西工大电磁场与电磁波课件

h BC
A
含义： 标量三重积结果为三矢量构成 的平行六面体的体积 。

C

B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (B C) C ( A B) B (C A)
h BC
注意：先后轮换次序。
dS RdRd a
体元：
dV R 2 sin dRd d
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
注意：
a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1， 即：
h1 h2 h3 1
b. 在柱坐标系中，坐标变量为(r,, z), 其中 为角度，
其对应的线元 rd a ，可见拉梅系数为：
dl
dS
F dl , B dS ,
1. 直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。 ˆx 线元： dlx dxa 面元： dS x dydza ˆx ˆy dS y dxdza ˆy dl y dya ˆz dS z dxdya ˆz dlz dza 体元： dV dxdydz ˆ x dya ˆ y dza ˆz dl dxa
ˆx ( Az Bx Ax Bz )a ˆ y ( Ax By Ay Bx )a ˆz ( Ay Bz Az By )a
两矢量的叉积又可表示为：
A B Ax Bx
ˆx a
ˆy a Ay By
ˆz a Az Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
h1 1, h2 r , h3 1
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
ˆx a ˆ y 0, a ˆx a ˆ x 1, a ˆx a ˆ z 0, a ˆy a ˆ y 1, a ˆy a ˆz 0 a ˆz a ˆz 1 a
ˆ x (a 3b c)a ˆ y (a 2b 3c)a ˆz (2a b 2c)a
则： 2a b 2c 3
a 3b c 2 a 2b 3c 5
a 2 b 1 c 3
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例3： 已知 A 2a ˆ x 6a ˆ y 3a ˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
ˆ x Ay a ˆ y Az a ˆz 矢量： A Ax a
z
Az
模的计算： | A | A2 A2 A2 x y z
A
单位矢量：

Ay Ax A A ˆ a ˆx a ˆ y z a ˆz a | A| | A| | A| | A|
b.矢量积（叉积）：
ˆc A B | A | | B | sin a
ˆc a
•含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量 组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三 者符合右手螺旋法则。 A B B A 推论1：不服从交换律： A B B A, 推论2：服从分配律： A (B C) A B A C 推论3：不服从结合律： A (B C) ( A B) C
求：确定垂直于 A、 B所在平面的单位矢量。 解：已知 A B 所得矢量垂直于 A 、 B 所在平面。
A B ˆn a A B
ˆ x 10 a ˆ y 30 a ˆz A B 2 6 3 15a 4 3 1
| A B | 152 (10) 2 302 35
C A B
C
B
A

A
a.满足交换律： A B B A
b.满足结合律： ( A B) (C D) ( A C) ( B D)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系下的矢量表示:
推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
B A
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：
z o x y
ˆx Ay a ˆ y Az a ˆz ) (Bx a ˆx By a ˆ y Bz a ˆz ) A B ( Ax a
体元： dV rdrd dz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 ( R, , ) ，如图，做一微分体元。 线元： dl dRaR Rd a R sin d a 面元： 2 dS R R sin d d aR dS R sin dRd a
ˆ x 3a ˆy a ˆz B 4a
ˆx a
ˆy a
ˆz a
1 ˆ n (3a ˆ x 2a ˆ y 6a ˆz ) a 7
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例4： 已知A点和B点对于原点的位置矢量为
a
和 b，

求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
三个方向的单位矢量用 a ˆx , a ˆy , a ˆ z 表示。 根据矢量加法运算：
Az
z
A
A Ax Ay Az
其中：
Ax
o
Ay
y
x
ˆ x , Ay Ay a ˆ y , Az Az a Ax a ˆ x Ay a ˆ y Az a ˆz
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。 如:力 F 、速度 v 、电场 E 等 ˆ 矢量表示为： A | A | a
其中： | A | 为矢量的模，表示该矢量的大小。
ˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。 a
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
求： r4 ar1 br2 cr3 中的标量 a、b、c。
ˆ x 2a ˆ y 5a ˆz 解： 3a ˆx a ˆy a ˆ z ) b(a ˆ x 3a ˆ y 2a ˆ z ) c(2a ˆx a ˆ y 3a ˆz ) a(2a
（2）矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积（点积）： A B | A | | B | cos
B

A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A B B A A ( B C) A B A C
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆx ( Ay By )a ˆ y ( Az Bz ) a ˆz A B ( Ax Bx ) a
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积：
ˆ kA k | A | a k 0 方向不变，大小为|k|倍 k 0 k 0 方向相反，大小为 | k | 倍
( A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A ( B C) 标量，标量三重积。 A ( B C ) 矢量，矢量三重积。
a. 标量三重积 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
定义： A B C | A || B || C | sin cos
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2. 圆柱坐标系 在圆柱坐标系中，坐标变量为 (r,, z)，如图，做一微分体元。 线元：
dl drar rd a dzaz
面元： dS rd dza r r dS drdza dS z rd draz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2.减法：换成加法运算
逆矢量： B 和 (B) 的模相等，方向相反，互为逆矢量。 A D D
A
D A B A (B)

B
C
A
B A B C 0
B
B
推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则
三、矢量微分元：线元，面元，体元
四、标量场的梯度
五、矢量场的散度
六、矢量场的旋度 七、重要的场论公式
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
ˆx 6a
图示法：
y
ˆx 6a
x
力的图示法：
FN
F
Ff
F FN F f
G
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
有两矢量点积：
ˆ x Ay a ˆ y Az a ˆ z ) ( Bx a ˆ x By a ˆ y Bz a ˆz ) A B ( Ax a
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
ˆx a
ˆy a By Cy
ˆz a Bz Cz
Cx
b.矢量三重积： A (B C) B( A C) C( A B)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例2：设
ˆx a ˆy a ˆ z , r2 a ˆ x 3a ˆ y 2a ˆz r1 2a ˆx a ˆ y 3a ˆ z , r4 3a ˆ x 2a ˆ y 5a ˆz r3 2a
ˆ x cos a ˆ y cos a ˆz cos a
Ax
o


Ay
y
x
方向角与方向余弦： , ,
Ay Ax A cos , cos , cos z | A| | A| | A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
ˆx ( Ay By C y )a ˆ y ( Az Bz Cz ) a ˆz A B C ( Ax Bx Cx ) a
z
a
A
c
任取一点C，对于原点的位置
矢量为
，则 c
C
b
B
c a k (b a )
y
x
c (1 k )a kb
其中：k 为任意实数。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
三、矢量微分元：线元、面元、体元
例： dV 其中：dl , dS 和 dV 称为微分元。
推论：三个非零矢量共面的条件。
A ( B C) 0
A

C

B
在直角坐标系中：
ˆ x Ay a ˆ y Az a ˆ z ) Bx A ( B C ) ( Ax a
Ax A ( B C ) Bx Cx Ay By Cy Az Bz Cz