二面角四种求法_5个例题解决二面角难题

四法求二面角
二面角是高考的热点内容之一，求二面角的大小应先作出它的平面角，下面介绍作二面角的平面角四种方法：定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。

（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

注：o 点在棱上，用定义法。

(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。

注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。

(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。

注：点O 在二面角内，用垂面法。

(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ S
A 图3
α
β
O B l
O
图5
β α l C B A
例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。

（三垂线定理法）
分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。

解∵ PC⊥平面ABC
∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA －C的平面角。

设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是
∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴∠PAC＝45°∴在Rt△
DEA
评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。

例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。

（图1－126）（垂面法）
分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ.
同理，有PB⊥a，
∵ PA∩PB=P，
∴ a⊥面PAQB于Q
又 AQ、BQ
平面PAQB
∴ AQ⊥a，BQ⊥a.
∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角。

∴ ∠AQB ＝60°
连PQ ，则PQ 是P 到a 的距离，在平面图形PAQB 中，有
∠PAQ ＝∠PBQ=90°
∴ P 、A 、Q 、B 四点共圆，且PQ 是四边形PAQB 的外接圆的直径2R
在△PAB 中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA ＝180°-60°=120°，由余弦定理得
AB2＝1＋4-2×1×2cos120°＝7
由正弦定理：
评注 本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。

例3 如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。

（定义法） 解：∵ BS =BC ，又DE
垂直平分SC
∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC
∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC （定义法） 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ，
则 BC =SB =2a 且 AC = 3
易证 △SAC ∽△DEC
∴ ∠CDE =∠SAC =60°
例4如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0
120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。

（补棱法和射影面积法） 解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ， 连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD
∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影
∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影
设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=
a 2
3
∴ AD =
4
1ABD cos 26=∠， ∴ sin ∠ABD =
4
15
∴ 2
2ABD a 815415a 21S =×=
∆ 又 a 21BE = ∴ 2BDE a 8
3a 21a 2321S =⋅⋅=
∆ ∴ 5
5
S S cos ABD BDE =
=
θ∆∆ 考虑到我们求的是二面角 A-BD-E ，而二面角 A-BD-C 与A-BD-C 互补
∴ 二面角 A-BD-C 的余弦值为5
5
−。

C
例5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。

（射影面积法） 解：设边长为a ，易证 ANC'M 是菱形 且MN =a 2，AC' =a 3 ∴Ｓ□AMC'N = 2
a 2
6'AC 21MN =⋅
由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即 为正方形ABCD
∴ Ｓ□ABCD =2
a ∴ 3
6a 2
6a cos 221=
=
θ ∴ 3
6arccos
1=θ 取CC'的中点M'，连结DM'
则平行四边形DM'C'N 是四边形AMC'N 在CC'D'D 上的射影，
Ｓ□DM'C'M =
2a 21 ∴ 66a 2
6a
21cos 2
22==θ ∴6
6arccos
2=θ
A
C’
A’
C。