2020高考数学解答题核心素养题型《专题04 三角函数与平面向量综合问题》(专项训练)(解析版)

专题04 三角函数与平面向量综合问题
1．(2017·北京卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝3
7a .
(1)求sin C 的值；
(2)若a ＝7，求△ABC 的面积． 【答案】见解析
【解析】(1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝33
14.
(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理得72＝b 2＋32
－2b ×3×12，解得b ＝8，所以△ABC 的面积S ＝
12
bc sin A ＝1
2×8×3×
3
2
＝6 3. 2．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2时，求f (x )的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)由图象知A ＝2，又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2π
ω
，解得ω＝1，所以f (x )＝2sin(x
＋φ)．将点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，2代入得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即f (x )∈[－3，2]．
3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜2π3的最小正周期为π.
(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；
(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6，32，求f (x )的单调递增区间．
【答案】见解析
【解析】因为f (x )的最小正周期为π，则T ＝2π
ω
＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．
(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知可知上式对任意x ∈R 都成立，所以cos φ＝0.因为0＜φ＜2π3，所以φ＝π2
.
(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又0＜φ＜2π3，所以π3＜
π3＋φ＜π，所以π3＋φ＝2π3，φ＝π3.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，
得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .
4．已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12，3和点
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，－2.
(1)求m ，n 的值；
(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间． 【答案】见解析
【解析】(1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3，－2.所以
⎩⎪⎨⎪⎧
3＝m sin π6＋n cos π
6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3
，即⎩⎪⎨
⎪⎧
3＝12m ＋3
2n ，－2＝－32m －1
2
n ，解得⎩⎨
⎧
m ＝3，
n ＝1.
(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.易知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 2
0＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝
2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π
2
≤x ≤k π，k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 5．(2019·山东、湖北部分重点中学联考)设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos x －32.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)已知△ABC 的内角分别为A ，B ，C ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝32，且△ABC 能够盖住的最大的圆面积为π，求AB →·AC →的
最小值．
【答案】见解析
【解析】(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos x －32＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ·cos x －32＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以－5π6＋2k π≤2x ≤π6＋2k π，k ∈Z ，则－
5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .
(2)由(1)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32，A ∈(0，π)，所以A ＝π3.由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b
2
＋c 2
－bc .由题意可知△ABC 的内切圆半径为1，如图所示，可得b ＋c －a ＝23，即a ＝b ＋c －2 3.所以(b ＋c －23)2＝b 2＋c 2
－bc ，所以43＋3bc ＝4(b ＋c )≥8bc ，解得bc ≥12或0<bc ≤43(舍)．所以A B →·A C
→＝12
bc ∈[6，＋∞)，当且仅当b ＝c 时，A B →·A C →
取得最小值6.
6．(2019·三门峡调考)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)， |OC →
|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．
(1)若x ＝3π4
，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →
|的最小值；
(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对应的x 值．
【答案】见解析
【解析】(1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，当x ＝3π4时，可得C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－22，22，所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以
|OC →＋OD →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|2取得最小值为12，故|OC →＋OD →
|的最小值为22.
(2)易得C (cos x ，sin x )，m ＝BC →＝(cos x ＋1，sin x )，则m·n ＝1－cos 2x ＋sin 2
x －2sin x cos x ＝1－cos2x
－sin2x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4.所以当2x ＋π4＝π2，
即x ＝π8时，m·n
＝1－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取得最小值1－2，所以m·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.。