高三数学每日1题(第一周)

星期一(数列)2023年____月____日

【题目1】(2021·石家庄质检二)在①a5＝6，a1＋S3＝50，②S12>S9，a2＋a21<0，③S9>0，S10<0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题．

问题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，若________，判断S n是否存在最大值，若存在，求出S n取最大值时n的值；若不存在，说明理由．

(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．)

解方案一：选条件①.

法一设数列{a n}的公差为d，

由a5＝6，得a1＋4d＝6，

由a1＋S3＝50，得4a1＋3d＝50，

解得a1＝14，d＝－2，

所以a n＝14－2(n－1)＝16－2n.

由a n≥0，得16－2n≥0，即n≤8，

故当n≤7时，a n>0，当n＝8时，a n＝0，

当n≥9时，a n<0，

故n＝7或n＝8时，S n取最大值．

法二设数列{a n}的公差为d，

由a5＝6，得a1＋4d＝6，

由a1＋S3＝50，得4a1＋3d＝50，

解得a1＝14，d＝－2，

所以a n＝14－2(n－1)＝16－2n，

S n＝－n2＋15n.

易知函数y＝－x2＋15x图象的对称轴为直线x＝7.5，

故n＝7或n＝8时，S n取最大值．

方案二：选条件②.

由S 12－S 9>0，得a 12＋a 11＋a 10>0，即3a 11>0，

所以a 11>0.

由a 2＋a 21<0，得a 2＋a 21＝a 11＋a 12<0，

所以a 12<0，

故{a n }的公差d ＝a 12－a 11<0，

所以当n ≤11时，a n >0，当n ≥12时，a n <0，

故当n ＝11时，S n 取最大值．

方案三：选条件③.

由S 9>0，得S 9＝9（a 1＋a 9）2

＝9×2a 52>0， 所以a 5>0.

由S 10<0，得S 10＝10（a 1＋a 10）2＝10（a 5＋a 6）2

<0， 所以a 5＋a 6<0，

又a 5>0，故a 6<0，

所以{a n }的公差d ＝a 6－a 5<0，

所以当n ≤5时，a n >0，当n ≥6时，a n <0，

故当n ＝5时，S n 取最大值．

星期二(三角) 2022年____月____日

【题目2】 已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x ，x ∈R .

(1)求f (x )的单调递增区间；

(2)若关于x 的方程f (x )＝a 在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π2上有解，求实数a 的取值范围． 解 (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，

所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .

(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－1≤2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －π6≤2. 因为方程f (x )＝a 在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π2上有解， 所以实数a 的取值范围是[－1，2]．

星期三(概率与统计) 2022年____月____日

【题目3】 为检查学生学习传染病防控知识的成效，某校高一年级部对本年级1 500名同学进行了传染病防控知识检测，并从中随机抽取了300份答卷，按得分区间[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]分别统计，绘制成频率分布直方图如下．

(1)估计高一年级传染病防控知识答卷得分的中位数(结果精确到个位)；

(2)根据频率分布直方图，按各得分区间的人数的比例，从得分在区间[80，90)内和[90，100]内的学生中任选7人，并从这7人中随机选3人做传染病预防知识宣传演讲，求这3人中至少有一人得分在区间[90，100]内的概率．

解 (1)设高一年级传染病防控知识答卷得分的中位数的估计值为x ，根据频率分布直方图得，0.005×10＋0.010×10＋0.022×10＋0.028(x －70)＝0.5(中位数左边和右边小长方形的面积和均为0.5)，

解得x ＝74914≈75.

∴估计高一年级传染病防控知识答卷得分的中位数为75.

(2)根据频率分布直方图得，得分在区间[80，90)内和[90，100]内的频率分别为0.25，0.1，对应人数的比为5∶2，

∴所选的7人中，得分在[80，90)内的有5人，得分在[90，100]内的有2人，

∴从7人中随机选3人，这3人中至少有一人得分在区间[90，100]内的概率为1－C 35C 37

＝57. 星期四(立体几何) 2022年____月____日

【题目4】 如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，对角面AA 1C 1C 是矩形，且平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .

(1)证明：四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1是直四棱柱；

(2)设AC ∩BD ＝O ，若AB ＝AA 1，求平面DOB 1与平面OB 1C 1的夹角的余弦值.

(1)证明 因为对角面AA 1C 1C 是矩形，所以AA 1⊥AC .

又因为平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，

所以由面面垂直的性质定理得AA 1⊥平面ABCD .

故四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1是直四棱柱．

(2)解 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .

连接B 1D 1，设A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，连接OO 1，则O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直．

以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．不妨设AB ＝2t (t >0)，因为∠ABC ＝60°，所以OB ＝3t ，