平行四边形及其性质讲义讲义

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平行四边形及其性质
1理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.
会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证.
2理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质
运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题.
1平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用.
3平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用.
教学内容
，基础知识
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)表示：平行四边形用符号“
来表示.
如图，在四边形ABCD 中，AB // DC , AD // BC ,那么四边形ABCD 是平行四边形.平行四边形
ABCD 记作“Q ABCD ，读作 平行四边形ABCD .
① ••• AB//DC ,AD//BC ，二四边形ABCD 是平行四边形(判定)； ② •••四边形ABCD 是平行四边形••• AB//DC ， AD//BC (性质).
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边， 邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角
(3)由定义知道，平行四边形的对边平行.根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为 补角.
(4)、平行四边形的对边相等、对角相等
证明结论:
重点、难点
2综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算
2.
教学目标
2、能综合
考点及考试要求
平行四边形性质，有关的论证和计算
A
已知：如图口ABCD ,
求证：AB = CD , CB = AD , / B = / D, / BAD =/ BCD .
分析：作口ABCD的对角线AC,它将平行四边形分成△ ABC和^CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论.
（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题.）
证明：连接AC,
AB // CD, AD // BC ,
/ 1 = / 3,/ 2=/4.
又AC = CA ,
△ ABC CDA (ASA ).
AB = CD, CB = AD , / B = / D .
又 / 1 + / 4=/ 2+/3,
/ BAD = / BCD .
由此得到:
平行四边形性质1 平行四边形的对边相等.
平行四边形性质2 平行四边形的对角相等.
五、例习题分析
例1如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF, 求证：AF=CE .
分析：要证AF=CE，需证△ ADF◎△ CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有/ D= / B ,
AD=BC , AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF .由“边角边” 可得出所
需要的结论.
证明:
六、随堂练习
1. 填空:
在口ABCD 中，/ A=50。

，则/ B= _____ 度，/ C= _____ 度，/ D= ____ 度.
如果口ABCD 中，/ A — / B=240，则/ A= _度，/ B=_度，/ C=_度，/ D=_度. 如果口ABCD 的周长为
28cm ，且 AB : BC=2 : 5,那么 AB= cm ，BC= cm ，CD= cm ，
（2）平行四边形的性质：
① 具有一般四边形的性质（内角和是 ② 角：平行四边形的对角相等，邻角互补. 边：平行四边形的对边相等.
2. 【探究】:
CD=
cm .
2.如图4.3 — 9,在口ABCD 中，AC 为对角线，BE 丄AC , DF 丄AC , E 、F 为垂足，求证：BE = DF . 1.（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（
).
（A ）对角相等（B ）对角互补
（C ）邻角互补（D ）内角和是360。

2.在口ABCD 中，如果EF // AD ,GH // CD,EF 与GH 相交与点O,那么图中的平行四边形一共有（
(A ) 4 个(B ) 5 个(C ) 8 个
(D ) 9 个
3 .如图，AD // BC , AE // CD ,
BD 360°).
平分/ ABC ，求证
AB=CE .
在纸上画两个全等的口ABCD 和口EFGH ，并连接对角线AC 、BD 和EG 、HF ，设它们分别交于点
O .把这两个平行四边形落在一起， 在点O 处钉一个图钉，将口 ABCD 绕点O 旋转180。

,观察它还和口 EFGH 重合
吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行 四边形的什么性质吗？
结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
（2）平行四边形的对角线互相平分.
五、例习题分析
例1 （补充） 已知：如图4 — 21, 口ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O , EF 过点O 与AB 、
CD 分别相交于点E 、F .
求证：OE = OF , AE=CF , BE=DF . 证明：在 口ABCD 中，AB // CD , ••• / 1 = / 2./ 3=/ 4.
又 OA = 0C （平行四边形的对角线互相平分）,
••• △ AOECOF （ASA ）.
••• 0E = OF , AE=CF （全等三角形对应边相等）.
••• 口ABCD ，二AB=CD （平行四边形对边相等）.
••• AB —AE=CD — CF . 即 BE=FD .
例2 （教材P94的例2）已知四边形ABCD 是平行四边形，AB = 10cm , AD = 8cm , AC 丄BC ,求
BC 、CD 、AC 、OA 的长以及口ABCD 的面积.
六、随堂练习
在平行四边形中，周长等于48,
已知一边长12,求各边的长 已知AB=2BC ，求各边的长
已知对角线 AC 、BD 交于点O , △ AOD 与^AOB 的周长的差是10, 求各边的长
2. ________________________________________________________________________ 如图，口ABCD 中，AE 丄 BD , / EAD=60 , AE=2cm ,AC+BD=14cm ，则△ OBC 的周长是 ________________ _
3. 口ABCD —内角的平分线与边相交并把这条边分成 5cm , 7cm 的两条线段，则口ABCD 的周长是
1. cm.
(4)6BCD 的周长为 36cm , , 3C=_________ ；当上 B=60。

