】2
【解析】利用等差数列的通项公式即可得出． 【详解】
设等差数列{}n a 公差为d ，∵11a =，59a =，∴514a a d =+，解得d ＝2． 故答案为：2． 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题． 9．已知数列{}n a 是等比数列，若24a =，51
2
a =-，则公比q =________. 【答案】12
-
【解析】利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】
∵数列{}n a 是等比数列，若24a =，512
a =-，则352a a q =，解得3
18q =-，即q =12-.
故答案为：1
2
- 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．
10．计算：1
111lim 1393n n -→∞
⎡⎤
⎛⎫
-+-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣
⎦
________. 【答案】
3
4
【解析】由等比数列前n 项和公式，得1
11
1139
3n -⎛⎫-+-
+- ⎪⎝⎭
=34[1﹣13n
⎛⎫- ⎪⎝⎭
]，从而求极限即可． 【详解】
∵1
111139
3n -⎛⎫-
+-+- ⎪⎝⎭＝1113113n ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
＝34[1﹣13n ⎛⎫- ⎪⎝⎭]， ∴1
111lim 139
3n n -→∞
⎡⎤⎛⎫
-+-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
lim n →∞
34[1﹣13n ⎛⎫- ⎪⎝⎭]=34． 故答案为：3
4
【点睛】
本题考查了等比数列前n 项和公式的应用，以及数列极限的求法，属于基础题． 11．方程cos sin
6
x π
=的解集为________.
【答案】|2,3x x k k Z π
π⎧⎫=±
∈⎨⎬⎩
⎭
【解析】由诱导公式可得cos sin
co 3s
cos()3
6
x π
π
π
===-，由余弦函数的周期性可得：
2,3
x k k Z π
π=±
∈.
【详解】
因为方程cos sin 6
x π
=，由诱导公式得3si 3
n
cos
cos()6
π
π
π
==-，
所以2,3
x k k Z π
π=±
∈，
故答案为：|2,3x x k k Z π
π⎧
⎫=±∈⎨⎬⎩
⎭
． 【点睛】
本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题． 12．已知数列{}n a 是等差数列，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1133S =，则
6a =________.
【答案】3
【解析】由等差数列的求和公式和性质可得11611S a =，代入已知式子可得6a ． 【详解】
由等差数列的求和公式和性质可得：
11S =()111112
a a +＝6
6112112a a ⨯=，且1133S =，∴63a =.
故答案为：3． 【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
13．夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶的温度是20度，则这座山的高度是________米 【答案】2000
【解析】由题意得，温度下降了()362016-=，再求出这个温度是由几段100米得出来的，最后乘以100即可. 【详解】
由题意得，这座山的高度为：()10036200.8100202000⨯-÷=⨯=⎡⎤⎣⎦米 故答案为：2000 【点睛】
本题结合实际问题考查有理数的混合运算，解题关键是温度差里有几个0.8，属于基础题.
14．若cos 4
arc x π
≥
()11x -≤≤ ，则x 的取值范围是________.
【答案】1x ≤≤
【解析】利用反函数的运算法则，定义及其性质，求解即可． 【详解】
由cos 4
arc x π
≥
()11x -≤≤，得()cos cos cos 4
2
arc x π
≤=
所以2
x ≤
，又因为11x -≤≤，所以12x ≤≤.
故答案为：12
x ≤≤ 【点睛】
本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．
15．若函数()cos f x x x =-，[0,]x m ∈，则m 的值是________. 【答案】
2
π
【解析】利用两角差的正弦公式化简函数的解析式为()2sin 6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，由x 的范
围可得6
x π
-的范围，根据()f x 最大值可得m 的值.
【详解】
∵函数()cos f x x x =-＝2（1cos 22
x x -）＝2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，
∵[0,]x m ∈，∴6
x π
-∈[6
π-
，6m π
-]，又∵()f x
所以sin 6y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
6m π-=3π，解得2m π=.
故答案为：2
π 【点睛】
本题主要考查两角差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和最值，属于基础题． 16．已知0a b >>，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a b +=_______________. 【答案】5
【解析】【详解】试题分析：由题意得，为等差数列时，一定为等差中项，即22b a =-+，为等比数列时，-2为等比中项，即4ab =，所以4,1,5a b a b ==+=. 【考点】等差，等比数列的性质
17．已知数列{}n a 满足11a =，22a =，23cos()n n a a n π+-=+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S =________. 【答案】7500
【解析】讨论n 的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得{}n a 的通项公式，进而可求100S . 【详解】
当n 是奇数时，cos()n π＝﹣1，由23cos()n n a a n π+-=+，得22n n a a +-=， 所以1a ，3a ，5a ，…21n a -，…是以11a =为首项，以2为公差的等差数列， 当n 为偶数时，cos()n π＝1，由23cos()n n a a n π+-=+，得24n n
a a +-=，
所以2a ，4a ，6a ，…2n a ，…是首项为22a =，以4为公差的等差数列，
则,22,n n n a n n ⎧=⎨
-⎩为奇数为偶数
， 所以()()()()
199210010050+50+501+99502+200-275002222
a a a a S =
+=+=.
故答案为：7500 【点睛】
本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n 项和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题．
18．已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，…，则2018位于第________组. 【答案】32
【解析】根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决． 【详解】
根据题意:第一组有2＝1×
2个数，最后一个数为4； 第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）； 第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）； …
∴第n 组有2n 个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n ）＝4（1+2+3+…+n ）＝2n （n+1）． ∴当n ＝31时，第31组的最后一个数为2×31×32＝1984，
∴当n ＝32时，第32组的最后一个数为2×32×33＝2112，∴2018位于第32组． 故答案为：32． 【点睛】
本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题．
三、解答题
19．解关于x 的方程：22sin 5sin cos 6cos 0x x x x -+= 【答案】{}
|tan 2tan3,x x k arc x k arc k Z ππ=+=+∈或
【解析】根据方程解出tan 2x =或tan 3x =，利用三角函数的定义解出x ，再根据终
边相同角的表示即可求出. 【详解】
由22sin 5sin cos 6cos 0x x x x -+=，得()()sin 2cos sin 3cos 0x x x x --=， 所以tan 2x =或tan 3x =，所以tan 2x k arc π=+或tan3x k arc π=+， 所以x 的解集为：{}
|tan 2tan3,x x k arc x k arc k Z ππ=+=+∈或. 【点睛】
本题考查了三角方程的解法，终边相同角的表示，反三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.
20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
231n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.
【答案】4,
141,2
n n a n n =⎧=⎨
+≥⎩
【解析】当1n =时，11a S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即可得出． 【详解】
∵已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
231n S n n =+-，
当1n =时，114a S ==，
当2n ≥时，()()12
2
2312131141n n n n n n n a S n S -⎡⎤+---+--=⎣⎦
-=+=，
检验：当1n =时，14a =不符合上式，
∴4,
141,2n n a n n =⎧=⎨
+≥⎩
【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 21．已知等比数列{}n a 是递增数列，且满足：238a a ⋅=，149a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式：
（2）设()21log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】（1）1
2n n a -=；（2）2n S n =
【解析】（1）利用等比数列的性质结合已知条件解得首项和公比，由此得通项公式； （2）由（1）得()21log 21n n n b a a n +=⋅=-，再利用等差数列的求和公式进行解答即可．
【详解】
（1）由题意，得12348a a a a ⋅=⋅=，又149a a +=，所以11a =，48a =，或18a = ，41a =，
由{}n a 是递增的等比数列，得1q > ，所以11a =，48a =，且2q =，
∴1111122n n n n a a q ---==⨯=，即12n n a -=；
（2）由（1）得()()111212log log 2
221n n n n n b a a n -+-+=⋅=⋅=-，
得()1211212n n b b n n +-=+--+=， 所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以()122n n n b b n S +=
=. 【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及等差数列的其前n 项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
22．已知数列{}n a 满足11a =，*1,N 21
n n n a a a n +=∈+． （1）证明：数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21
n n a b n =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使不等式n S ＜k 对一切n *∈N 恒成立的实数k 的范围．
【答案】（1）见解析，n 121a n =-；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】（1）对递推式两边取倒数化简,即可得出1112n n
a a +-=，利用等差数列的通项公式得出1n
a ，再得出n a ； （2）由（1）得11122121n
b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭
，再使用裂项相消法求出n S ，使用不等式得出的n S 范围，从而得出k 的范围．
【详解】
（1）∵121
n n n a a a +=+，两边取倒数,∴1112n n a a +=+，即1112n n a a +-=，又11a =， ∴数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴()1112121n n n a a =+-=-，∴n 121
a n =-． （2）由（1）得111121(21)(21)22121n n a
b n n n n n ⎛⎫===- ⎪++--+⎝⎭
， ∴111111123352121n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦＝11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 要使不等式S n ＜k 对一切n *∈N 恒成立，则k 12…．
∴k 的范围为:1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．
【点睛】
本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题． 23．己知数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和. （1）若1a ＝1，q ＞1，求lim n n n a S →∞的值； （2）若首项110a =，1q t =，t 是正整数，满足不等式|t ﹣63|＜62，且911n S <<对于任意正整数n 都成立，问：这样的数列{}n a 有几个？
【答案】（1）11q
-；（2）114 【解析】（1）利用等比数列的求和公式，进而可求lim n n n a S →∞
的值； （2）根据t 满足不等式|t ﹣63|＜62，可确定q 的范围，进而可得n S 随着n 的增大而增大，利用911n S <<，可求解．
【详解】
（1）已知数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，1a ＝1，
∴ ()11111n
n
n a q q S q q --==--，111n n n a a q q --== ， 则11111lim lim lim lim 111111n n n n n n n n n n n n q q a q q q q S q q q q -→∞→∞→∞→∞⋅--====---⎛⎫- ⎪-⎝⎭
； （2） t 满足不等式|t ﹣63|＜62，6263621125t t ⇒-<-<⇒<<．
1
q t =，∴ 11(,1)125
q t =∈，且110a =， ∴()111011111n n n a q t S q t
⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--，得n S 随着n 的增大而增大，得1010,11n S t ⎡⎫⎪⎢∈⎪⎢⎪⎢-⎣⎭ ， 又且911n S <<对于任意正整数n 都成立，得101111t
-…，11t ⇒≥，且t 是正整数， 满足t 的个数为：124﹣11+1＝114个，即有114个q ，所以有114个数列{}n a ．
【点睛】
本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，属于中档题．。