时，AD. BC的距离话____________ .Z7AECD的面积鼻虹=
1.判断对错
(1)在口ABCD 中，AC 交BD 于0,贝U AO=OB=OC=OD .
(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.
平行四边形的两组对边分别平行且相等.
平行四边形是轴对称图形.
课后练习
2.在ABCD 中，AC = 6、BD = 4,贝U AB 的范围是 ________________ .
3 .在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为( 边形的周
长是________________ .
4.公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路,
12cm, AC丄BC,求小路BC, CD, OC的长，并算出绿地的面积.
X+3), (X-4)和16,则这个四
如图, AB = 15cm, AD
=
B.9.5
C.10
D.11.5 □ ABCD 中，AC 平分/ DAB , AB = 3 ,
平行四边形
一、选择题
1、如图，在□ ABCD 是 .
中, 是AD 边上的中点.若/ ABE= / EBC , AB=2，则平行四边形
ABCD 的周长
C 1题图 2 2、如图，在□ ABC
D 中，分别以
E 之间，连结CG 、C
F ，则以下四个结论一定正确的是（ ②/ CDF =/ EAF
B .只有①②③ AB=6 , AD=9 , / BAD CDF N EB
C A .只有①② 3、如图，在□ ABC
D 中, 足为G , G
题图 AB 、AD 为边向外作等边^ 题图
ABE 、△ ADF ，延长 CB 交 AE 于点
） 是等边三角形 ECF C .只有③④ D . 的平分线交BC 于点E ,交 ④CG 丄AE ①②③④
DC 的延长线于点 G ，点G 在点A 、
F , B
G 丄 AE ，垂
BG= 4 J 2，贝y △ CEF 的周长为
（ B . 9
C . 12
D . 15
C
A
4题图 题图 题图 5、如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形, 那么需要添加的条件是（ A . AB =CD B . AD = BC C . AB = BC D . AC = BD 6、如图，在 □ ABCD 中, E 是BC 的中点，且/ AEC=Z DCE 则下列结论不正确 的是 1 A .S △ AD =2S
A EBF B.BF= —DF C.四边形 AECD 是等腰梯形 2 7、已知四边形 ABCD ，有以下四个条件：① AB//CD •，②A
B =CD :③BC//AD :④B
C = A
D .从这四个 条件中任选两个，能使四边形 ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ （A ） 6 种 （B ） 5 种 （C ） 4 种 &点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点 行四边形，则在平面内符合这样条件的点 D 有（ D. / AEC=/ ADC ）
（D ） 3 种 D 是平面内任意一点，若 A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平
） B . 2个 C . 3个
A.8
4、如图,
则□ ABCD 的周长为
9
、
下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（
A
、
一组对边相等，另一组对边平行; C、一组对角相等，一组邻角互补;
B
、
一组对边平行，一组对角互补; D、一组对角互补，另一组对角相
等。

10、如图2,在口ABCD中，已知/ 0DA = 90° AC= 10cm , BD = 6cm，贝U AD 的长为（
）
C. 6cm
D. 8cm
二、填空题
1 .如图，在□ ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,若AC= 14, BD = 8, AB= 10,则^ OAB的周长为
2.如图，在□ ABCC中, AB EB, AF= 2,贝U FC 等于
题图
3、如图2,四边形ABCD 中，AB//CD，要使四边形
题图
ABCD为平行四边形，则可添加的条件为
（填一个即可）.
4、如图，已知平行四边形ABCD , E是AB延长线上一点，连结DE交BC于点F，在不添加任何辅助线的情
4题图
5、如图，在平行四边形则/ ECB的度数是
6、如图，在口ABCD^，已知AB=9 cm,
于___________ c m.
7过□ ABCD对角线交点0作直线m,
是 ___________ .
8、如图，在平行四边形ABCD 中，CD=10 , F
5
ABCD 中，/
题图
A=130。

，在
6
AD上取
题图
DE=DC ,
AD=6 cm, BE平分/
分别交直线AB于点
ABC交DC边于点E,则
E,交直线CD于点F ,
是AB 边上一点，
DE等
若AB=4, AE=6，贝U DF 的长
DF交AC于点E，且AE _ 2 j比AEF的面积
EC 5,、也CDE的面积,BF=
9、如图，在□ ABCD中，对角线AC BD相交于点0,如果AC=14,
BD=8 AB=X，那么x的取值范围是10如图4,在图（1）中，A" B" C1
分别是△ ABC的边BC、
别是△ A I B I C I的边B i C i、C i A i、A I B I的中点，…，按此规律，
C A1
⑵
C C
三、解答题
1、已知:
求证:
如图，在平行四边形ABCD中, 四
边形BMDN是平行四边形.
点M, N在对角线AC上，且AM=CN.
2、如图所示，已知□ ABCD
中,
AE CF分别是/ DAB / BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形。

E C
A F
3、已知：如图所示,
F,又知
平行四边形
G H分别为
ABCD的对角线AC BD相交于点0, EF经过点0并且分别和AB CD相交于点E、0A 0C
的中点.求证：四边形
CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分
则第n个图形中平行四边形的个数共有个.
5、已知：如图，△
(1)求证：四边形
(2)当^ ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形?
4、已知：如图，在
AE=CF .
Q^ABCD中，AC, BD交于点0, EF过点0,分别交CB, AD?的延长线于点E, F,求证:
ABD △ BCE △ ACF都是等边三角形,
ADEF是平行四边形.。